2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂第十一讲 二次函数y=ax^2的图象和性质(含解析)

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名称 2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂第十一讲 二次函数y=ax^2的图象和性质(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-07-29 07:19:52

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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点梳理
知识点1二次函数Y=ax2的图像
1.要画出二次函数的图象,一般用描点法,分为列表、描点、连线三步,具体步骤如下:
①列表:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.
②描点:在平面直角坐标系中描出表中的各点.
③连线:用平滑的曲线按顺序连接各点.
2.要点诠释:与抛物线开口大小的关系
(1)相等,抛物线形状相同,抛物线y=ax2和y=﹣ax2的联系:开口大小相同,开口方向相反,两条抛物线关于x轴对称,关于原点对称.
(2)越大,抛物线的开口越小,即图象越靠近y轴;
越小,抛物线的开口越大,即图象越远离近y轴.
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
要点诠释:
二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定,开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上,a<0开口向下;对称轴y轴;a>0,x>0时,y随x增大而增大,x<0时,y随x增大而减小;a<0,x>0时,y随x增大而减小,
x<0时,y随x增大而增大。
题型1 由二次函数解析式确定图象位置
【例1】.抛物线的顶点坐标为 .
针对训练1
1.二次函数的图象是( )
A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定
2.夕夕用软件绘制抛物线时,将“4”按成了“5”,和原图象相比,发生改变的是( )
A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标
3.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A.图象开口向下 B.对称轴是轴
C.有最高点 D.随的增大而增大
4.下列关于二次函数的性质,说法不正确的是( )
A.它的图象经过点 B.它的图象的对称轴是y轴
C.当时,y随x的增大而减小 D.有最大值
5.拋物线的对称轴是 轴.
题型2 由二次函数图象确定字母取值范围
【例2】已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的,那么m的取值范围是 .
针对训练2
1.如图,杜老师在黑板上画出了二次函数的图象,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的图象是(  )
A. B.
C. D.
3.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,连接,若抛物线与线段恰有一个公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图,在平面直角坐标系中,,若抛物线经过区域(包括边界),则a的取值范围是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
题型3 由二次函数的解析式比较函数值大小
【例3】已知二次函数图象上有两个不同点、,则 .
针对训练3
1.已知点,,都在二次函数的图象上,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
2.若点都在二次函数图象上,则( )
A. B. C. D.
3.二次函数图象上有三个动点、、,下列说法错误的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.无论取何值,都有
4.已知点,都在抛物线上,则( )
A. B. C. D.
5.已知,且点,,都在函数的图象上,则( )
A. B. C. D.
题型4由二次函数图象确定函数最值及自变量取值范围
【例4】.已知函数是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时x为何值时,y随x的增大而减小.
针对训练4
1.当时,函数的最大值与最小值的和为( )
A. B. C. D.
2.填写下列表格:
抛物线 图象(画出图象草图) 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
_________ _________ _________ 当_________时,有最_________值,为_________ 当时,随的增大而_________;当时,随的增大而_________
_________ _________ _________ 当_________时,有最_________值,为_________ 当时,随的增大而_________;当时,随的增大而_________
3.当时,二次函数的最大值是 .
4.已知y=(m+1)x是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而减小.
(1)求m的值;
(2)当自变量的值为多少时,函数有最值?最值是多少?
5.根据下列条件求的取值范围:
(1)函数,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大;
(2)函数有最大值;
(3)函数的图象是开口向上的抛物线.
题型5 二次函数图象与几何综合问题
【例5】.已知点在抛物线上,过点作轴,交抛物线于另一点,求的面积.
针对训练5
1.如图,已知抛物线,正方形的顶点在抛物线上,顶点在轴上,求点的坐标.
2.在平面直角坐标系中,已知点A在y轴正半轴上.
(1)如图1,已知菱形的顶点B,C,D在二次函数的图象上,且轴,求菱形的边长;
(2)如图2,已知正方形的顶点B,D在二次函数的图象上,点B,D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B,D的横坐标分别为m,n,探究是否为定值?
