第四章 整式的加减
4.2 整式的加法与减法
课时 3 整式的加减
1.在计算 M 5x2 3x 6 时，小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号，得到的运算结果是
2x2+3x 4 ，则多项式 M 是( )
A. 7x2+6x+2 B. 7x2 6x 2
C. 7x2+6x 2 D. 7x2 6x+2
2.如果 M=4x2 5x+12 ，N= 2x2 5x+9，那么 M 和 N 的大小关系是( )
A.MC.M>N D.无法判断
3.如果 M 是五次多项式，N 是五次多项式，那么 M+N 一定是( )
A.十次多项式 B.次数不高于五的整式
C.五次多项式 D.次数不低于五的整式
4.教材变式，甲三角形的周长为 3a2 6b+8，乙三角形的第一条边的长为a2 2b ，第二条边的长
为a2 3b，第三条边比第二条边短a2 2b 5 ．
（1）求乙三角形第三条边的长.
（2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？试说明理由.
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第四章 整式的加减
5.教材变式，在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当 x= 3,y= 3.5 时，求多项式
x2+4xy+2y2 2(x2+2xy+y2 2x 1) 的值．”解完这道题后，小明指出 y= 3.5 是多余的条件．师生
讨论后，一致认为小明的说法是正确的．
（1）请你说明小明的说法是正确的理由.
（2）接着王老师又出示了一道题：“设 a，b，c 为常数，关于 x，y 的多项式 M=ax2+bxy+cy2 3y 2，
关于 x，y 的多项式 N=2x2 xy+3y2+2x 3，并且 M N 的差是关于 x，y 的一次多项式，求代数
式 a b c 2 025 的值．”请你解决这个问题．
6.应用意识，定义：若 a+b=2，则称 a 与 b 是关于 2 的平衡数．
（1）3 与____是关于 2 的平衡数，7 x 与______是关于 2 的平衡数（填一个含 x 的式子）；
（2）若 a=x2 4x 1，b=x2 2 x2 2x 1 +1，判断 a 与 b 是不是关于 2 的平衡数，并说明理由；
（3）若 c=kx+1，d=x 3，且 c 与 d 是关于 2 的平衡数，x 为正整数，求非负整数 k 的值．
41/69第四章 整式的加减
4.2 整式的加法与减法
课时 3 整式的加减
1.在计算 M 5x2 3x 6 时，小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号，得到的运算结果是
2x2+3x 4 ，则多项式 M 是( )
A. 7x2+6x+2 B. 7x2 6x 2 C. 7x2+6x 2 D. 7x2 6x+2
解析： 由题意得，M= 2x2+3x 4 5x2 3x 6 = 2x2+3x 4 5x2+3x+6= 7x2+6x+2 .
2.如果 M=4x2 5x+12 ，N= 2x2 5x+9，那么 M 和 N 的大小关系是( )
A.MN D.无法判断
解析：由题意，得 M N=4x2 5x+12 ( 2x2 5x+9)=4x2 5x+12+2x2+5x 9=6x2+3>0，所以 M>N ．
3.如果 M 是五次多项式，N 是五次多项式，那么 M+N 一定是( )
A.十次多项式 B.次数不高于五的整式
C.五次多项式 D.次数不低于五的整式
4.教材变式，甲三角形的周长为 3a2 6b+8，乙三角形的第一条边的长为a2 2b ，第二条边的长
为a2 3b，第三条边比第二条边短a2 2b 5 ．
（1）求乙三角形第三条边的长.
解：由题意，得乙三角形第三条边的长为
a2 3b a2 2b 5 =a2 3b a2+2b+5= b+5 .
（2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？试说明理由.
解：甲三角形的周长大.
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第四章 整式的加减
理由：乙三角形的周长为
a2 2b + a2 3b + b+5 =2a2 6b+5 ，
甲、乙两个三角形的周长的差为
3a2 6b+8 (2a2 6b+5)=3a2 6b+8 2a2+6b 5=a2+3>0 ，
所以甲三角形的周长大．
5.教材变式，在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当 x= 3,y= 3.5 时，求多项式
x2+4xy+2y2 2(x2+2xy+y2 2x 1) 的值．”解完这道题后，小明指出 y= 3.5 是多余的条件．师生
讨论后，一致认为小明的说法是正确的．
（1）请你说明小明的说法是正确的理由.
解：x2+4xy+2y2 2 x2+2xy+y2 2x 1
=x2+4xy+2y2 2x2 4xy 2y2+4x+2
= x2+4x+2 .
因为化简后的式子中不含 y，所以多项式的值与 y 无关，所以小明的说法正确．
（2）接着王老师又出示了一道题：“设 a，b，c 为常数，关于 x，y 的多项式 M=ax2+bxy+cy2 3y 2，
关于 x，y 的多项式 N=2x2 xy+3y2+2x 3，并且 M N 的差是关于 x，y 的一次多项式，求代数
式 a b c 2 025 的值．”请你解决这个问题．
解：因为 M=ax2+bxy+cy2 3y 2,N=2x2 xy+3y2+2x 3 ，
所以 M N=ax2+bxy+cy2 3y 2 2x2 xy+3y2+2x 3
=ax2+bxy+cy2 3y 2 2x2+xy 3y2 2x+3
=(a 2)x2+ b+1 xy+ c 3 y2 2x 3y+1 .
因为 M N 的差是关于 x，y 的一次多项式，
所以 a 2=0,b+1=0,c 3=0，所以 a=2,b= 1,c=3 ，
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第四章 整式的加减
所以 a b c 2 025=[2 1 3]2 025=0 ．
6.应用意识，定义：若 a+b=2，则称 a 与 b 是关于 2 的平衡数．
（1）3 与____是关于 2 的平衡数，7 x 与______是关于 2 的平衡数（填一个含 x 的式子）；
解析： 因为 3+ 1 =2，所以 3 与 1 是关于 2 的平衡数.
因为 7 x + x 5 =2，所以 7 x 与 x 5 是关于 2 的平衡数.
（2）若 a=x2 4x 1，b=x2 2 x2 2x 1 +1，判断 a 与 b 是不是关于 2 的平衡数，并说明理由；
解:a 与 b 是关于 2 的平衡数.理由如下：
因为 a=x2 4x 1，b=x2 2 x2 2x 1 +1 ，
所以 a+b=x2 4x 1+x2 2 x2 2x 1 +1
=x2 4x 1+x2 2x2+4x+2+1
=2 ，
所以 a 与 b 是关于 2 的平衡数.
（3）若 c=kx+1，d=x 3，且 c 与 d 是关于 2 的平衡数，x 为正整数，求非负整数 k 的值．
解：因为 c 与 d 是关于 2 的平衡数，所以 c+d=2 .
因为 c=kx+1，d=x 3，所以 kx+1+x 3=2 ，所以(k+1)x=4 .
因为 x 为正整数，k 为非负整数，所以当 x=1 时，k+1=4，得 k=3 ，
当 x=2 时，k+1=2，得 k=1 ，
当 x=4 时，k+1=1，得 k=0 ，
所以非负整数 k 的值为 0 或 1 或 3．
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