7 数上 练难点
1 简化有理数的计算
类型 1 归类——同号相加，同分母相加
1. 计算： 16 ( 21) + ( 12) 35 ( 3).
3 5 5 7
2. 计算：( ) + ( ) + + ( ).
2 12 2 12
类型 2 凑整——将和（积）为整数的数相结合
1 2
3. 计算：2 0.6 + 2 2.5 + 10 1 .
2 5
5 7
4. 计算：( 1.25) × × ( 4) × ( ).
7 5
类型 3 变序——方便约分和计算
7 11 1 1
5. 计算:45 × ( 25) × × ( ) ÷ × ( 1 ).
8 15 4 7
3/29
7 数上 练难点
6 6 6
6. 计算：4 × ( 3 ) 3 × ( 3 ) 6 × 3 .
7 7 7
类型 4 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算
7. 计算：1 3 × 2 + 5 + 7 9 × 2 + 11 + 13 15 × 2 + 17 + + 2011 2013 × 2 + 2015
+ 2017.
1 3 2 4 3 5 2021 2023
8. 计算：( × ) × ( × ) × ( × ) × × ( × ).
2 2 3 3 4 4 2022 2022
类型 5 拆分——将带分数拆分
9.用简便方法计算：
5 2 2 5
（1） ( 2024 ) + 4046 + ( 2025 ) + 1 .
6 3 3 6
37
（2） ( 199 ) × 76.
38
4/29
7 数上 练难点
类型 6 裂项——拆项相消
10. 阅读下面的解答过程.
1 1 1 1
计算： + + + + .
1×2 2×3 3×4 9×10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：因为 = 1 ， = ， = ， ， = ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1
所以原式= (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )
2 2 3 3 4 9 10
1 1 1 1 1 1 1
= 1 + ( + ) + ( + ) + + ( + )
2 2 3 3 9 9 10
1
= 1
10
9
=
10
根据以上解题方法计算：
1
（1） =________（ 为正整数）；
( +1)
1 1 1 1 1 1
（2）1 ；
2 6 12 20 30 42
1 1 1 1
（3） + + + + .
2×4 4×6 6×8 2018×2020
5/29
7 数上 练难点
类型 7 换位——将被除数与除数颠倒位置
11.阅读下列材料，回答问题.
1 1 1
计算：50 ÷ ( + ).
3 4 12
1 1 1
解法 1：原式= 50 ÷ 50 ÷ + 50 ÷ = 50 × 3 50 × 4 + 50 × 12.该解法对吗？
3 4 12
答：_______________________________________________________.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法 2：先计算原式的倒数，( + ) ÷ 50 = × × + × = ，故原式= 300.
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
1 2 1 1 2
（1）请你用解法 2的方法计算：( ) ÷ ( + )；
30 3 10 6 5
3 7 7 7 7 3 7 7
（2）计算：(1 ) ÷ ( ) + ( ) ÷ (1 )
4 8 12 8 8 4 8 12
6/297 数上 练难点
1 简化有理数的计算
类型 1 归类——同号相加，同分母相加
1. 计算： 16 ( 21) + ( 12) 35 ( 3).
解： 16 ( 21) + ( 12) 35 ( 3) = 16 + 21 12 35 + 3 = (16 + 12 + 35) + (21
+ 3) = 39.
3 5 5 7
2. 计算：( ) + ( ) + + ( ).
2 12 2 12
3 5 5 7
解：原式= [( ) + ] + [( ) + ( )] = 1 + ( 1) = 0.
2 2 12 12
类型 2 凑整——将和（积）为整数的数相结合
1 2
3. 计算：2 0.6 + 2 2.5 + 10 1 .
2 5
1 2
解：原式= [2 + ( 2.5)] + [( 0.6) + ( 1 ) + 2] + 10 = 0 + 0 + 10 = 10.
2 5
5 7
4. 计算：( 1.25) × × ( 4) × ( ).
7 5
5 7
解：原式= [( 1.25) × ( 4)] × [ × ( )] = 5 × ( 1) = 5.
7 5
类型 3 变序——方便约分和计算
7 11 1 1
5. 计算:45 × ( 25) × × ( ) ÷ × ( 1 ).
8 15 4 7
11 7 8
解：原式= (45 × ) × (25 × 4) × ( × ) = 33 × 100 × 1 = 3300.
15 8 7
6 6 6
6. 计算：4 × ( 3 ) 3 × ( 3 ) 6 × 3 .