3.如图,已知点在抛物线上,过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B.
(1)求a的值和点B的坐标;
(2)若点P是抛物线上一点,当以点A,B,P为顶点构成的的面积为2时,求点P的坐标.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的解析式是,直线的解析式是,点,点是在该抛物线上的动点,连接,过作.
(1)求证:;
(2)设点,求的最小值及此时点的坐标.
5.如图,在平面直角坐标系内,已知抛物线上有两个点、,它们的横坐标分别为,.若为直角三角形,求的值.
题型6 二次函数图象与一次函数综合问题
【例6】.如图,点是轴负半轴上的一点,经过点作直线,与抛物线交于、两点(点在点的左侧),连接、,设点的横坐标为.
(1)若点的坐标为,求点的坐标;
(2)若,,求的值,并证明:;
(3)若,问“”这一结论还成立吗?试说明理由.
针对训练6
1.如图,过点的直线交抛物线于点F,D,过点F的直线交抛物线于另一点E,则直线过定点,求这个定点的坐标.
2.如图,点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、,直线与轴交于点,连接、.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求的面积;
(3)在轴上找一点,使的值最小,求点的坐标和的最小值.
3.如图,已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和.

(1)求两个函数的解析式;
(2)求的面积.
4.如图,直线与y轴交于点A,与抛物线y=ax2交于B,C两点,且点B坐标为(2,2).
(1)求a,b的值;
(2)连接OC、OB,求△BOC的面积.
4.如图,直线与抛物线交于,两点,与轴于点,其中点的坐标为.
(1)求,的值;
(2)若于点,.试说明点在抛物线上.
能力提升 创新拓展
1.在平面直角坐标系中,P,Q是抛物线上不重合的两点,点,直线的比例系数互为相反数.
(1)若点P的坐标为,求a的值.
(2)在(1)的条件下,求点Q的坐标.
(3)若点P,Q都在第一象限内,且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍,试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
2.如图,过点的直线与抛物线交于,两点.
(1)求b值;
(2)求的值.
3.如图直角坐标系中,O为坐标原点,,,二次函数的图像经过点A,B,点P为抛物线上AB上方的一个点,连结PA,作垂足为H,交OB于点Q.
(1)求b,c的值;
(2)当时,求点P的坐标;
(3)当面积是四边形AOQH面积的2倍时,求点Р的坐标.
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 二次函数y=ax2的图象和性质(解析版)
知识点梳理
知识点1二次函数Y=ax2的图像
1.要画出二次函数的图象,一般用描点法,分为列表、描点、连线三步,具体步骤如下:
①列表:先取原点(0,0),然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表.
②描点:在平面直角坐标系中描出表中的各点.
③连线:用平滑的曲线按顺序连接各点.
2.要点诠释:与抛物线开口大小的关系
(1)相等,抛物线形状相同,抛物线y=ax2和y=﹣ax2的联系:开口大小相同,开口方向相反,两条抛物线关于x轴对称,关于原点对称.
(2)越大,抛物线的开口越小,即图象越靠近y轴;
越小,抛物线的开口越大,即图象越远离近y轴.
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
要点诠释:
二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定,开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上,a<0开口向下;对称轴y轴;a>0,x>0时,y随x增大而增大,x<0时,y随x增大而减小;a<0,x>0时,y随x增大而减小,
x<0时,y随x增大而增大。
题型1 由二次函数解析式确定图象位置
【例1】.抛物线的顶点坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质,掌握二次函数的性质是解题的关键.根据二次函数的性质求解.
【详解】解:抛物线的顶点为,
∴抛物线的顶点坐标是.
故答案为:.
针对训练1
1.二次函数的图象是( )
A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象特征,理解特征是解题的关键.
根据二次函数的图象特征进行判断即可求解.
【详解】解:由题意得,二次函数的图象是抛物线.
故选:C.
