广东省东莞市七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（PDF版，含解析）

广东省东莞市七校 2024-2025 学年高一下学期期中
联考数学试题
一、单选题
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
2. 已知向量 ， 且 则 （ ）
A． B． C． D．
3. 如图， 是水平放置的 的直观图， ， ， ，
则原 的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
4. 在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王
之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，
在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 ，在地面上点 处（
三点共线）测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分别为 和 ，在 处测得
楼顶部 的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A． B． C． D．
6. 将半径为 4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A． C．
B． D．
7. 如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向量积”， 还
是一个向量，它的长度为 .在棱长为 2的正方体
中，则 （ ）
A． B． C．4 D．
8. 在直三棱柱 中， ，若该棱柱外接球的表面
积为 ，则侧面 绕直线 旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 已知复数 z 满足： ，则（ ）
A． B． 的虚部是 3
C． D．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 如图，在边长为 6的等边 中， ，点 在以 为直
径的半圆上（不含点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
11. 如图所示，在棱长为 2的正方体 中， 分别为 的
中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．三棱锥 外接球表面积为
三、填空题
12. 已知向量 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为
_________.
13.《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为 3，上底面半径为 1，
下底面半径为 5，则此圆亭的表面积等于______.
14. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，
即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减
上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即
(其中 为三角形面积，a，b，c 为三角形的三边)．在
非直角 中，a，b，c 为内角 A，B，C 所对应的三边，若 且
，则 面积的最大值是________，此时 外接圆
的半径为____
四、解答题
15. 已知复数 ，其中 ．
(1)设 ，若 是纯虚数，求实数 m 的值；
(2)设 ，分别记复数 在复平面上对应的点为 A、B，求 与 的夹角
余弦值以及 在 上的投影向量．
16. 已知在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 的周长．
17. 如图， 中， 是 的中点， 与 交于
点 .
(1)用 表示 ；
(2)设 ，求 的值；
(3)若 ，求 的最大值.
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，
分别为棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求点 到平面 的距离.
19. 在 中，内角 对应的边分别为 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 为线段 内一点，且 ，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都
以他的名字来命名，如对于任意的 ，都有
被称为柯西不等式；若 ，求：
的最小值．
广东省东莞市七校 2024-2025 学年高一下学期期中联考数学试题
整体难度：较易
考试范围：复数、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 5
较易 8
适中 6
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 求复数的实部与虚部；复数的除法运算
2 0.94 由向量共线（平行）求参数
3 0.94 斜二测画法中有关量的计算
4 0.85 正弦定理判定三角形解的个数
5 0.85 高度测量问题；正弦定理解三角形
6 0.94 锥体体积的有关计算
7 0.65 数量积的运算律；向量夹角的计算；用定义求向量的数量积
8 0.65 柱体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
二、多选题
9 0.94 复数的除法运算；求复数的实部与虚部；求复数的模；共轭复数的概念及计算
10 0.65 向量的线性运算的几何应用；用定义求向量的数量积；求投影向量
球的表面积的有关计算；用定义证明线面关系；求线面角；线面垂直证明线线垂
11 0.85
直
三、填空题
12 0.85 向量夹角的计算；数量积的运算律
13 0.85 圆台表面积的有关计算
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；正弦定理求外接圆半径；
14 0.65
余弦定理解三角形
四、解答题
已知复数的类型求参数；求投影向量；复数代数形式的乘法运算；向量夹角的坐
15 0.85
标表示
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；逆用和、差角的正弦公式
16 0.65
化简、求值；余弦定理解三角形
17 0.85 平面向量基本定理的应用；向量夹角的计算；向量减法的法则
18 0.85 证明线面垂直；求点面距离；证明线面平行
正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；数量积的运
19 0.65
算律
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1,9,15
2 平面向量 2,7,10,12,15,17,19
3 空间向量与立体几何 3,6,8,11,13,18
4 三角函数与解三角形 4,5,14,16,19
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：