7数上 练技巧
5，双角平分线模型
13 两个角无公共部分
1.如图，∠ = ， 1, 1分别是∠ 和∠ 的平分线， 2, 2分别是∠ 1 和
∠ 1的平分线， 3, 3分别是∠ 2 和∠ 2的平分线， ， , 分别是∠ 1
和∠ 1的平分线，则∠ 的度数是( )
A. B. C. D.
2 1 2 2
14 两个角有公共部分
2.（1）如图，若∠ = 120 ，∠ = 40 ， ， 分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的
度数；
（2）若∠ ，∠ 是平面内两个角，∠ = ，∠ = (0 < < < 180)， ，
分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的度数.（用含 ， 的代数式表示）
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3.如图，已知在同一平面内，∠ = 90 ，∠ = 60 .
（1）填空：∠ =______；
（2）如果 平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数；
（3）如果在（2）的条件下将∠ = 60 改为∠ = 2 (0 < < 45 )，其他条件不变，
求∠ 的度数.
15 三个角围成周角
4.如图，∠ = 126 ，射线 在∠ 外，且∠ = 2∠ ，若 平分∠ ， 平
分∠ ，则∠ =______.
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5，双角平分线模型
13 两个角无公共部分
1.如图，∠ = ， 1, 1分别是∠ 和∠ 的平分线， 2, 2分别是∠ 1 和
∠ 1的平分线， 3, 3分别是∠ 2 和∠ 2的平分线， ， , 分别是∠ 1
和∠ 1的平分线，则∠ 的度数是()
A. B. C. D.
2 1 2 2
两个角无公共部分
条件：如图，已知 ， 分别平分∠ ，∠ .
1
结论：∠ = ∠ .
2
解析：因为∠ = ， 1， 1分别是∠ 和∠ 的平分线，所以
1 1 1 1
∠ 1 = ∠ ,∠ 1 = ∠ ，所以∠ 1 1 = (∠ +∠ ) = ∠ =2 2 2 2
1 1 1
.因为 2， 2分别是∠ 1 和∠ 2 1的平分线，所以∠ 2 = ∠ 1 ,∠ 2 =2 2
1 1 1 1 1
∠ 1 ，所以∠ 2 2 = (∠ 1 +∠ 1 ) = ∠ 1 1 = × = = .因为 ,2 2 2 2 4 22 3
3分
1 1
别是∠ 2 和∠ 2的平分线，所以∠ 3 = ∠ 2 ,∠ 3 = ∠ 2 ， 2 2
1 1 1
所以∠ 3 3 = (∠ 2 +∠ 2 ) = ∠ 2 2 = = 3， ，由此规律得∠ = .2 2 8 2 2
故选 C.
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14 两个角有公共部分
2.（1）如图，若∠ = 120 ，∠ = 40 ， ， 分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的
度数；
1
解：因为∠ = 120 ， 平分∠ ，所以∠ =∠ = ∠ = 60 .因为 平
2
1
分∠ ，∠ = 40 ,所以∠ = ∠ = 20 ，所以∠ = ∠ ∠ =
2
60 20 = 40 .
（2）若∠ ，∠ 是平面内两个角，∠ = ，∠ = (0 < < < 180)， ，
分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的度数.（用含 ， 的代数式表示）
解：若射线 在∠ 的内部，如图（1） .因为∠ = ，
∠ = ， , 分别平分∠ ,∠ ,所以
1 1 1
∠ =∠ ∠ = ∠ ∠ = ( ) .
2 2 2
若射线 在∠ 外部，如图（2） .因为∠ = ，
1 1
∠ = ， , 分别平分∠ ,∠ ,所以∠ =∠ +∠ = ∠ +
2 2
1 1 1
∠ = ( + ) .综上，∠ 的度数为 ( ) 或 ( + ) .
2 2 2
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两个角有公共部分
条件：如图，已知 , 分别平分∠ ,∠ .
1
结论：∠ = ∠ .
2
3.如图，已知在同一平面内，∠ = 90 ，∠ = 60 .
（1）填空：∠ =______；
解析：因为∠ = 90 ，∠ = 60 ，
所以∠ = ∠ +∠ = 150 ，故答案为150 .
（2）如果 平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数；
解：由（1）知∠ = 150 .因为 平分∠ ，所以
1
∠ = ∠ = 75 .因为 平分∠ ，∠ = 60 ，所以
2
1
∠ = ∠ = 30 ，所以∠ = ∠ ∠ = 45 .
2
（3）如果在（2）的条件下将∠ = 60 改为∠ = 2 (0 < < 45 )，其他条件不变，
求∠ 的度数.
解：因为∠ = 90 ，∠ = 2 ，所以
∠ = ∠ +∠ = 90 + 2 .因为 平分∠ ，所以
1
∠ = ∠ = 45 + .因为 平分∠ ，∠ = 2 ，所以
2
1
∠ = ∠ = ，所以∠ =∠ ∠ = 45 .
2
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7数上 练技巧
15 三个角围成周角
4.如图，∠ = 126 ，射线 在∠ 外，且∠ = 2∠ ，若 平分∠ ， 平
分∠ ，则∠ =______.
解析：因为∠ +∠ +∠ = 360 ，所以∠ +∠ = 360 ∠ .因为
1 1
平分∠ ， 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，所以∠ =
2 2
1 1 1 1
∠ +∠ = ∠ + ∠ = (∠ +∠ ) = (360 ∠ ) = 180
2 2 2 2
1 1
∠ = 180 × 126 = 117 ，故答案为117 .
2 2
三个角围成周角
条件：如图，已知∠ +∠ +∠ = 360 , 1平分∠ ， 2平分∠ .
1
结论：∠ 1 2 = 180 ∠ . 2
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