11.2 正弦定理
第1课时 正弦定理 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,了解正弦定理的推导过程.
2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
1.正弦定理
2.正弦定理的常见变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
|微|点|助|解|
对正弦定理的理解
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.
(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正弦定理仅适用于非直角三角形. ( )
(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. ( )
(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( )
2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为 ( )
A. B.1
C.2 D.3
3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于 .
4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则A= .
题型(一) 已知两角和一边解三角形
[例1] 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.
听课记录:
|思|维|建|模|
已知任意两角和一边,解三角形的步骤
(1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角;
(2)求边:根据正弦定理,求另外的两边.
已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解.
[针对训练]
1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是 ( )
A.4 B.12
C.4 D.12
2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 ( )
A.5 B.4
C.5 D.4
题型(二) 已知两边及一角解三角形
[例2] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
听课记录:
[变式拓展]
若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,试判断角A有几个值
|思|维|建|模|
1.已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角,注意是否有两组解;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角;
(3)根据正弦定理求出第三条边.
2.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A
b
解的个数 一解 两解 一解 一解
[针对训练]
3.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形 ( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
4.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长.
题型(三) 判断三角形的形状
[例3] 设△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,又sin2B=sin Asin C,则这个三角形的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)判定三角形形状的途径:①化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;②化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
(2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
[针对训练]
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
第1课时 正弦定理
课前预知教材
1.==
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√
2.选B 设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2,解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1.
3.解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=.
答案:
4.解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=.
答案:
课堂题点研究
[例1] 解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=,得c==
==4(+1).
所以A=45°,c=4(+1).
[针对训练]
1.选D 若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D.
2.选C 根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5.
[例2] 解:∵=,
∴sin C===.
∵0°当C=60°时,B=75°,b===+1;
当C=120°时,B=15°,b===-1.
∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
[变式拓展]
解:∵=,∴sin A===.∵c=>2=a,∴C>A.
∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个.
[针对训练]
3.选C 由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C.
4.解:由=,得sin B==.
∵aA=30°,∴B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°.
此时,c= ==2.
当B=120°时,
C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1.
综上所述,c=1或2.
[例3] 选B 因为△ABC的三个内角A+B+C=π,而2B=A+C,则B=,又sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得ac=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,即a=c,又B=,所以△ABC是等边三角形.
[针对训练]
5.选B 在△ABC中,sin A-sin B+=0,则由正弦定理得(sin A-sin B)+=·(sin A-
sin B)=0.因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0 +1≠0.所以sin A=sin B a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B.(共48张PPT)
11.2
正弦定理
正弦定理
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,了解正弦定理的推导过程.
2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.正弦定理
2.正弦定理的常见变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
|微|点|助|解|
对正弦定理的理解
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.
(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正弦定理仅适用于非直角三角形. ( )
(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. ( )
(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( )
×
√
√
2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为( )
A. B.1 C.2 D.3
解析:设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2,解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1.
√
3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于 .
解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=.
4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b,则A= .
解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B,∵sin B≠0,
∴sin A=.又A为锐角,∴A=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 已知两角和一边解三角形
[例1] 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.
解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=,得c==
==4(+1).
所以A=45°,c=4(+1).
|思|维|建|模|
已知任意两角和一边,解三角形的步骤
(1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角;
(2)求边:根据正弦定理,求另外的两边.
已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解.
针对训练
1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是( )
A.4 B.12 C.4 D.12
解析:若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D.
√
2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 ( )
A.5 B.4
C.5 D.4
解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5.
√
题型(二) 已知两边及一角解三角形
[例2] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.
解:∵=,
∴sin C===.
∵0°当C=60°时,B=75°,b===+1;
当C=120°时,B=15°,b===-1.
∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
变式拓展
若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,试判断角A有几个值
解:∵=,∴sin A===.
∵c=>2=a,∴C>A.
∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个.
|思|维|建|模|
1.已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角,注意是否有两组解;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角;
(3)根据正弦定理求出第三条边.
2.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
针对训练
3.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
解析:由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.
∴此三角形无解.故选C.
√
4.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长.
解:由=,得sin B==.
∵aA=30°,∴B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°.
此时,c= ==2.
当B=120°时,
C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1.
综上所述,c=1或2.
