11.3 余弦定理、正弦定理的应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.认识实际测量中的有关名称和术语,理解方位角、方向角、俯角、仰角的含义.
2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题.
题型(一) 测量距离问题
[例1] 如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°,
∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少
听课记录:
|思|维|建|模|
三角形中与距离有关问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
[针对训练]
1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是 ( )
A.60 B.60(+1)
C.30 D.30(+1)
题型(二) 测量高度问题
[例2] 如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.
听课记录:
|思|维|建|模|
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
[针对训练]
2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
题型(三) 测量角度问题
[例3] 某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF= .
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题.
(2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.
[针对训练]
3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船 相遇时乙船行驶了多少n mile
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
[例1] 解:由正弦定理得
AC=
===10(1+)(m),
BC=
==20(m).
在△ABC中,由余弦定理得
AB= =10(m).
∴A,B两点间的距离为10 m.
[针对训练]
1.选A 由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,∴CD==15(3+),BD==15(-1),∴BC=CD-BD=60.故选A.
[例2] 解:由于CD⊥平面ABD,
∠CAD=45°,所以CD=AD.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由=,
得AD===800(+1)(m).
即山的高度为800(+1)m.
[针对训练]
2.解:设AC=x m,
则BC=x-×340=(x-40)m.
在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2
=10 000+x2-100x,
解得x=420.
在△ACH中,AC=420 m,
∠CAH=30°+15°=45°,
∠AHC=90°-30°=60°.
由=,
得CH=AC·=140(m).
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
[例3] 解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.
由题中所给数据得
DF=
=
=10(m),
DE===100(m),
EF===130(m).
在△DEF中,由余弦定理的推论,得
cos∠DEF=
==-.
答案:-
[针对训练]
3.解:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x n mile,
则AC=x,
由正弦定理得sin θ==,而θ<60°,∴θ=30°.
∴∠ACB=30°,BC=AB=a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile.(共48张PPT)
11.3
余弦定理、正弦定理的应用
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
课时目标
1.认识实际测量中的有关名称和术语,理解方位角、方向角、俯角、仰角的含义.
2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题.
CONTENTS
目录
1
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3
题型(一) 测量距离问题
题型(二) 测量高度问题
题型(三) 测量角度问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 测量距离问题
01
[例1] 如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少
解:由正弦定理得
AC=
===10(1+)(m),
BC=
==20(m).
在△ABC中,由余弦定理得
AB= =10(m).
∴A,B两点间的距离为10 m.
|思|维|建|模|
三角形中与距离有关问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
针对训练
1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,
30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是( )
A.60 B.60(+1)
C.30 D.30(+1)
√
解析:由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,∴CD==15(3+),
BD==15(-1),∴BC=CD-BD=60.故选A.
题型(二) 测量高度问题
02
[例2] 如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.
解:由于CD⊥平面ABD,
∠CAD=45°,所以CD=AD.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由=,
得AD===800(+1)(m).
即山的高度为800(+1)m.
|思|维|建|模|
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
针对训练
2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该
仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
解:设AC=x m,
则BC=x-×340=(x-40)m.
在△ABC中,根据余弦定理得
(x-40)2=10 000+x2-100x,
解得x=420.
在△ACH中,AC=420 m,
∠CAH=30°+15°=45°,
∠AHC=90°-30°=60°.
由=,
得CH=AC·=140(m).
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
题型(三) 测量角度问题
03
[例3] 某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF= .
-
解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.
由题中所给数据得
DF===10(m),
DE===100(m),
EF===130(m).
在△DEF中,由余弦定理的推论,得
cos∠DEF=
==-.
|思|维|建|模|
(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题.
(2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.
针对训练
3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船 相遇时乙船行驶了多少n mile
解:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x n mile,
则AC=x,
由正弦定理得sin θ==,而θ<60°,∴θ=30°.
∴∠ACB=30°,BC=AB=a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
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解析:灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-
50°=10°,即北偏西10°.故选B.
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2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 ( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
解析:如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-
2×10×20×cos 120°=700,∴AC=10(km).
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3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
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解析:如图所示,
在△PMN中,
=,
∴MN==34.
∴v==(n mile/h).故选A.
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4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为 ( )
A.20 m B.30 m
C.40 m D.60 m
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解析:如图,设O为建筑物的顶端A在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,
OD=20.在Rt△AOD中,OA=OD·tan 60°=60.
∴AB=OA-OB=40.故选C.
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5.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为 km.
解析:在△ABC中,易得A=30°,
由正弦定理=,
得AB===(km).
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6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为 h.
解析:设t h时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得(20t)2+402-2×
20t×40×cos 45°=302.化简,得4t2-8t+7=0,∴t1+t2=2,t1t2=.
从而|t1-t2|==1(h).
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7.如图,在一场足球比赛中,甲同学从点A处开始做匀速直线运动,到达点B时,发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动,已知cos∠BAC=,AB=3 m,AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间,则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点.
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解析:如图,设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D,CD=x,则BD=2x,
AD=7-x,所以在△ABD中,cos A==,整理可得15x2+52x-164=(15x+82)(x-2)=0,解得x=2或x=-(舍去).故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点.
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8.(17分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格
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解:如图所示,考点为A,检查开始处为B,
设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中,AB=(km),
AC=1(km),∠ABC=30°,
由正弦定理,得sin∠ACB=×AB=,
∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意).
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∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(km).
在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km).
∵×60=5,∴在BC上需5 min,CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号,并持续至少5 min才算合格.
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B级——重点培优
9.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为( )
A.50 m B.50 m
C.50 m D.50 m
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解析:设该扇形的半径为r,连接CO,如图所示.由题意,
得CD=150(m),OD=100(m),∠CDO=60°,在△CDO中,
由余弦定理得,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,解得r=50(m).
