7 数上 练难点
2 规律探索
类型 1 递推型规律探索
1.一只小球落在数轴上的某点 0 = 处，第一次从 0处向右跳 1个单位到 1处，第二次从 1处
向左跳 2个单位到 2处，第三次从 2处向右跳 3个单位到 3处，第四次从 3处向左跳 4个单位
到 4处， .若小球按以上规律跳了(2 + 3)次，
则它落在数轴上的点 2 +3处所表示的数是( )
A. + B. + + 2 C. + 1 D. + + 3
解析：因为点 0所表示的数是 ，所以点 1所表示的数是 + 1，点 2所表示的数是 + 1 2
= 1，点 3所表示的数是 1 + 3 = + 2，点 4所表示的数是 + 2 4 = 2，点 5所
表示的数是 2 + 5 = + 3，点 6所表示的数是 + 3 6 = 3， ，由上可得，当 为奇
+1
数时，点 表示的数为 + ;当 为偶数时，点 表示的数为 ( ≥ 1).因为2 + 3是奇2 2
2 +4
数，所以 2 +3表示的数为 + = + + 2.故选 B. 2
2.有一组正整数： 1, 2, , 2024, 2025，从 3开始，满足 3 = | 1 2 2|， 4 = | 2 2 3|，
5 = | 3 2 4|， ， 2025 = | 2023 2 2024|，当 1 = ， 2 = 1( ≥ 3， 为整数)时，
2025 =________________.
解析：当 1 = ， 2 = 1( ≥ 3， 为整数)时， 3 = 2， 4 = 2 5， 5 = 3 8，
6 = 4 11， ， = ( 2) 3 + 7，所以 2025 = (2025 2) 3 × 2025 + 7 =
2023 6068，故答案为2023 6068.
3.观察下列单项式： ，3 2， 5 3，7 4， ， 37 19，39 20， ，写出第 个单项式，为
了解这个问题，特提供下面的解题思路.
（1）这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
解：这组单项式的系数依次为 1，3， 5，7， ， 37，39， ，
系数的绝对值的规律是从 1开始的连续的奇数.
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
解：这组单项式的次数依次为 1，2，3，4， ，19，20， ，
所以这组单项式的次数的规律是从 1开始的连续的整数.
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第 个单项式是什么吗？
解：根据上面的归纳，猜想出第 个单项式是( 1) (2 1) .
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7 数上 练难点
（4）请你根据猜想，写出第 2024个和第 2025个单项式.
解：当 = 2024时，这个单项式是( 1)2024 (2 × 2024 1) 2024 = 4047 2024；
当 = 2025时，这个单项式是( 1)2025 (2 × 2025 1) 2025 = 4049 2025.
类型 2 累加型规律探索
4. 观察下列图形，第 1个图形中有 7个空心点，第 2个图形中有 11个空心点，第 3个图形中
有 15个空心点， ，按此规律排列下去，第 个图形中有______个空心点（用含 的式子表示）.
解析：因为第 1个图形中空心点的个数为7 = 3 + 4 = 3 + 4 × 1，第 2个图形中空
心点的个数为11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 × 2，第 3个图形中空心点的个数为
15 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 4 × 3， ,所以第 个图形中空心点的个数为4 + 3.
5. 将正方形 （如图（1））作如下划分：第 1 次划分：分别连接正方形 对边的中点
（如图（2）），得线段 和 ，它们交于点 ，此时图（2）中
共有 5个正方形；第 2次划分：将图（2）左上角正方形 再划分，得图（3），则图（3）
中共有 9个正方形.
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有_____个正方形.
解：因为第 1次划分可得 5个正方形，第 2次划分可得 9个正方形，第 3 次划分可得 13个正
方形， ，所以第 次划分可得(4 + 1)个正方形，所以第 100次划分后，图中共有4 × 100 + 1
= 401（个）正方形.故答案为 401.
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7 数上 练难点
（2）继续划分下去，第 次划分后图中共有_________个正方形.
解析：由（1）得第 次划分后，图中共有(4 + 1)个正方形.故答案为(4 + 1).
（3）能否将正方形 划分成有 2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如
果不能，需说明理由．
解：不能.理由：令4 + 1 = 2020，所以 = 504.75.因为 不是整数，所以不能将正方形
划分成有 2020个正方形的图形.
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2 规律探索
类型 1 递推型规律探索
1.一只小球落在数轴上的某点 0 = 处，第一次从 0处向右跳 1个单位到 1处，第二次从 1处
向左跳 2个单位到 2处，第三次从 2处向右跳 3个单位到 3处，第四次从 3处向左跳 4个单位
到 4处， .若小球按以上规律跳了(2 + 3)次，
则它落在数轴上的点 2 +3处所表示的数是( )
A. + B. + + 2 C. + 1 D. + + 3
2.有一组正整数： 1, 2, , 2024, 2025，从 3开始，满足 3 = | 1 2 2|， 4 = | 2 2 3|，
5 = | 3 2 4|， ， 2025 = | 2023 2 2024|，当 1 = ， 2 = 1( ≥ 3， 为整数)时，
2025 =________________.
3.观察下列单项式： ，3 2， 5 3，7 4， ， 37 19，39 20， ，写出第 个单项式，为
了解这个问题，特提供下面的解题思路.
（1）这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第 个单项式是什么吗？
（4）请你根据猜想，写出第 2024个和第 2025个单项式.
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7 数上 练难点
类型 2 累加型规律探索
4. 观察下列图形，第 1个图形中有 7个空心点，第 2个图形中有 11个空心点，第 3个图形中
有 15个空心点， ，按此规律排列下去，第 个图形中有______个空心点（用含 的式子表示）.
5. 将正方形 （如图（1））作如下划分：第 1 次划分：分别连接正方形 对边的中点
（如图（2）），得线段 和 ，它们交于点 ，此时图（2）中
共有 5个正方形；第 2次划分：将图（2）左上角正方形 再划分，得图（3），则图（3）
中共有 9个正方形.
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第 100 次划分后，图中共有_____个正方形.
（2）继续划分下去，第 次划分后图中共有_________个正方形.
（3）能否将正方形 划分成有 2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分；如
果不能，需说明理由．
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