题型(三) 判断三角形的形状
[例3] 设△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,又sin2B=sin Asin C,则这个三角形的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
解析:因为△ABC的三个内角A+B+C=π,而2B=A+C,则B=,又sin2B=
sin Asin C,
由正弦定理得b2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得ac=a2+c2-ac,
整理得(a-c)2=0,即a=c,又B=,所以△ABC是等边三角形.
√
|思|维|建|模|
(1)判定三角形形状的途径:①化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;②化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
(2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
针对训练
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
√
解析:在△ABC中,sin A-sin B+=0,则由正弦定理得(sin A-sin B)+
=·(sin A-sin B)=0.因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0 +1≠0.所以sin A=sin B a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.(多选)在△ABC中,若a=,b=,B=,则A的可能取值为( )
A. B. C. D.
解析:由正弦定理得sin A===,又A∈(0,π),a>b,所以A>B.所以A=或A=.
√
√
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2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:由题意有=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.故选B.
√
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3.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 ( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B
D.在△ABC中,=
解析:由正弦定理易知A、C、D正确.
由sin 2A=sin 2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴a=b或a2+b2=c2,B错误.
√
√
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4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析:利用正弦定理==化简已知的等式得,sin Acos B-sin Bcos A=
sin C,即sin(A-B)=sin C,因为A,B,C为三角形的内角,所以A-B=C,即A=B+C=
90°,则△ABC为直角三角形,故选B.
√
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5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,C=,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是( )
A. B.(,2) C.(1,2) D.(1,)
解析:在△ABC中,根据正弦定理=,即=,所以sin A=x,由题意可得,当A∈时,满足条件的△ABC有两个,所以√
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2
6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a= ,A= .
解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又02
(答案不唯一)
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7.在△ABC中,若BC=,sin C=2sin A,则AB= .
解析:由正弦定理,得AB=BC=2BC=2.
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8.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则+
+= .
解析:∵△ABC的外接圆直径为2R=2,∴===2R=2,
∴++=2+1+4=7.
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9.(10分)已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
解:设△ABC中,A=45°,B=60°,
则C=180°-(A+B)=75°.
因为C>B>A,所以最小边为a.
又因为c=1,由正弦定理,得
a===-1,
所以最小边长为-1.
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10.(10分)在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc.
(1)求角A的大小;
解:由题意知,b2=ac,a2-c2=ac-bc cos A===.
∵A∈(0,π),∴A=.
(2)求的值.
解:由b2=ac,得=,∴=sin B·=sin B·=sin A=.
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B级——重点培优
11.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=( )
A. B.
C. D.
√
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解析:法一 由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=
sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,
即sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=
sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=.
法二 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,
所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+sin C=
sin B=.
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12.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=
3∶4∶5,则下列结论正确的是 ( )
A.a∶b∶c=3∶4∶5
B.△ABC为直角三角形
C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5
D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等
√
√
√
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解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;
由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;
由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;
取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确.
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13.斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论:设△ABC中,内角A,
B,C的对边分别为a,b,c,点D在边BC上,且=,则AD2=-.
已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2c=4,asin B+bcos A=0,点D在BC上,且△ABD的面积与△ADC的面积之比为2,则AD的值是( )
A. B. C. D.
√
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解析:由asin B+bcos A=0及正弦定理可得sin Asin B+sin Bcos A=0,因为B∈(0,π),则sin B>0,所以sin A+cos A=0,则tan A=-,因为A∈
(0,π),故A=.因为b=2c=4,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=42+22-2×
4×2×=28,故a=2.因为△ABD的面积与△ADC的面积之比为2,
所以==2,则==2,故m=2n,由斯特瓦尔特定理可得AD2=-=-=,因此AD=.
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14.(10分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=.
(1)求角A;
解:由=,
结合正弦定理=,得==,
所以tan A=,又因为A∈(0,π),所以A=.
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(2)若a=2,求三角形ABC面积的最大值.
解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
即bc≤4(当且仅当b=c=2时,等号成立),
所以S△ABC=bcsin A≤×4×=,即当b=c=2时,三角形ABC面积的最大值为.
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15.(12分)(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
解:由正弦定理=,
得=,解得sin B=.
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解:法一:余弦定理
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即39=4+c2-4ccos 120°,整理得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).所以c=5.
