四川省泸州市叙永县2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·叙永模拟）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．无法判断
2．（2025·叙永模拟）今年6月，我国嫦娥六号探测器准确着陆于预定区域，实现了世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·叙永模拟）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·叙永模拟）2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕．共设32个大项，329个小项，下列四种图案是巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·叙永模拟）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半
C．保持不变 D．无法确定
6．（2025·叙永模拟）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．（2025·叙永模拟）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．（2025·叙永模拟）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如下的统计表：
花费（元） 20 30 40 50 60
人数 8 12 12 6 2
对表示班级里本学期购买课外书费用情况的40个数据，其中位数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
9．（2025·叙永模拟）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·叙永模拟）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则的值为（ ）
A．12 B．16 C． D．
11．（2025·叙永模拟）如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，，若，，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·叙永模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（2025·叙永模拟）要使有意义，则的取值范围是 ．
14．（2025·叙永模拟）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ．
15．（2025·叙永模拟）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示）
16．（2025·叙永模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2025·叙永模拟）计算：．
18．（2025·叙永模拟）如图，在中，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O．若为的中点，求证：．
19．（2025·叙永模拟）化简：．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2025·叙永模拟）某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99．九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为88，88，85，88，88，84，85，87．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
八年级 79 84
九年级 79 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：________，________，________；
（2）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．
21．（2025·叙永模拟）两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型．
（1）“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（2025·叙永模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
23．（2025·叙永模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当面积最大时，求点的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2025·叙永模拟）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点F．若，，求的半径．
25．（2025·叙永模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】用“夹逼法”估算无理数的大小，然后根据不等式的性质可判断的取值范围．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减去1.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故答案为：。
【分析】根据俯视图的定义：从物体上方垂直向下观察得到的投影。然后结合题干中“月壤砖”的示意图特征，分析其结构形状，最后与选项对比，即可选出正确答案。
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解：
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
即扩大为原来的2倍，
故答案为：A．
【分析】根据分式的基本性质，分别用、代替分式中的、，求出所得分式与原分式相比较并结合各选项即可判断求解．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
设，则，
由折叠得，，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的值，设，由折叠的性质得，由线段的和差可得，，，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
7．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设等圆和的半径为，如图，作于点C，连接，连接，
∵正三角形和正方形分别内接于等圆和，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】设等圆和的半径为，作于点C，连接，连接，根据圆内接正多边形的性质得到，则，，再根据垂径定理得到，，从而得到m和n，进而比较大小即可求解。
8．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由表格数据可知，排在第个和第个数据分别为：，
∴中位数是，
故答案为：C．
【分析】根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”计算即可求解．
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，，
，，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意"每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等"，可用含x，y，m，n的代数式表示出a，b，c，d，再计算可得，，然后将（b-a）、（c-d）代入所求代数式计算即可求解．
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长是，
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，用勾股定理可求得DH=HE的值，在Rt△CDH中，根据勾股定理计算即可求解．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：利用勾股定理算得，
，
数轴上点所表示的数为：．
故答案为：．
【分析】
先利用勾股定理求出即的长，再利用数轴上两点距离公式求解即可，需要注意的是点C在原点左侧，故应该是负数．
15．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，过点作轴，
四边形是平行四边形，且顶点的坐标为，
，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，，
，
在中，，
设，，，
，
解得：，
，
，
设，则，
，，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：.
【分析】如图，过点作轴，过点作轴，根据平行四边形的对边相等并结合已知点A的坐标可得OC、OD的值，由翻折的性质可得，设，由勾股定理可得关于n的方程，解方程求出n的值，于是可得点F的坐标，设、，在Rt△EIF中，根据勾股定理可得关于e的方程，解方程即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
18．【答案】证明：∵将沿射线的方向平移至，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
【知识点】平移的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平移的性质得到，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据线段中点的定义和平移的性质可得，然后根据角角边即可证明．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于除以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简．
20．【答案】（1）84，，40
（2）解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）解：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
【分析】
（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”确定八年级的众数a；根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”确定九年级的中位数b；再根据百分比=频数÷样本容量求m的值；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
（2）解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
21．【答案】（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，
根据题意，得，
解得，
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元；
（2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得（负值已舍去）
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每袋香甜味桃片的售价为50元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，根据题中的两个相等关系“ 购买40袋香甜味桃片的费用+50袋椒盐味桃片的费用=4300，10袋香甜味桃片的售价=9袋椒盐味桃片的售价”列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，根据题中的相等关系“ 花费2500元购买香甜味桃片的袋数+花费3000元购买 椒盐味桃片的袋数=100”列出关于md 分式方程，解分式方程并检验即可求解．
（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，
根据题意，得，解得，
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元；
（2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得（负值已舍去）
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每袋香甜味桃片的售价为50元．
22．【答案】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过O作于O，过A作于G，在中，根据锐角三角函数sin∠AOG=求出AG的值，然后根据点A位于最高点时到地面的距离=AG+OM即可求解；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，在中，根据锐角三角函数sin∠OCB=求出BC的值；在中，根据锐角三角函数sin∠B1OD=求出的值，然后根据 水桶B上升的高度=BC+B1D计算即可求解.
