广东省中山市第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题(图片版,含部分答案)

广东省中山市第二中学 2024-2025 学年高二下学期
期中考试数学试题
一、单选题
1. 曲线 在点 处的切线的倾斜角 等于（ ）
A． B．
C． D．
2. 甲、乙两人要在一排 6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空
座，则不同的坐法有（ ）
A．6种 B．3种 C．20 种 D．12 种
3. 已知函数 ，则 在 处的瞬时变化率为（ ）
A．1 B．0 C． D．
4. 若 ，则 （ ）
A．18 B． C．12 D．
5. 如图，在“杨辉三角”中从左往右第 3斜行的数构成一个数列：
，则该数列前 10 项的和为（ ）
A．66 B．120 C．165 D．220
6. 的展开式中第四项的系数为 540，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入
半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小
组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 0.3 0.3 0.7
乙 0.7 0.6 0.3
丙 0.7 0.4 0.4
丁 0.3 0.7 0.6
A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25
8. 已知正方体的棱长为 1，若从该正方体的 8个顶点中任取 4个，则这 4个点
可以构成体积为 的四面体的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A． 可表示为
B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手 15 次
C．A，B，C，D，E 共 5名同学站成一排，要求 A，C 必须相邻，B，E 不能相
邻，则共有 24 种不同的站法
D．将 4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有 1人，则
共有 18 种不同的安排方法
10. 已知定义在 上的可导函数 和 的导函数 图象如图所
示，则关于函数 的判断正确的是（ ）
A．有 1个极大值点和 2个极小值点
B．有 2个极大值点和 1个极小值点
C．有最大值无最小值
D．有最小值无最大值
11. 下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B．已知随机变量 的分布列为 ，则
C．用 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的
概率，若 ，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员 患甲病的概率为 ，患乙病
的概率为 ，甲乙两种病都不患的概率为 .则家系成员 在患甲病的条件下，
患乙病的概率为
三、填空题
12. 若直线 与曲线 相切，则实数 的值为______.
13. 已知某种商品的广告费支出 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）之
间有如下表对应数据：
1 3 4 5 7
15 20 30 40 45
根据表中数据得到 关于 的经验回归方程为 ，则当 时，残差为
__________.（残差 观测值-预测值）
14. 已知函数 ，
（1）当 时，函数 的最大值是_____________；
（2）若函数 无最大值，写出一个满足条件的 的取值是_____________．
四、解答题
15. 在 的展开式中，求：
(1)第 3 项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项．
16. 某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的 10000 人参加应聘.
招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩 .复试为
闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入
下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，
复试三关也都通过，则应聘成功.
(1)估计 10000 名应聘者中初试成绩位于区间 内的人数；
(2)若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别
为 ，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的
概率 .
附：若随机变量 ，则
.
17. 设函数 ， ．
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值：（其中 为
自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求 的单调区间和极小值：
(3)若 在 上存在增区间，求 的取值范围．
18. 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这 3
项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3项程序分别由 3个考核组独立依
次考核，当 3项考核程序均通过后即可签约．2022 年，该校数学系 100 名毕业
生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过 3项程序考核放弃签约
的情况）：今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他
参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地
的每项程序的概率均为 ，通过乙地的各项程序的概率依次为 ， ， ．
参加考核单未能签约的人
参加考核并能签约的人数
数
人数
性别
男生 35 15
女生 40 10
(1)依据小概率值 的独立性检验，判断这 100 名毕业生去年参加甲地“优
才计划”能否签约与性别是否有关联？
(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X，Y，分别求出 X 与 Y 的数学
期望．
参考公式与临界值表： ， ．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，
在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应
用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…… ，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每
局赌赢可以赢得 1元，每一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉 1元．赌
徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为
一种是赌金达到预期的 B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输
光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借 A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌
徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有 n 元 时，最终欠债 A 元（可以记为该赌徒手中有
元）概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．
(2)证明 是一个等差数列，并写出公差 d．
(3)当 时，分别计算 时， 的数值，论述当 B 持续增
大时， 的统计含义．
广东省中山市第二中学 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：函数与导数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、数列
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 3
较易 10
适中 4
较难 1
困难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.65 求曲线切线的斜率（倾斜角）
2 0.94 不相邻排列问题；分步乘法计数原理及简单应用
3 0.94 瞬时变化率的概念及辨析；简单复合函数的导数
4 0.94 求指定项的系数
5 0.85 组合数的性质及应用；杨辉三角
6 0.85 由项的系数确定参数；正、余弦齐次式的计算；二倍角的余弦公式
7 0.65 独立事件的乘法公式；利用全概率公式求概率
8 0.85 组合数的计算；计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
二、多选题
9 0.85 排列数的计算；相邻问题的排列问题；不相邻排列问题；分组分配问题
函数单调性、极值与最值的综合应用；函数（导函数）图像与极值点的关系；用
10 0.85
导数判断或证明已知函数的单调性；函数与导函数图象之间的关系
利用随机变量分布列的性质解题；计算条件概率；二项分布的方差；指定区间的
11 0.4
概率
三、填空题
12 0.85 已知切线（斜率）求参数；导数的运算法则
13 0.85 残差的计算；计算样本的中心点
14 0.65 由导数求函数的最值（不含参）；分段函数的值域或最值
四、解答题
求指定项的系数；求系数最大（小）的项；求指定项的二项式系数；二项式的系
15 0.65
数和
16 0.85 正态曲线的性质；指定区间的概率；独立事件的乘法公式
求已知函数的极值；已知切线（斜率）求参数；由函数的单调区间求参数；由函
17 0.85
数在区间上的单调性求参数
独立性检验解决实际问题；写出简单离散型随机变量分布列；卡方的计算；二项
18 0.85
分布的均值
19 0.15 由递推关系证明数列是等差数列；利用全概率公式求概率；游戏的公平性
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 函数与导数 1,3,10,12,14,17
2 计数原理与概率统计 2,4,5,6,7,8,9,11,13,15,16,18,19
3 三角函数与解三角形 6
4 数列 19
试题答案解析