7 数上 练难点
3 整式的化简求值
类型 1 化繁为简再求值
1.先化简，再求值：
3 2 + (4 2 2 ) 2(2 2 2 )，其中 = 1， = 1.
解： 3 2 + (4 2 2 ) 2(2 2 2 ) = 3 2 + 4 2 2 4 2 + 2 2 = 2 2
.当 = 1， = 1时，原式= 2 × 1 × ( 1) = 2.
5 2
2. 先化简，再求值：2 2 [3( 2 + ) ( 3 2)] + 2 ，其中 是最小的正整数，
3 3
是 2的相反数．
解：因为 是最小的正整数， 是 2的相反数，所以 = 1， = 2，
5
所以2 2 [3( 2
2
+ ) ( 3 2)] + 2
3 3
= 2 2 ( 5 2 + 2 + 3 2) + 2
= 2 2 + 5 2 2 + 3 2 + 2 = 4 2 + = 4 + ( 2) = 2.
5 2
3. 先化简，再求值：2 2 [3( 2 + ) ( 3 2)] + 2 ，其中 是最小的正整数，
3 3
是 2的相反数．
解：因为 是最小的正整数， 是 2的相反数，所以 = 1， = 2，
5 2
所以2 2 [3( 2 + ) ( 3 2)] + 2
3 3
= 2 2 ( 5 2 + 2 + 3 2) + 2
= 2 2 + 5 2 2 + 3 2 + 2 = 4 2 + = 4 + ( 2) = 2.
类型 2 整体代入求值
4. 阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：
已知5 + 3 = 4，求代数式2( + ) + 4(2 + )的值.
小颖同学提出了一种解法如下：
原式= 2 + 2 + 8 + 4 = 10 + 6 = 2(5 + 3 ),所以当5 + 3 = 4时，原式= 2 × ( 4
) = 8．
仿照小颖同学的解题方法，解答下面的问题：
（1）若 + = 2，则 + + 1 =_____；
解：因为 + + 1 = ( + ) + 1，所以当 + = 2时，原式= 2 + 1 = 3.故答案为 3.
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7 数上 练难点
（2）已知 = 2，求3( ) 2 + 2 + 5的值；
解：因为3( ) 2 + 2 + 5 = 3( ) 2( ) + 5，所以当 = 2时，
原式= 3 × ( 2) 2 × ( 2) + 5 = 6 + 4 + 5 = 3.
（3）已知 2 + 2 = 2， 2 = 4，求4 2 + 7 + 2的值．
解：因为4 2 + 7 + 2 = (4 2 + 8 ) + ( + 2) = 4( 2 + 2 ) ( 2)，
所以当 2 + 2 = 2， 2 = 4时，原式= 4 × ( 2) ( 4) = 8 + 4 = 4.
5. 【阅读理解】若代数式 2 + + 3的值为 7，求代数式2 2 + 2 3的值．小明采用的方法
如下：
由题意得 2 + + 3 = 7，则有 2 + = 4，
2 2 + 2 3 = 2( 2 + ) 3
= 2 × 4 3
= 5．
所以代数式2 2 + 2 3的值为 5．
【方法运用】（1）若代数式 2 + + 1的值为 10，求代数式 2 2 2 + 3的值．
解：由题意，得 2 + + 1 = 10，则 2 + = 9，所以
2 2 2 + 3 = 2( 2 + ) + 3 = 2 × 9 + 3 = 15.
（2）当 = 2时，代数式 3 + + 4的值为 9，当 = 2时，求代数式 3 + + 3的值．
解：当 = 2时， 3 + + 4 = 9，
所以8 + 2 + 4 = 9，所以8 + 2 = 5.当 = 2时，
3 + + 3 = ( 2)3 2 + 3 = 8 2 + 3 = (8 + 2 ) + 3 = 5 + 3 = 2.
【拓展应用】若 2 = 26， 2 = 16，则代数式 2 2 + 2的值为____．
解析：因为 2 = 26， 2 = 16，所以 2 2 + 2 = ( 2 ) ( 2) = 26
( 16) = 42.故答案为 42.
类型 3 整式化简中的“无关”问题
6. 如图，长为 ，宽为 的长方形被分割成 7部分，除阴影图形 ， 外，其余 5部分为形状和
大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 3.
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7 数上 练难点
（1）求小长方形 的长（用含 的代数式表示）.
解：因为小长方形 的宽为 3，所以小长方形 的长为 3 × 3 = 9.
答：小长方形 的长为 9.
（2）小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，他的判断是否正确？请说明理
由.
解：判断正确.理由如下：由题图可得阴影图形 的长为 9，宽为 6，阴影图形 的长为
9，宽为 ( 9) = + 9，阴影图形 和阴影图形 的周长之和为2( 9 + 6) + 2(9
+ + 9) = 2 18 + 2 12 + 18 + 2 2 + 18 = 4 + 6，
所以阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，小明的判断正确.
