2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：3.1.2.1函数单调性的定义与证明（含解析）

3.1.2.1单调性的定义与证明
一、选择题
1．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则f (x)的单调递减区间是(　　)
A．(0，1)　　　　 B．(－∞，1)
C． D．(－∞，3)
2．如果函数f (x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)＝0
C．f (a)≤f (x1)D．f (x1)>f (x2)
3．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
4．(多选)若函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)
A．f (a2＋1)B．f (a2＋a)C．f (a2)D．f (a2＋1)≤f (2a)
5．已知f (x)＝，则(　　)
A．f (x)max＝，f (x)无最小值
B．f (x)min＝1，f (x)无最大值
C．f (x)max＝1，f (x)min＝－1
D．f (x)max＝1，f (x)min＝0
6．已知条件p：函数f (x)＝x2＋mx＋1在区间上单调递增，条件q：m≥－，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
二、填空题
8．若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
9．已知f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0，在其定义域内下列函数为增函数的是________．(填序号)
①y＝a＋f (x)(a为常数)；
②y＝a－f (x)(a为常数)；
③y＝；
④y＝[f (x)]2．
10．函数y＝f (x)在(－2，2)上为减函数，且f (2m)>f (－m＋1)，则实数m的取值范围是________．
11．设f (x)是定义域为R的单调函数，且f (f (x)－3x)＝4，则f (2)＝________．
12．已知函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)判断函数f (x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f (2m－1)>f (1－m)，求实数m的取值范围．
14．(源自人教A版教材)已知函数f (x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
15．已知一次函数f (x)是R上的增函数，g(x)＝f (x)(x＋m)，且f (f (x))＝16x＋5．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
答案解析
1．A　[由题图知f (x)的单调递减区间为(0，1)．]
2．A　[对于A项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以>0，
当x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以>0，
综上所述，>0，故A项正确；
对于B项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，
所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
当x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
综上所述，(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，故B项不成立；
对于C项、D项，由于x1，x2的大小关系不确定，
所以f (x1)与f (x2)的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立．
故选A．]
3．B　[∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上，直线x＝为函数的对称轴，
又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－．]
4．AD　[∵a2＋1－a＝＋>0，
∴a2＋1>a．又函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f (a2＋1)∵a2≥0，
∴a2＋a≥a，
∴f (a2＋a)≤f (a)，故B选项不正确．
当0≤a≤1时，a2≤a，此时f (a2)≥f (a)，故C选项不正确．
∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，
∴a2＋1≥2a，
∴f (a2＋1)≤f (2a)，故D选项正确．
故选AD．]
5．C　[f (x)＝的定义域为[0，1]，因为f (x)在[0，1]上单调递增，
所以f (x)max＝1，f (x)min＝－1．]
6．A　[函数f (x)＝x2＋mx＋1的单调递增区间是，依题意，，
因此－，解得m≥－1，显然[－1，＋∞) ，所以p是q的充分不必要条件．]
7．D　[由题意知实数a满足
解得0＜a≤2，
故实数a的取值范围为(0，2]．]
8．[－1，＋∞)　[函数f (x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f (x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1．]
9．②③　[f (x)在定义域内是减函数，且当f (x)>0时，－f (x)，均为增函数，故选②③．]
10．　[由题意知
解得－111．7　[令t＝f (x)－3x，则f (t)＝4，因为f (x)是定义域为R的单调函数，所以t为常数．
即f (x)＝3x＋t，
所以f (t)＝4t＝4，
解得t＝1，
所以f (x)＝3x＋1，故f (2)＝7．]
12．(－1，2)　[函数f (x)＝2x2－4kx－5的图象的对称轴为直线x＝k，若函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2)．]
13．解：　(1)证明：f (x)＝＝2－，x∈(0，＋∞)，任取0可知f (x1)－f (x2)＝＝，
因为0所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以由f (2m－1)>f (1－m)，
可得
解得故实数m的取值范围是．
14．解：　 x1，x2∈[2，6]，且x1f (x1)－f (x2)＝
＝
＝．
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
所以，函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递减．
因此，函数f (x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．
15．解：　(1)由题意设f (x)＝ax＋b(a>0)．
从而f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得或(不合题意，舍去)．
所以f (x)的解析式为f (x)＝4x＋1．
(2)g(x)＝f (x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝－．
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，
所以实数m的取值范围为．
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