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10.小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=12 m,②B处的仰角60°,③C处的仰角45°,④cos∠BAC=,⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为( )
A.10 m B.12 m
C.12 m D.12 m
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解析:选①②③⑤,如图所示,则∠ABO=60°,
∠ACO=45°,设OA=x,则OC=OA=x,OB= .
在△BOC中,利用余弦定理BC2=122=x2+-
2x··,解得x=12,即OA=12 m,故选D.
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11.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.
解析:如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知∠ACB=120°,且AC=BC,过C作AB的垂线交AB于D,在Rt△CBD中,DB=500 m,
∠DCB=60°,所以BC= m.
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12.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据得cos θ= .
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解析:∵∠DBC=45°,∠DAC=15°,∴∠BDA=30°.在△ABD中,
由正弦定理有=,即=,即BD=100sin 15°=
100×=25(-).在△BCD中,由正弦定理有=,即=,所以sin∠BCD=-1,因此cos θ=sin(π-∠BCD)=
sin∠BCD=-1.
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13.如图,为了测量湖两侧的A,B两点之间的距离,某观测小组的三位同学分别在B点,距离A点30 km处的C点,以及距离C点10 km处的D点进行观测.甲同学在B点测得∠DBC=30°,乙同学在C点测得∠ACB=45°,丙同学在D点测得∠BDC=45°,则A,B两点间的距离为 km.
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解析:由题易知∠DBC=30°,∠ACB=45°,∠BDC=45°,AC=30,CD=10.在△BCD中,由正弦定理,有=,
则BC===10.
△ABC中,由余弦定理,
有AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB=(10)2+302-2×10×30×=500,
得AB=10.即A,B两点间的距离为10 km.
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14.(18分)如图,为方便市民游览市中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC是夹角为120°的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM= 千米,AN= 千米.
(1)求线段MN的长度;
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解:在△AMN中,由余弦定理得,
MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=3+3-2×××=9,解得MN=3,
所以线段MN的长度为3千米.
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(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
解:设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.在△PMN中,
由正弦定理得====2,所以PM=2sin(120°-α),
PN=2sin α,因此PM+PN=2sin(120°-α)+2sin α=2+
2sin α=3sin α+3cos α=6sin(α+30°).
因为0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.
所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取到最大值6.所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米.课时跟踪检测(二十五) 余弦定理、正弦定理的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,
则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 ( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为 ( )
A.20 m B.30 m
C.40 m D.60 m
5.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为 km.
6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为 h.
7.如图,在一场足球比赛中,甲同学从点A处开始做匀速直线运动,到达点B时,发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动,已知cos∠BAC=,AB=3 m,AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间,则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点.
8.(17分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格
B级——重点培优
9.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为 ( )
A.50 m B.50 m
C.50 m D.50 m
10.小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=12 m,②B处的仰角60°,③C处的仰角45°,④cos∠BAC=,⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为 ( )
A.10 m B.12 m
C.12 m D.12 m
11.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.
12.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据得cos θ= .
13.如图,为了测量湖两侧的A,B两点之间的距离,某观测小组的三位同学分别在B点,距离A点30 km处的C点,以及距离C点10 km处的D点进行观测.甲同学在B点测得∠DBC=30°,乙同学在C点测得∠ACB=45°,丙同学在D点测得∠BDC=45°,则A,B两点间的距离为 km.
14.(18分)如图,为方便市民游览市中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC是夹角为120°的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM= 千米,AN= 千米.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
课时跟踪检测(二十五)
1.选B 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.
2.选D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
3.选A 如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34.∴v＝＝(n mile/h)．故选A.
4.选C 如图，设O为建筑物的顶端A在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60.∴AB＝OA－OB＝40.故选C.
5．解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)．
答案：
6．解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×
cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)．
答案：1
7．解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝(15x＋82)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－(舍去)．故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点．
答案：5
8．解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在△ABC中，AB＝(km)，
AC＝1(km)，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)．
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)．
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．∴CD＝1(km)．
∵×60＝5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min.∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．
9.选B 设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示．由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50(m)．
10.选D 选①②③⑤，如图所示，则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°，设OA＝x，则OC＝OA＝x，OB＝ .在△BOC中，利用余弦定理BC2＝122＝x2＋2－2x··，解得x＝12，即OA＝12 m，故选D.
11．解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，所以BC＝ m.
答案：
12．解析：∵∠DBC＝45°，∠DAC＝15°，∴∠BDA＝30°.在△ABD中，由正弦定理有＝，即＝，即BD＝100sin 15°＝100×＝25(－)．在△BCD中，由正弦定理有＝，即＝，所以sin∠BCD＝－1，因此cos θ＝sin(π－∠BCD)＝sin∠BCD＝－1.
答案：－1
13．解析：由题易知∠DBC＝30°，∠ACB＝45°，∠BDC＝45°，AC＝30，CD＝10.在△BCD中，由正弦定理，有＝，则BC＝＝＝10.△ABC中，由余弦定理，
有AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB＝(10)2＋302－2×10×30×＝500，得AB＝10.即A，B两点间的距离为10 km.
答案：10
14．解：(1)在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 120°＝3＋3－2×××＝9，解得MN＝3，
所以线段MN的长度为3千米．
(2)设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°－α.在△PMN中，由正弦定理得＝＝＝＝2，所以PM＝2sin(120°－α)，PN＝2sin α，因此PM＋PN＝2sin(120°－α)＋2sin α＝2＋2sin α＝3sin α＋3cos α＝6sin(α＋30°)．
因为0°＜α＜120°，所以30°＜α＋30°＜150°.
所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN取到最大值6.所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米．