7. 已知 = 2 2 + ， = 2 + 6 是关于 ， 的多项式，其中 ， 为常数．
（1）若 = 1， = 2，化简 + ；
解：当 = 1， = 2时， = 2 2 + ， = 2 2 + 6 ，所以
+ = 2 2 + + ( 2 2 + 6 ) = 2 2 + 2 2 + 6 = 5 .
（2）若 2 的值与 的取值无关，求代数式 2 2021的值．
解： 2 = 2 2 + 2( 2 + 6 ) = (2 2 ) 2 + ( + 2) 13 .
由题意可得2 2 = 0， + 2 = 0，
解得 = 2， = 1，
所以 2 2021 = ( 2)2 × 12021 = 4 × 1 = 4.
类型 4 利用数形结合化简求值
8. 有理数 ， ， 所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式| | | | | | + |
+ |.
解：由数轴可得 < 0， > 0， > 0， + < 0，
所以原式= + = 3 + .
9.已知 ， ， 三个数在数轴上对应点的位置如图所示.
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7 数上 练难点
（1）在数轴上标出 ， ， 这三个数所对应的点，并将 ， ， ， ， ， 这 6个数
按从小到大的顺序用“<”连接；
解：在数轴上标出 ， ， 这三个数所对应的点，如下图.将 ， ， ， ， ， 这
6 个数按从小到大的顺序用“<”连接如下： < < < < < .
（2）化简式子| | + | | | |；
解：由题意得 < < 0 < ，所以 > 0， > 0， < 0，所以 > 0，
< 0， > 0，所以| | + | | | | = + ( ) ( ) =
+ + = 2 .
（3）若 + + = 0，且表示数 的点向左运动 1 个单位长度后在数轴上对应的数恰好与 互
为相反数，求 3( ) ( + 5) 2( + 4 )的值.
解：因为表示数 的点向左运动 1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与 互为相反数，所以
1 + = 0，所以 + = 1.因为 + + = 0，所以 = 1. 3( ) ( + 5) 2( + 4
) = 3 + 3 5 2 8 = 3 5 3 5 = 3( + ) 5 5 = 3 × 1 5
× ( 1) 5 = 3 + 5 5 = 3.
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3 整式的化简求值
类型 1 化繁为简再求值
1.先化简，再求值： 3 2 + (4 2 2 ) 2(2 2 2 )，其中 = 1， = 1.
5 2
2. 先化简，再求值：2 2 [3( 2 + ) ( 3 2)] + 2 ，其中 是最小的正整数，
3 3
是 2的相反数．
5 2
3. 先化简，再求值：2 2 [3( 2 + ) ( 3 2)] + 2 ，其中 是最小的正整数，
3 3
是 2的相反数．
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7 数上 练难点
类型 2 整体代入求值
4. 阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：
已知5 + 3 = 4，求代数式2( + ) + 4(2 + )的值.
小颖同学提出了一种解法如下：
原式= 2 + 2 + 8 + 4 = 10 + 6 = 2(5 + 3 ),所以当5 + 3 = 4时，原式= 2 × ( 4
) = 8．
仿照小颖同学的解题方法，解答下面的问题：
（1）若 + = 2，则 + + 1 =_____；
（2）已知 = 2，求3( ) 2 + 2 + 5的值；
（3）已知 2 + 2 = 2， 2 = 4，求4 2 + 7 + 2的值．
5. 【阅读理解】若代数式 2 + + 3的值为 7，求代数式2 2 + 2 3的值．小明采用的方法
如下：
由题意得 2 + + 3 = 7，则有 2 + = 4，
2 2 + 2 3 = 2( 2 + ) 3
= 2 × 4 3
= 5．
所以代数式2 2 + 2 3的值为 5．
【方法运用】（1）若代数式 2 + + 1的值为 10，求代数式 2 2 2 + 3的值．
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7 数上 练难点
（2）当 = 2时，代数式 3 + + 4的值为 9，当 = 2时，求代数式 3 + + 3的值．
【拓展应用】若 2 = 26， 2 = 16，则代数式 2 2 + 2的值为____．
类型 3 整式化简中的“无关”问题
6. 如图，长为 ，宽为 的长方形被分割成 7部分，除阴影图形 ， 外，其余 5部分为形状和
大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 3.
（1）求小长方形 的长（用含 的代数式表示）.
（2）小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，他的判断是否正确？请说明理
由.
7. 已知 = 2 2 + ， = 2 + 6 是关于 ， 的多项式，其中 ， 为常数．
（1）若 = 1， = 2，化简 + ；
（2）若 2 的值与 的取值无关，求代数式 2 2021的值．
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7 数上 练难点
类型 4 利用数形结合化简求值
8. 有理数 ， ， 所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式| | | | | | + |
+ |.
9.已知 ， ， 三个数在数轴上对应点的位置如图所示.
（1）在数轴上标出 ， ， 这三个数所对应的点，并将 ， ， ， ， ， 这 6个数
按从小到大的顺序用“<”连接；
（2）化简式子| | + | | | |；
（3）若 + + = 0，且表示数 的点向左运动 1 个单位长度后在数轴上对应的数恰好与 互
为相反数，求 3( ) ( + 5) 2( + 4 )的值.
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