名称 | 11.2 第2课时 正弦定理的应用(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第二册 | | |
格式 | zip | ||
文件大小 | 3.0MB | ||
资源类型 | 教案 | ||
版本资源 | 苏教版(2019) | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2025-07-28 19:14:48 |
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6.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.2 D.
√
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解析:因为b2-bc-2c2=0,
所以(b-2c)(b+c)=0.又b+c>0,所以b=2c.
又a2=b2+c2-2bccos A,即()2=b2+c2-2bc·,将b=2c代入,解得c=2,b=4.
因为cos A=,所以sin A=.
所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=.
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7.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,
若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,
飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后
又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度约
为 km.(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732)
解析:因为AB=1 000×=(km),所以BC=·sin 30°=(km),航线离山顶的高度为h=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山顶的海拔高度约为18-11.4=6.6(km).
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8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 .
解析:由正弦定理知=,结合条件得c==2.又sin A=
sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,所以△ABC
的面积S=bcsin A=+1.
+1
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9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+2c=2acos B,a=8,
△ABC的面积为4,则b+c的值为 .
解析:根据余弦定理得b+2c=2a×,整理得b2+c2-a2=-bc.
∴cos A==-.
∵A∈(0,π),∴A=.
又△ABC的面积为4,∴bcsin A=bc×=4,解得bc=16.
根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即64=b2+c2-2bccos =
b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-16,∴(b+c)2=80,∴b+c=4.
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10.(18分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=
sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
解:证明:因为A+B+C=π,
所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=
sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B.
同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.
所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,
由正弦定理可得2a2=b2+c2.
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(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
解:由(1)及a2=b2+c2-2bccos A,得a2=2bccos A,所以2bc=31.
因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9.
所以△ABC的周长l=a+b+c=14.
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11.(18分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度;
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解:由题意知
∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=62+102-2×6×10×cos 120°=196,
解得BC=14,所以v甲==7 n mile/h.
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
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(2)求sin α.
解:在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,
BC=14,∠BCA=α.
由正弦定理得=,
即sin α===.
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12.(19分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
解:因为D为BC的中点,
所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=,
解得DC=2,
所以BD=DC=2,a=4.
因为∠ADC=,所以∠ADB=.
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在△ABD中,由余弦定理得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=.
在△ABD中,由正弦定理得=,
所以sin B==,
所以cos B==.
所以tan B==.
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(2)若b2+c2=8,求b,c.
解:因为D为BC的中点,所以BC=2BD.
在△ABD与△ABC中,
由余弦定理得
cos B==,
整理得2BD2=b2+c2-2=6,
得BD=,所以a=2.
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在△ABC中,由余弦定理得
cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc
=bc= =,
解得bc=4.
则由解得b=c=2.课时跟踪检测(二十四) 正弦定理的应用
(满分100分,选填小题每题5分)
1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,
∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为 ( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为 ( )
A. B.7
C.37 D.6
3.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,bsin A=(3b-c)sin B,且cos A=,则下列说法不正确的是 ( )
A.a+c=3b
B.tan A=2
C.△ABC的周长为4c
D.△ABC的面积为c2
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为b(bsin B-asin A-csin C),则B= ( )
A. B.
C. D.
5.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A-sin Bsin C=0,则的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.(-1,1)
6.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于 ( )
A. B.
C.2 D.
7.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度约为 km.(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732)
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 .
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+2c=2acos B,a=8,△ABC的面积为4,则b+c的值为 .
10.(18分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
11.(18分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α.
12.(19分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
课时跟踪检测(二十四)
1.选A 由题意知∠ABC=30°. 由正弦定理得=,所以AB===50(m).
2.选A 由2cos2-cos 2C=1,得1+cos(A+B)-(2cos2C-1)=2-2cos2C-cos C=1,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A及正弦定理,得4b=3a,结合a-b=1,得a=4,b=3.由余弦定理,知c2=a2+b2-2abcos C=42+32-2×4×3×=13,所以c=.
3.选C 由bsin A=(3b-c)sin B角化边可得ba=(3b-c)b,所以a+c=3b,故A正确.因为cos A=,所以sin A==.所以tan A==2,故B正确.△ABC的周长为a+b+c=4b,故C错误.根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=b2+c2-bc,将a=3b-c代入上式可得b=c,代入a+c=3b可得a=c,所以△ABC的面积为bcsin A=c2,故D正确.
4.选D 因为△ABC的面积为b(bsin B-asin A-csin C),所以absin C=b(bsin B-
asin A-csin C),即asin C=bsin B-asin A-csin C.由正弦定理得ac=b2-a2-c2,即a2+c2-b2=-ac.所以cos B==-.因为B∈(0,π),所以B=.
5.选A 由正弦定理及sin2A-sin Bsin C=0,得a2=bc.根据余弦定理a2=b2+c2-
2bccos A,得a2=(b-c)2+2bc(1-cos A).令p==,则b-c=2pa.因此a2=4p2a2+2a2(1-cos A),即4p2=2cos A-1.由题意可知A是锐角,所以0
7.解析:因为AB=1 000×=(km),所以BC=·sin 30°=(km),航线离山顶的高度为h=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山顶的海拔高度约为18-11.4=6.6(km).
答案:6.6
8.解析:由正弦定理知=,结合条件得c==2.又sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,所以△ABC的面积S=bcsin A=+1.
答案:+1
9.解析:根据余弦定理得b+2c=2a×,整理得b2+c2-a2=-bc.∴cos A==-.∵A∈(0,π),∴A=.又△ABC的面积为4,∴bc·sin A=bc×=4,解得bc=16.根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即64=b2+c2-2bccos =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-16,∴(b+c)2=80,∴b+c=4.
答案:4
10.解:(1)证明:因为A+B+C=π,
所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B.
同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.
所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,
由正弦定理可得2a2=b2+c2.
(2)由(1)及a2=b2+c2-2bccos A,得a2=2bccos A,所以2bc=31.
因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9.
所以△ABC的周长l=a+b+c=14.
11.解:(1)由题意知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=62+102-2×6×10×cos 120°=196,
解得BC=14,所以v甲==7 n mile/h.
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,
BC=14,∠BCA=α.
由正弦定理得=,
即sin α===.
12.解:(1)因为D为BC的中点,
所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=,
解得DC=2,所以BD=DC=2,a=4.
因为∠ADC=,所以∠ADB=.
在△ABD中,由余弦定理得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=.
在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B==,
所以cos B==.
所以tan B==.
(2)因为D为BC的中点,所以BC=2BD.
在△ABD与△ABC中,由余弦定理得cos B==,
整理得2BD2=b2+c2-2=6,
得BD=,所以a=2.
在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC
=bc
=bc ==,
解得bc=4.则由解得b=c=2.