7 数上 练难点
6 动角问题
类型 1 判断角的数量关系
1.把直角三角板的直角顶点 放在直尺的一边 上.
（1）当点 和点 都在直线 的上方时（如图（1）），∠ 与∠ 的数量关系是∠
+∠ =____；
（2）当将这把直角三角板绕顶点 旋转到点 在直线 的下方，点 仍然在直线 的上方时
（如图（2）），∠ 与∠ 的数量关系是____________________；
（3）当将这把直角三角板绕顶点 旋转到点 和点 都在直线 的下方时（如图（3）），∠
与∠ 的数量关系是_____________________.
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7 数上 练难点
类型 2 求运动时间
2.如图（1）， 为直线 上一点，过点 在直线 上方作射线 ，∠ = 30 ，将一直角三
角板(∠ = 30 )的直角顶点放在点 处，一直角边 在射线 上，另一直角边 在直线
的上方.（注：本题旋转角度最多为180 ）
（1）将图（1）中的三角板绕点 以每秒3 的速度沿顺时针方向旋转，如图（2），经过 秒后，
∠ =_____ （用含 的式子表示），若 恰好平分∠ ，则 =___.
（2）在（1）的条件下，若在三角板转动的同时，射线 也绕点 以每秒6 的速度沿顺时针方
向旋转，如图（3），经过 秒后，∠ =__________ （用含 的式子表示），若 平分∠ ，
则 =___.
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7 数上 练难点
类型 3 定值问题
3.已知∠ = 80 ，∠ = 50 ， 平分∠ ， 平分∠ .
（1）如图（1），当 , 重合时，求∠ 的度数.
（2）当∠ 绕点 顺时针旋转 (0 < < 50)时（如图（2）），∠ 的度数是否为定值？
若是定值，求出∠ 的值；若不是，请说明理由.
3
（3）在（2）的条件下，若满足∠ ∠ = (∠ +∠ )，求 的值.
2
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6 动角问题
类型 1 判断角的数量关系
1.把直角三角板的直角顶点 放在直尺的一边 上.
（1）当点 和点 都在直线 的上方时（如图（1）），∠ 与∠ 的数量关系是∠
+∠ =____；
解析：当点 和点 都在直线 的上方时，
∠ +∠ = 180 ∠ = 180 90 = 90 .
（2）当将这把直角三角板绕顶点 旋转到点 在直线 的下方，点 仍然在直线 的上方时
（如图（2）），∠ 与∠ 的数量关系是____________________；
解析：当点 在直线 的下方，点 仍然在直线 的上方时，
因为∠ = 180 ∠ ，∠ = 90 ∠ ，
所以∠ ∠ = 180 ∠ (90 ∠ ) = 90 .
（3）当将这把直角三角板绕顶点 旋转到点 和点 都在直线 的下方时（如图（3）），∠
与∠ 的数量关系是_____________________.
解析：当点 和点 都在直线 的下方时，因为∠ = 180 ∠ ，
∠ = 90 +∠ ，所以∠ +∠ = 180 ∠ + (90 +∠ ) = 270 ．
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7 数上 练难点
类型 2 求运动时间
2.如图（1）， 为直线 上一点，过点 在直线 上方作射线 ，∠ = 30 ，将一直角三
角板(∠ = 30 )的直角顶点放在点 处，一直角边 在射线 上，另一直角边 在直线
的上方.（注：本题旋转角度最多为180 ）
（1）将图（1）中的三角板绕点 以每秒3 的速度沿顺时针方向旋转，如图（2），经过 秒后，
∠ =_____ （用含 的式子表示），若 恰好平分∠ ，则 =___.
解析：根据题意得∠ = (3 ) .因为∠ = 30 ，
所以∠ = 150 .因为 平分∠ ，∠ = 90 ，
1
所以∠ = × 150 = 75 ，所以∠ = 90 75 = 15 ，
2
所以∠ = ∠ ∠ = 30 15 = 15 ，所以3 = 15,解得 = 5.
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7 数上 练难点
（2）在（1）的条件下，若在三角板转动的同时，射线 也绕点 以每秒6 的速度沿顺时针方
向旋转，如图（3），经过 秒后，∠ =__________ （用含 的式子表示），若 平分∠ ，
则 =___.
解析：根据题意得∠ = (30 + 6 ) .因为∠ = 90 ， 平分∠ ，
所以∠ = ∠ = 45 ，所以∠ ∠ = ∠ = 45 ，
所以30 + 6 3 = 45,解得 = 5.
类型 3 定值问题
3.已知∠ = 80 ，∠ = 50 ， 平分∠ ， 平分∠ .
（1）如图（1），当 , 重合时，求∠ 的度数.
1 1
解：因为 与 重合， 平分∠ ， 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，∠ =
2 2
1 1 1 1
∠ ，所以∠ = ∠ +∠ = ∠ + ∠ = × 80 + × 50 = 65 .
2 2 2 2
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7 数上 练难点
（2）当∠ 绕点 顺时针旋转 (0 < < 50)时（如图（2）），∠ 的度数是否为定值？
若是定值，求出∠ 的值；若不是，请说明理由.
解：∠ 的度数是定值.
根据旋转得∠ = ，则∠ = 80 + ，∠ = 50 + .
1
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ .
2
1
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，
2
1 1
所以∠ = ∠ +∠ = ∠ +∠ ∠ = ∠ + ∠ ∠
2 2
1 1
= × (80 + ) + × (50 + ) = 65 ，
2 2
所以∠ 的度数是定值,为65 .
3
（3）在（2）的条件下，若满足∠ ∠ = (∠ +∠ )，求 的值.
2
解：由（2）知∠ = ，所以∠ = ∠ +∠ +∠ = 80 + + 50 = (130
3
+ ) .因为∠ ∠ = (∠ +∠ )，
2
3
所以∠ ∠ = (∠ ∠ ).
2
由（2）可知∠ = 65
3
，所以130 + 65 = (65 )，解得 = 13，所以 的值为 13.
2
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