7 7 7
27 27
解：原式= × (4 3 + 6) = × 7 = 27.
7 7
类型 4 组合——找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化计算
7. 计算：1 3 × 2 + 5 + 7 9 × 2 + 11 + 13 15 × 2 + 17 + + 2011 2013 × 2 + 2015
+ 2017.
解：原式= (1 3 × 2 + 5) + (7 9 × 2 + 11) + (13 15 × 2 + 17) + + (2011 2013 × 2
+ 2015) + 2017 = 2017.
1 3 2 4 3 5 2021 2023
8. 计算：( × ) × ( × ) × ( × ) × × ( × ).
2 2 3 3 4 4 2022 2022
1 3 2 4 3 5 4 2022 2021 2023
解：原式= × ( × ) × ( × ) × ( × ) × × ( × ) ×
2 2 3 3 4 4 5 2021 2022 2022
3/38
7 数上 练难点
1 2023 2023
= × 1 × 1 × 1 × × 1 × = .
2 2022 4044
类型 5 拆分——将带分数拆分
9.用简便方法计算：
5 2 2 5
（1） ( 2024 ) + 4046 + ( 2025 ) + 1 .
6 3 3 6
5 2 2 5
解：( 2024 ) + 4046 + ( 2025 ) + 1
6 3 3 6
5 2 2 5
= [( 2024) + ( )] + (4046 + ) + [( 2025) + ( )] + (1 + )
6 3 3 6
5 2 2 5
= [( 2024) + 4046 + ( 2025) + 1] + [( ) + + ( ) + ]
6 3 3 6
= 2 + 0 = 2.
37
（2） ( 199 ) × 76.
38
37 1 1
解：( 199 ) × 76 = ( 200 + ) × 76 = 200 × 76 + × 76 = 15200 + 2 = 15198.
38 38 38
类型 6 裂项——拆项相消
10. 阅读下面的解答过程.
1 1 1 1
计算： + + + + .
1×2 2×3 3×4 9×10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：因为 = 1 ， = ， = ， ， = ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1
所以原式= (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )
2 2 3 3 4 9 10
1 1 1 1 1 1 1
= 1 + ( + ) + ( + ) + + ( + )
2 2 3 3 9 9 10
1
= 1
10
9
=
10
根据以上解题方法计算：
1
（1） =________（ 为正整数）；
( +1)
1 1
答案：
+1
1 1 1 1 1 1
（2）1 ；
2 6 12 20 30 42
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：1 = 1
2 6 12 20 30 42 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
4/38
7 数上 练难点
1 1 1 1 1 1
= 1 1 + + + = .
2 2 3 6 7 7
1 1 1 1
（3） + + + + .
2×4 4×6 6×8 2018×2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1009 1009
解：原式= × (1 + + + + ) = × (1 ) = × = .
4 2 2 3 3 4 1009 1010 4 1010 4 1010 4040
类型 7 换位——将被除数与除数颠倒位置
11.阅读下列材料，回答问题.
1 1 1
计算：50 ÷ ( + ).
3 4 12
1 1 1
解法 1：原式= 50 ÷ 50 ÷ + 50 ÷ = 50 × 3 50 × 4 + 50 × 12.该解法对吗？
3 4 12
答：_______________________________________________________.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法 2：先计算原式的倒数，( + ) ÷ 50 = × × + × = ，故原式= 300.
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
解：因为除法没有分配律，所以解法 1不对.故答案为不对.
1 2 1 1 2
（1）请你用解法 2的方法计算：( ) ÷ ( + )；
30 3 10 6 5
解：先计算原式的倒数，
2 1 1 2 1 2 1 1 2
( + ) ÷ ( ) = × ( 30) × ( 30) + × ( 30) × ( 30) = 20 ( 3) +
3 10 6 5 30 3 10 6 5
1
( 5) ( 12) = 20 + 3 5 + 12 = 10，故原式= .
10
3 7 7 7 7 3 7 7
（2）计算：(1 ) ÷ ( ) + ( ) ÷ (1 )
4 8 12 8 8 4 8 12
3 7 7 7 7 8 7 8 7 8 2
解：(1 ) ÷ ( ) = × ( ) × ( ) × ( ) = 2 ( 1) ( ) = 2 + 1
4 8 12 8 4 7 8 7 12 7 3
2 1 7 3 7 7 1 10
+ = ，所以( ) ÷ (1 ) = 3，所以原式= + ( 3) =
3 3 8 4 8 12 3 3
5/38
