第五章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
课时 2 用去分母解一元一次方程
1.下列解方程的变形过程正确的是( )
A.由 3 = 2 1移项，得 3 + 2 = 1
B.由 4 + 3 = 2 1移项，得 3 2 = 1 4
C. 3 1 = 1 + 2 +1由 去分母，得 3(3 1) = 1 + 2(2 + 1)
2 3
D.由 4 2(3 1) = 1去括号，得 4 6 + 2 = 1
解析：A项，移项，得 3 2 = 1 ；B项，移项，得 3 2 = 1 4；C项，去分母，
得 3(3 1) = 6 + 2(2 + 1) .故 A，B，C项错误. 故选 D
2.若 与 2 1的差的 是 1的相反数，则 的值为 ( )
3
A. 1 B.1 C. 2 D.2
解析：根据“ 2 1 1与 的差的 是 1的相反数”，列出方程为 ( 2) = 1 ，解得 = 1 .故选 A
3 3
3. 2 1 + 小军同学利用去分母解关于 的方程 = 1时，方程右边的 1 没有乘 2，因而求得
2 2
方程的解为 = 3，则 的值和方程的正确解分别为 ( )
A.2， = 2 B.2， = 3 C.3， = 2 D.3， = 3
解析：由题意，得 = 3是方程 2 1 = + 1的解，把 = 3 代入，
得 6 1 = 3 + 1 = 3 2 1 +3，解得 ，所以原方程为 = 1 ，去分母，
2 2
得 2 1 = + 3 2，移项、合并同类项，得 = 2 ，所以原方程的正确
解为 = 2 ．故选 C
4. , 2 + = 2 + 一题多解 若关于 的方程 ，无论 取何值，它的解总是 = 2，则 + 的
3 6
值为____.
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第五章 一元一次方程
= 2 2 + = 2 + 4 + = 2 + 2 解析：通解 将 代入 ，得 ，整理可得(8 + ) = 14 2 ，
3 6 3 6
由题意可知无论 取何值，(8 + ) = 14 2 恒成立，所以 8 + = 0，14 2 = 0 ，所
以 = 7， = 8，所以 + = 1 .
2 +
另解 由题意知，无论 取何值，方程 = 2 + 的解总是 = 2 ，
3 6
所以当 = 0时，由 = 2 ，得 = 2 + 2，解得 = 7；
3 6
= 1 = 2 4+7 = 2 + 2 当 时，由 ，得 ，解得 = 8.所以 + = 1 .
3 6
5.解下列方程：
1 1 2 +1 3 +1（ ） = 1 ；
2 5 4
解：去分母，得 ( ) ( + ) = ( + ) ,
去括号，得 = + ,
移项、合并同类项，得 = ,
系数化为 1，得 = .
2 +4 ( 5) = +3 2（ ） .
5 3 6
解：去分母，得 ( + ) ( ) = ( + ) ( ) ，
去括号，得 + + = + + ，
移项，得 + = + ,
合并同类项，得 = ，
1 = 系数化为 ，得 .
6.一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6(4 3) + 2(3 4 ) = 3(4 3) + 5 ”
可以有多种不同的解法，观察此方程，假设 4 3 = ．
（1）原方程可变形为关于 的方程_________________，通过先求 的值，从而可得 = ___.
解： = + ，2
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第五章 一元一次方程
（2 1）利用上述方法解方程：3( 1) ( 1) = 2( 1) 1 ( + 1) ．
3 2
解：设 = ，则原方程可变形为 = ( + ) ，
去分母，得 = ( + ) ，
去括号，得 = ，
移项、合并同类项，得 = ，
系数化为 1，得 = ，
= = 所以 ，解得 ．
7.模型观念,用 A型和 B型机器生产同样的产品，已知 5台 A型机器生产一天的产品装满 8箱
后还剩 4个，7台 B型机器生产一天的产品装满 11箱后还剩 1个.
解：设每箱装 个产品,
（1）若每台 A型机器比 B型机器一天多生产 1个产品，求每箱装多少个产品.
+ = + 解：由题意，得 ，解得 = .
答：每箱装 12个产品.
（2）每台 A型机器与 B型机器每天生产的产品数量能相等吗？用你学过的数学知识做出解释.
解：每台 A型机器与 B型机器每天生产的产品数量不能相等.理由如下：
假设它们每天生产的产品数量相等.
+ = + 由题意，得 ，解得 = .
因为 是正数，所以 = 不符合题意，
所以每台 A型机器与 B型机器每天生产的产品数量不能相等.
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第五章 一元一次方程
一题练透——一元一次方程与字母参数
3 + 5
已知关于 的方程 = .
