3.1.2.2 函数的平均变化率
一、选择题
1.已知A(1,2),B(-3,-4),C(2,m),若A,B,C三点在同一条直线上,则m=( )
A. B.3
C. D.4
2.某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间[1,1+d]上的平均速度的大小为( )
A.2d+4 B.-2d+4
C.2d-4 D.-2d-4
3.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=( )
A.-3 B.2 C.3 D.-2
4.已知对任意的0
0,设a=f (π),b=f (2),则( )
A.a>b B.a=b
C.a5.函数f (x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是( )
A.4 B.-4
C.与m的取值有关 D.无最小值
6.(多选)下列各选项正确的有( )
A.若x1,x2∈I,当x1≠x2时,=>0在区间I上成立,则y=f (x)在区间I上是增函数
B.函数y=x2在R上是增函数
C.函数y=-在定义域上不是增函数
D.函数y=x2的单调递减区间为(-∞,0]
7.设函数f (x)=ax2+bx-c(a≠0)对任意实数t都有f (2+t)=f (2-t)成立,在数值f (-1),f (1),f (2),f (5)中最小的一个不可能是( )
A.f (-1) B.f (1)
C.f (2) D.f (5)
二、填空题
8.过曲线y=x2上两点A(2,4)和B(2+Δx,4+Δy)作割线,当Δx=0.1时,割线AB的斜率为________.
9.已知函数f (x)=f (x)的最大值为m,f (x)的最小值为n,则m+n=________.
10.设f (x)=x2-2ax+a2,x∈[0,2].当a=-1时,f (x)的最小值是________.若f (0)是f (x)的最小值,则a的取值范围为________.
11.已知曲线y=-1上两点A,B,当Δx=1时,割线AB的斜率为________.
12.已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f (x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为________.
三、解答题
13.已知函数f (x)=2x2+3x-5.
(1)当x1=4,且Δx=1时,求函数值的改变量Δy和平均变化率;
(2)当x1=4,且Δx=0.1时,求函数值的改变量Δy和平均变化率;
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义.
14.已知函数f (x)=,x∈[3,5].
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;
(2)求该函数的最大值和最小值.
15.已知函数y=x2+ax+3在[-1,1]上的最小值为-3,求实数a的值.
答案解析
1.C [∵A,B,C三点共线,
∴kAB=kAC,
∴=,解得m=.故选C.]
2.D [平均速度的大小为=-4-2d.故选D.]
3.C [根据平均变化率的定义,可知
==a=3,故选C.]
4.C [由条件知<0,即f (x)在(0,+∞)上单调递减,∵π>2,∴f (π)5.A [f (x)=x2-mx+4的图象的对称轴为直线x=,∵m>0,∴f (x)在(-∞,0]上单调递减,
∴f (x)min=f (0)=4.]
6.CD [A中,没强调x1,x2是区间I上的任意两个数,故不正确;B中,y=x2在x≥0时是增函数,在x<0时是减函数,从而y=x2在整个定义域上不具有单调性,故不正确;C中,y=-在整个定义域内不具有单调性,故正确;D正确.]
7.B [因为f (2+t)=f (2-t),所以该二次函数的对称轴为x=2,该二次函数的图象是抛物线,当a>0时,抛物线的开口向上,当x>2时,该函数单调递增,当x<2时,该函数单调递减,所以f (2)是最小值;当a<0时,抛物线的开口向下,当x>2时,该函数单调递减,当x<2时,该函数单调递增,所以有f (2)>f (1)>f (-1)=f (5),此时f (-1),f (5)最小.故选B.]
8.4.1 [因为割线AB的斜率kAB==
==Δx+4,
所以当Δx=0.1时,割线AB的斜率为4.1.]
9.- [当0≤x≤2时,f (x)=-x2+x=+,此时f (x)max=f==f=-2.
当-1≤x<0时,f (x)=-x2-x=-+,此时f (x)max=f=,f (x)min=f (-1)=0.
综上所述,f (x)max=,f (x)min=-2,即m=,n=-2,所以m+n=-.]
10.1 (-∞,0] [当a=-1时,f (x)=x2+2x+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=-1,
所以函数f (x)=x2+2x+1在[0,2]上单调递增,所以函数f (x)在[0,2]上的最小值为f (0)=1.
若f (0)是f (x)的最小值,说明f (x)图象的对称轴,即直线x=a在y轴左侧或与y轴重合,则a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0].]
11.- [∵Δy=
===,
∴==,
即k==-.
∴当Δx=1时,k=-=-.]
12. [要使f (x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,
所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,
所以m<,所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上单调递减,
所以g(x)max=g(1),即m-6<0,
所以m<6,
所以m<0.
综上所述,m的取值范围是.]
13.解: ∵f (x)=2x2+3x-5,
∴Δy=f (x1+Δx)-f (x1)=+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.
(1)当x1=4,且Δx=1时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,则==21.
(2)当x1=4,且Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,
则==19.2.
(3)在(1)中,=,它表示抛物线上的点A(4,39)与点B(5,60)连线所在直线的斜率;
在(2)中,=,它表示抛物线上的点A(4,39)与点C(4.1,40.92)连线所在直线的斜率.
14.解: (1)函数f (x)在[3,5]上是增函数.
证明:设任意x1,x2满足3≤x1<x2≤5,则
f (x1)-f (x2)=
=
=,
所以==.
因为3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,
所以=>0,
所以f (x)=在[3,5]上是增函数.
(2)由(1)得f (x)min=f (3)==,
f (x)max=f (5)==.
15.解: 函数y=x2+ax+3可变形为
y=+,
其对称轴为x=-.
由函数的图象(图略)可知:
(1)当-≤-1,即a≥2时,
函数y=x2+ax+3在[-1,1]上单调递增,
所以,在x=-1时,y取得最小值4-a.
根据题设4-a=-3,得a=7.
(2)当-∈(-1,1),即-2在上单调递增,
所以,在x=-时,y取得最小值.
根据题设=-3,则a2=24,
解得a=±2.
因为±2 (-2,2),故舍去.
(3)当-≥1,即a≤-2时,
函数y=x2+ax+3在[-1,1]上单调递减,
所以,当x=1时,y取得最小值4+a.
根据题设4+a=-3,得a=-7.
综上可知,符合题意的a的值为±7.
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