法二:射影定理
因为A=120°,所以B,C均为锐角,
所以cos B==.
由射影定理得,c=acos B+bcos A=×+2×=6-1=5.
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(3)求sin(B-C)的值.
解:由正弦定理=,
可得sin C=,又B,C均为锐角,
所以cos C==,
cos B==,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=×-×=-.课时跟踪检测(二十三) 正弦定理
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)在△ABC中,若a=,b=,B=,则A的可能取值为 ( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 ( )
A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B
D.在△ABC中,=
4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,C=,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是 ( )
A. B.(,2)
C.(1,2) D.(1,)
6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a= ,A= .
7.在△ABC中,若BC=,sin C=2sin A,则AB= .
8.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则++= .
9.(10分)已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
10.(10分)在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc.
(1)求角A的大小;
(2)求的值.
B级——重点培优
11.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= ( )
A. B.
C. D.
12.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则下列结论正确的是 ( )
A.a∶b∶c=3∶4∶5
B.△ABC为直角三角形
C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5
D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等
13.斯特瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论:设△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在边BC上,且=,则AD2=
-.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2c=4,asin B+bcos A=0,点D在BC上,且△ABD的面积与△ADC的面积之比为2,则AD的值是 ( )
A. B.
C. D.
14.(10分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=.
(1)求角A;
(2)若a=2,求三角形ABC面积的最大值.
15.(12分)(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
课时跟踪检测(二十三)
1．选AD 由正弦定理得sin A＝＝＝，又A∈(0，π)，a>b，所以A>B.所以A＝或A＝.
2．选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
3．选ACD 由正弦定理易知A、C、D正确．由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，B错误．
4．选B 利用正弦定理＝＝化简已知的等式得，sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，即sin(A－B)＝sin C，因为A，B，C为三角形的内角，所以A－B＝C，即A＝B＋C＝90°，则△ABC为直角三角形，故选B.
5．选B 在△ABC中，根据正弦定理＝，即＝，所以sin A＝x，由题意可得，当A∈时，满足条件的△ABC有两个，所以6．解析：依题意，△ABC的外接圆半径R＝2，由正弦定理得＝2R＝4，即a＝4sin A，又0答案：2 (答案不唯一)
7．解析：由正弦定理，得AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
8．解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
答案：7
9．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理，
得a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
10．解：(1)由题意知，b2＝ac，a2－c2＝ac－bc cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.
11．选C 法一 由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，即sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝.又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.又b2＝ac，所以3ac＝b2，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝，a＋c＝b.由正弦定理得sin A＋sin C＝sin B＝.
12．选ABD 由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶4∶5，A正确；由A知a∶b∶c＝3∶4∶5，故a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形，B正确；由B知，sin B＝，又b＝4，由正弦定理得2R＝＝＝5，故△ABC外接圆半径为R＝，C错误；取AC的中点E，则＋＝2，因为＋2＋＝0，所以＝－，即P点在AC的中线上，故△APB与△BPC的面积相等，D正确．
13．选A 由asin B＋bcos A＝0及正弦定理可得sin Asin B＋sin Bcos A＝0，因为B∈(0，π)，则sin B>0，所以sin A＋cos A＝0，则tan A＝－，因为A∈(0，π)，故A＝.因为b＝2c＝4，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝42＋22－2×4×2×＝28，故a＝2.因为△ABD的面积与△ADC的面积之比为2，所以＝＝2，则＝＝2，故m＝2n，由斯特瓦尔特定理可得AD2＝－＝－＝，因此AD＝.
14．解：(1)由＝，结合正弦定理＝，得＝＝，
所以tan A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.
即bc≤4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，即当b＝c＝2时，三角形ABC面积的最大值为.
15．解：(1)由正弦定理＝，
得＝，解得sin B＝.
(2)法一：余弦定理
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即39＝4＋c2－4ccos 120°，
整理得c2＋2c－35＝0，
解得c＝5或c＝－7(舍去)．所以c＝5.
法二：射影定理
因为A＝120°，所以B，C均为锐角，
所以cos B＝＝.
由射影定理得，c＝acos B＋bcos A＝×＋2×＝6－1＝5.
(3)由正弦定理＝，
可得sin C＝，又B，C均为锐角，
所以cos C＝＝，
cos B＝＝，
所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－.