2 3 6
（1）若 = 1 ，求该方程的解；
= + 解：当 时，原方程为 = ，
去分母，得 ( + ) ( ) = ，
去括号，得 + + = ，
移项、合并同类项，得 = ，
系数化为 1，得 = .
（2）若 = 5 1是方程的解，求 2 + 2 的值；
2
= + 解：把 代入方程，得 = ，
去分母，得 ( ) ( + ) = ,
去括号，得 = ，
移项、合并同类项，得 = ，
系数化为 1，得 = ,
所以 + = × + × = .
5 6
（3）某同学在解该方程时，误将“ ”看作“ ”得到方程的解为 = 1，求 的值；
6 5
+
解：由题意，得 = 是方程 = 的解，所以 + = ，
去分母，得 ( ) ( + ) = ，
去括号，得 = ,
移项、合并同类项，得 = ，
系数化为 1，得 = .
（4 +1 6）若该方程的解与方程 = 3 + 的解相同，求 的值；
2 4
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第五章 一元一次方程
利用两个方程的解之间的关系求字母（或代数式）的值
方法一：先求出其中一个方程的解，由两个解之间的关系表示出另一个方程的解并将其代入该
方程中，得到新方程，解新方程即可.
方法二：先分别求两个方程的解，由两个解之间的关系得到新方程，解新方程即可.
+
解：解方程 = + ，得 = ，
= + 所以 是方程 = 的解.
把 = + 代入，得 = ，
解得 = .（采用方法一）
（5）若该方程的解与方程 7 = 2( + 3)的解互为相反数，求 的值;
解：解方程 = ( + )，得 = .
+ = = ( + )解方程 ，得 .
因为原方程的解与方程 = ( + ) 的解互为相反数，
( + )
所以 = ，
解得 = .（采用方法二）
（6）若该方程有正整数解，求整数 的最小值.
已知方程有整数解求字母的值的方法
先解方程，用含待求字母的式子表示 ，再利用整除性或整数倍关系求解，
= 如若 ，其中 是整数且 ≠ 0，则 是 的整数倍或 是 的约数.
5 = ( + )解：由（ ）知该方程的解为 ，
因为该方程有正整数解，所以 + 必须能被 7整除，且为正整数，
又因为 为整数，所以 + 的最小值为 7，
所以 的最小值为 6.
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5.2 解一元一次方程
课时 2 用去分母解一元一次方程
1.下列解方程的变形过程正确的是( )
A.由 3 = 2 1移项，得 3 + 2 = 1
B.由 4 + 3 = 2 1移项，得 3 2 = 1 4
C. 3 1 = 1 + 2 +1由 去分母，得 3(3 1) = 1 + 2(2 + 1)
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D.由 4 2(3 1) = 1去括号，得 4 6 + 2 = 1
2.若 1与 2的差的 是 1的相反数，则 的值为 ( )
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A. 1 B.1 C. 2 D.2
3.小军同学利用去分母解关于 的方程2 1 = + 1时，方程右边的 1 没有乘 2，因而求得
2 2
方程的解为 = 3，则 的值和方程的正确解分别为 ( )
A.2， = 2 B.2， = 3 C.3， = 2 D.3， = 3
4.一题多解, 2 + 若关于 的方程 = 2 + ，无论 取何值，它的解总是 = 2，则 + 的
3 6
值为____.
5.解下列方程：
1 1 2 +1（ ） = 3 +1 1 ；
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2 +4 ( 5) = +3 2（ ） .
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6.一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6(4 3) + 2(3 4 ) = 3(4 3) + 5 ”
可以有多种不同的解法，观察此方程，假设 4 3 = ．
（1）原方程可变形为关于 的方程_________________，通过先求 的值，从而可得 = ___.
（2 1）利用上述方法解方程：3( 1) ( 1) = 2( 1) 1 ( + 1) ．
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7.模型观念,用 A型和 B型机器生产同样的产品，已知 5台 A型机器生产一天的产品装满 8箱
后还剩 4个，7台 B型机器生产一天的产品装满 11箱后还剩 1个.
（1）若每台 A型机器比 B型机器一天多生产 1个产品，求每箱装多少个产品.
（2）每台 A型机器与 B型机器每天生产的产品数量能相等吗？用你学过的数学知识做出解释.
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第五章 一元一次方程
一题练透——一元一次方程与字母参数
3 + 5
已知关于 的方程 = .
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（1）若 = 1 ，求该方程的解；
（2）若 = 5 1是方程的解，求 2 + 2 的值；
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（3 5 6）某同学在解该方程时，误将“ ”看作“ ”得到方程的解为 = 1，求 的值；
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4 +1 6（ ）若该方程的解与方程 = 3 + 的解相同，求 的值；
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（5）若该方程的解与方程 7 = 2( + 3)的解互为相反数，求 的值;
（6）若该方程有正整数解，求整数 的最小值.
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