（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
23．【答案】（1）解：将点代入直线，
可得，
解得：，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，
解得：，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）首先将点代入直线解析式可得关于b的方程，解解方程可求得b的值，将点代入直线解析式可得关于m的方程，解方程求得m的值，然后用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设与x轴交于点，设，则，，结合图形可将PQ用含x的代数式表示出来，，根据三角形面积公式可得与x之间的函数关系式并将解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：将点代入直线，
可得，解得，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，解得，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
24．【答案】（1）证明：∵平分，
．
在△OCD和△OBD中
（SAS）．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义以及已知条件，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合垂线的性质和角的和差可得，然后由圆的切线的判定即可判断求解；
（2）如图：连接．由题意易得∠BOD=∠BAC，根据平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可得AC∥OD，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式、，结合已知可得，由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据特殊角的三角函数值可得，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据线段的和差可得关于OC的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
．
，
．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
25．【答案】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）解：如图，设，则∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、C两点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再过点P作轴交直线于点E，设，则点的坐标可表示，再证明，由相似比得，即求出PE的最大值即可，此时可把PE转化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求出最大值即可；
（3）设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，再列式进行求解即可．
（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
1 / 1四川省泸州市叙永县2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·叙永模拟）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．无法判断
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】用“夹逼法”估算无理数的大小，然后根据不等式的性质可判断的取值范围．
2．（2025·叙永模拟）今年6月，我国嫦娥六号探测器准确着陆于预定区域，实现了世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减去1.
3．（2025·叙永模拟）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故答案为：。
【分析】根据俯视图的定义：从物体上方垂直向下观察得到的投影。然后结合题干中“月壤砖”的示意图特征，分析其结构形状，最后与选项对比，即可选出正确答案。
4．（2025·叙永模拟）2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕．共设32个大项，329个小项，下列四种图案是巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解：
5．（2025·叙永模拟）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半
C．保持不变 D．无法确定
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
即扩大为原来的2倍，
故答案为：A．
【分析】根据分式的基本性质，分别用、代替分式中的、，求出所得分式与原分式相比较并结合各选项即可判断求解．
6．（2025·叙永模拟）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
设，则，
由折叠得，，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的值，设，由折叠的性质得，由线段的和差可得，，，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
7．（2025·叙永模拟）如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设等圆和的半径为，如图，作于点C，连接，连接，
∵正三角形和正方形分别内接于等圆和，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】设等圆和的半径为，作于点C，连接，连接，根据圆内接正多边形的性质得到，则，，再根据垂径定理得到，，从而得到m和n，进而比较大小即可求解。
8．（2025·叙永模拟）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如下的统计表：
花费（元） 20 30 40 50 60
人数 8 12 12 6 2
对表示班级里本学期购买课外书费用情况的40个数据，其中位数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由表格数据可知，排在第个和第个数据分别为：，
∴中位数是，
故答案为：C．
【分析】根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”计算即可求解．
9．（2025·叙永模拟）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
10．（2025·叙永模拟）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则的值为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，，，，
，，
．
故答案为：D．
【分析】根据题意"每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等"，可用含x，y，m，n的代数式表示出a，b，c，d，再计算可得，，然后将（b-a）、（c-d）代入所求代数式计算即可求解．
11．（2025·叙永模拟）如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，，若，，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长是，
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，用勾股定理可求得DH=HE的值，在Rt△CDH中，根据勾股定理计算即可求解．
12．（2025·叙永模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（2025·叙永模拟）要使有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．（2025·叙永模拟）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：利用勾股定理算得，
，
数轴上点所表示的数为：．
故答案为：．
【分析】
先利用勾股定理求出即的长，再利用数轴上两点距离公式求解即可，需要注意的是点C在原点左侧，故应该是负数．
15．（2025·叙永模拟）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
16．（2025·叙永模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，过点作轴，
四边形是平行四边形，且顶点的坐标为，
，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，，
，
在中，，
设，，，
，
解得：，
，
，
设，则，
，，，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：.
