7数上 练技巧
3，方程的应用——动点问题
8 距离问题
1.在数轴上，点 在原点的左侧，点 在原点的右侧，点 距离原点 12个单位长度，点 距离
原点 2个单位长度.
（1）点 对应的数为_____，点 对应的数为___，两点之间的距离为____；
解：因为点 在原点的左侧，距离原点 12个单位长度，所以点 对应的数为 12，
同理可得点 对应的数为 2，所以 ， 两点之间的距离为2 ( 12) = 2 + 12 = 14，
故答案为 12，2，14.
（2）若点 为数轴上一点，且 = 2，求 的长；
解：分两种情况：①当点 在点 的右侧时， = + = 14 + 2 = 16；②
当点 在点 的左侧时， = = 14 2 = 12.综上， 的长是 16 或 12.
（3）若点 ， ， 同时向数轴负方向运动，点 从点 出发，点 从原点出发，点 从点 出
发，且点 的运动速度是每秒 6个单位长度，点 的运动速度是每秒 8个单位长度，点 的运
动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时
三个点对应的数各是多少.
解：设运动的时间为 秒，则动点 ， ， 对应的数分别为 12 6 ， 8 ，
2 2 .分三种情况：①当 = 时， 8 ( 12 6 ) = 2 2 ( 8 )，所
5 5
以 = ，此时，点 对应的数为 12 6 × = 19.5，点 对应的数为
4 4
5 5
8 × = 10，点 对应的数为2 2 × = 0.5.
4 4
②当 = 时， 12 6 ( 8 ) = 2 2 ( 12 6 )，所以 = 13（舍）.
③当 = 时，可得(2 2 ) ( 12 6 ) = (2 2 ) ( 8 )，解得 = 6，
此时 点对应的数为 12 6 × 6 = 48， 点对应的数为 8 × 6 = 48， 点对
应的数为2 2 × 6 = 10.
综上，点 对应的数为 19.5，点 对应的数为 10，点 对应的数为 0.5或点 对
应的数为 48，点 对应的数为 48，点 对应的数为 10.
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距离问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0，终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）.
2.求距离:①相对位置确定时:距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数；
②相对位置不确定时:距离= | |（ , 分别表示始点与终点所表示的数）.
3.解方程.
相遇问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0，终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）；
2.求距离:两点同时相向出发，相遇时， 1 + 2 =起始位置之间的距离，即 1 + 2 = | 0 0|；
3.解方程.
9 相遇问题
2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间
的距离表示为 = | |.如：点 表示的数为 2，点 表示的数为 3，则 = |2 3| = 1.
（1）问题提出：填空：如图，数轴上点 表示的数为 2，点 表示的数为 13， ， 两点之间
的距离 =____，线段 的中点表示的数为___.
解：因为点 表示的数为 2，点 表示的数为 13，所以 = |13 ( 2)| = 15，线段 的中
13 2 11 11
点表示的数为 = .故答案为 15， .
2 2 2
（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点 从点 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为 秒( > 0).
①用含 的式子表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
解析： 秒后，点 表示的数为 2 + 3 ，点 表示的数为13 2 .故答案为 2 + 3 ，13 2 .
②求当 为何值时， ， 两点相遇，并写出相遇点所表示的数.
解：根据题意得 2 + 3 = 13 2 ，解得 = 3，相遇点所表示的数为 2 + 3 × 3 = 7.
所以当 为 3时， ， 两点相遇，相遇点所表示的数是 7.
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（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果 ， 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自
到达线段 的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段 上做往复运动，那么再经
过多长时间 ， 两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.
15
解：由已知得点 运动 5 秒到达点 ，点 运动 秒到达点 ，返回途中，点 表示的数是13 3(
2
15 15
5)，点 表示的数是 2 + 2( ).根据题意得13 3( 5) = 2 + 2( )，解得 = 9，
2 2
所以再经过9 3 = 6（秒）, , 两点第二次相遇，相遇点所表示的数为13 3 × (9 5) = 1.
追及问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0,终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）；
2.求距离:两点同时同向出发，到达同一位置时， 多 少 =起始位置之间的距离，即| 1 2
| = | 0 0|；
3.解方程.
10 追及问题
3.如图，已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为 6，0， 4，动点 从 出发，以每秒 6个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点 从 出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，若点 ， 同时出发，则点 运动___秒时，追上点 .
解析：设点 运动 秒时，在点 处追上点 ，则 = 6 ， = 4 .因为 = = 10，
所以6 4 = 10，解得 = 5，所以点 运动 5秒时，追上点 .
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3，方程的应用——动点问题
8 距离问题
1.在数轴上，点 在原点的左侧，点 在原点的右侧，点 距离原点 12个单位长度，点 距离
原点 2个单位长度.
（1）点 对应的数为_____，点 对应的数为___，两点之间的距离为____；
（2）若点 为数轴上一点，且 = 2，求 的长；
（3）若点 ， ， 同时向数轴负方向运动，点 从点 出发，点 从原点出发，点 从点 出
发，且点 的运动速度是每秒 6个单位长度，点 的运动速度是每秒 8个单位长度，点 的运
动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时
三个点对应的数各是多少.
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9 相遇问题
2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间
的距离表示为 = | |.如：点 表示的数为 2，点 表示的数为 3，则 = |2 3| = 1.
（1）问题提出：填空：如图，数轴上点 表示的数为 2，点 表示的数为 13， ， 两点之间
的距离 =____，线段 的中点表示的数为___.
（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点 从点 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为 秒( > 0).
①用含 的式子表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
②求当 为何值时， ， 两点相遇，并写出相遇点所表示的数.
（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果 ， 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自
到达线段 的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段 上做往复运动，那么再经
过多长时间 ， 两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.
10 追及问题
3.如图，已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为 6，0， 4，动点 从 出发，以每秒 6个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点 从 出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，若点 ， 同时出发，则点 运动___秒时，追上点 .
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