四川省成都市列五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（PDF版，含解析）

四川省成都市列五中学 2024-2025 学年高二下学期
期中考试数学试题
一、单选题
1. 在等差数列 中， 为其前 n 项和，若 ，则
A．60 B．75 C．90 D．105
2. 已知二项式 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3. 已知双曲线 C： 的离心率为 2，则 C 的渐近线方程为
（ ）.
B．
A．
C． D．
4. 已知等比数列前 20 项和是 21，前 30 项和是 49，则前 10 项和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5. 将 5 名实习老师安排到高一年级的 3个班实习，每班至少 1人、至多 2人，
则不同的安排方法有（ ）
A．90 种 B．120 种
C．150 种 D．18 种
6. 已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数 的定义域为 ， ， 为 的导函数，已知
的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（ ）
①函数 的图象关于 对称
②函数 在区间 上为增函数
③函数 在 处的切线的倾斜角大于
④关于 的不等式 的解集为
A．4 B．3 C．2 D．1
8. 函数 ，若存在 ，使得对任意 ，都有
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 若 五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法有 24 种
B．最左端只能排 或 ，最右端不能排 ，则不同的排法共有 42 种
C． 不相邻的排法种数为 72 种
D． 按从左到右的顺序排列的排法有 120 种
10. 已知三次函数 有极小值点 ，则下列说法中正确
的有（ ）
A．
B．函数 有三个零点
C．函数 的对称中心为
D．过 可以作两条直线与 的图象相切
11. 设定义在 上的函数 的导函数为 ，若满足 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．不等式 的解集为
C．若 恒成立，则
D．若 ，则
三、填空题
12. 已知 的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则
的展开式中的常数项为_____
13. 若函数 在定义域内是增函数，则实数 的最小值为
______.
14. 已知数列 满足 ，设 ， 为数列
的前 项和.若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在等差数列 中， ， ，求数列 的前 n 项和 .
16. 已知函数 .
(1)若 在 处的切线斜率为 2，求切线方程.
(2)求 的单调区间；
(3)当 时，求函数 的极值.
17. 在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面
底面 ， ，且 ， 分别为 ， 的中点，
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面
角的余弦值.
18. 已知抛物线 ， 为 E 上位于第一象限的一点，点 P
到 E 的准线的距离为 5．
(1)求 E 的标准方程；
(2)设 O 为坐标原点，F 为 E 的焦点，A，B 为 E 上异于 P 的两点，且直线 与
斜率乘积为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 的最小值．
19. 已知函数 .
(1)若 是 的极大值点，求 的值
(2)当 时，若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
(3)若对 ，不等式 恒成立，其中 为自然对数的底数，
求 的最小值.
四川省成都市列五中学 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：数列、计数原理与概率统计、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
较易 7
适中 8
较难 4
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 利用等差数列的性质计算；求等差数列前 n 项和
2 0.85 求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
3 0.85 根据 a,b,c 齐次式关系求渐近线方程
4 0.85 等比数列片段和性质及应用
5 0.65 分组分配问题；排列组合综合
6 0.65 利用导数研究函数的零点；根据极值点求参数
7 0.65 函数与导函数图象之间的关系；根据函数的单调性解不等式
8 0.65 利用导数研究能成立问题；函数最值与极值的关系辨析
二、多选题
9 0.65 相邻问题的排列问题；不相邻排列问题；元素（位置）有限制的排列问题
判断或证明函数的对称性；求过一点的切线方程；利用导数研究函数的零点；根
10 0.65
据极值点求参数
利用导数研究不等式恒成立问题；根据函数的单调性解不等式；用导数判断或证
11 0.4
明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
三、填空题
12 0.85 二项式系数的增减性和最值；求指定项的系数
13 0.85 与二次函数相关的复合函数问题；由函数的单调区间求参数
14 0.4 数列不等式恒成立问题；由递推关系式求通项公式；裂项相消法求和
四、解答题
错位相减法求和；利用 an 与 sn 关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公
15 0.85
式；写出等比数列的通项公式
求已知函数的极值；利用导数求函数（含参）的单调区间；求在曲线上一点处的
16 0.65
切线方程（斜率）
17 0.65 证明线面平行；面面角的向量求法；已知线面角求其他量
求抛物线上一点到定点的最值；抛物线中的直线过定点问题；根据抛物线上的点
18 0.4
求标准方程
19 0.4 利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究函数的零点；根据极值点求参数
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 数列 1,4,14,15
2 计数原理与概率统计 2,5,9,12
3 平面解析几何 3,18
4 函数与导数 6,7,8,10,11,13,16,19
5 空间向量与立体几何 17
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：