【分析】如图，过点作轴，过点作轴，根据平行四边形的对边相等并结合已知点A的坐标可得OC、OD的值，由翻折的性质可得，设，由勾股定理可得关于n的方程，解方程求出n的值，于是可得点F的坐标，设、，在Rt△EIF中，根据勾股定理可得关于e的方程，解方程即可求解．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2025·叙永模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
18．（2025·叙永模拟）如图，在中，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O．若为的中点，求证：．
【答案】证明：∵将沿射线的方向平移至，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
【知识点】平移的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平移的性质得到，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，根据线段中点的定义和平移的性质可得，然后根据角角边即可证明．
19．（2025·叙永模拟）化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于除以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2025·叙永模拟）某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99．九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为88，88，85，88，88，84，85，87．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
八年级 79 84
九年级 79 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：________，________，________；
（2）在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率．
【答案】（1）84，，40
（2）解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）解：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
【分析】
（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”确定八年级的众数a；根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”确定九年级的中位数b；再根据百分比=频数÷样本容量求m的值；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据，
；
九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个），
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数，
组数据从小到大排序后为：
．
九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据，
．
故答案为：84，，40；
（2）解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
21．（2025·叙永模拟）两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型．
（1）“五·一”节前小王花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，“五·一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小王分别花费了2500元、3000元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋香甜味桃片的售价．
【答案】（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，
根据题意，得，
解得，
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元；
（2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得（负值已舍去）
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每袋香甜味桃片的售价为50元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，根据题中的两个相等关系“ 购买40袋香甜味桃片的费用+50袋椒盐味桃片的费用=4300，10袋香甜味桃片的售价=9袋椒盐味桃片的售价”列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，根据题中的相等关系“ 花费2500元购买香甜味桃片的袋数+花费3000元购买 椒盐味桃片的袋数=100”列出关于md 分式方程，解分式方程并检验即可求解．
（1）解：设每袋香甜味桃片的售价是x元，椒盐味桃片的售价是y元，
根据题意，得，解得，
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，椒盐味桃片的售价是50元；
（2）解：设每袋香甜味桃片的售价为m元，则每袋椒盐味桃片的售价为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得（负值已舍去）
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每袋香甜味桃片的售价为50元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（2025·叙永模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
【答案】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过O作于O，过A作于G，在中，根据锐角三角函数sin∠AOG=求出AG的值，然后根据点A位于最高点时到地面的距离=AG+OM即可求解；
（2）过O作，过B作于C，过作于D，在中，根据锐角三角函数sin∠OCB=求出BC的值；在中，根据锐角三角函数sin∠B1OD=求出的值，然后根据 水桶B上升的高度=BC+B1D计算即可求解.
（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
23．（2025·叙永模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于，为线段上一动点（不包含端点），过点作轴交反比例函数（）的图象于点，连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入直线，
可得，
解得：，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，
解得：，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）首先将点代入直线解析式可得关于b的方程，解解方程可求得b的值，将点代入直线解析式可得关于m的方程，解方程求得m的值，然后用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设与x轴交于点，设，则，，结合图形可将PQ用含x的代数式表示出来，，根据三角形面积公式可得与x之间的函数关系式并将解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：将点代入直线，
可得，解得，
∴该直线的解析式为，
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴将点代入直线，
可得，即，
将代入反比例函数，
可得，解得，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）如下图，设与轴交于点，
∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
∴当时，面积取最大值，最大值为4，
此时．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2025·叙永模拟）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点F．若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵平分，
．
在△OCD和△OBD中
（SAS）．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
【知识点】圆的综合题；求特殊角的三角函数值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义以及已知条件，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，结合垂线的性质和角的和差可得，然后由圆的切线的判定即可判断求解；
（2）如图：连接．由题意易得∠BOD=∠BAC，根据平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可得AC∥OD，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式、，结合已知可得，由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据特殊角的三角函数值可得，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据线段的和差可得关于OC的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
．
，
．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
25．（2025·叙永模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）解：如图，设，则∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、C两点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再过点P作轴交直线于点E，设，则点的坐标可表示，再证明，由相似比得，即求出PE的最大值即可，此时可把PE转化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求出最大值即可；
（3）设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，再列式进行求解即可．
（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
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