2.夕夕用软件绘制抛物线时,将“4”按成了“5”,和原图象相比,发生改变的是( )
A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质,根据二次函数的性质,二次项系数决定抛物线的开口方向和大小,当时,抛物线向上开口;越大,抛物线的开口越小,即可解答,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解:抛物线:和的对称轴都是轴,顶点坐标都是,开口方向都向上,而抛物线的开口比抛物线的开口大,
∴和原图象相比,发生改变的是开口大小,
故选:B.
3.下列关于抛物线的说法正确的是( )
A.图象开口向下 B.对称轴是轴
C.有最高点 D.随的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质,解题的关键是:熟练掌握二次函数的图象及性质.
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性,则可判断四个选项,可求得答案.
【详解】解:抛物线的开口向上,有最低点,对称轴为y轴,
当时,函数值随x的增大而减小,
∴四个选项中只有B选项的说法正确,
故选:B.
4.下列关于二次函数的性质,说法不正确的是( )
A.它的图象经过点 B.它的图象的对称轴是y轴
C.当时,y随x的增大而减小 D.有最大值
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质,可以判断各个选项的结论是否正确,从而可以解答本题.本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值,解答本题的关键是明确二次函数的性质,难度较小.
【详解】A、因为,把代入,解得,故它的图象经过点,故该选项是正确的,不符合题意;
B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的,不符合题意;
C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上,当时,y随x的增大而减小,故该选项是正确的,不符合题意;
D、因为的图象开口向上,有最小值,故该选项是错误的,符合题意.
故选:D.
5.拋物线的对称轴是 轴.
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质,掌握的图象及性质是解题的关键.根据二次函数的图象及性质,即可求得.
【详解】解:∵抛物线顶点为,
∴该抛物线的对称轴是直线,即轴,
故答案为:
题型2 由二次函数图象确定字母取值范围
【例2】已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的,那么m的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质,由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的,可得抛物线开口向下,进而求解.
【详解】解:二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的,
抛物线开口向下,
∴,

故答案为:.
针对训练2
1.如图,杜老师在黑板上画出了二次函数的图象,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质,熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键.由题意得,,即可求解.
【详解】解:∵二次函数的图象开口向下,
∴,
∴.
故选:B.
2.二次函数的图象是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象,熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键.根据解析式确定出的值为负数,得到抛物线开口向下,再由解析式可知抛物线的对称轴是轴,顶点为,即可确定出其图象.
【详解】 解:∵,
∴抛物线的对称轴是轴,顶点为,
由可知,抛物线开口向下,
故选:D.
3.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标是,点的坐标是,连接,若抛物线与线段恰有一个公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,找到两个临界位置是解题关键.先将点,代入求出的值,再结合函数图象求解即可得.
【详解】解:将点代入抛物线得:,解得,
将点代入抛物线得:,
如图,若抛物线与线段恰有一个公共点,
则的取值范围是,
故选:D.
4.如图,在平面直角坐标系中,,若抛物线经过区域(包括边界),则a的取值范围是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数 二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小,,开口向上,,开口向下,的绝对值越大,开口越小,据此分两种情况讨论即可.
【详解】解:如图所示:
分两种情况进行讨论:
当时,抛物线经过点时,,抛物线的开口最小,取得最大值,抛物线经过区域(包括边界),的取值范围是:;
当时,抛物线经过点时,,抛物线的开口最小,取得最小值,抛物线经过区域(包括边界),的取值范围是:;
综上,抛物线经过区域(包括边界),则a的取值范围是或,
故选:B.
题型3 由二次函数的解析式比较函数值大小
【例3】已知二次函数图象上有两个不同点、,则 .
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质.根据解析式可得对称轴为y轴,再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称,据此可得答案.
【详解】解:∵二次函数解析式为,
∴二次函数对称轴为y轴,
∵二次函数 图象上有两个不同点、,
∴、关于对称轴对称,
∴,
故答案为:.
针对训练3
1.已知点,,都在二次函数的图象上,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.利用抛物线的对称性及增减性即可求解,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解:二次函数的图象关于轴对称,
关于轴的对称点为,
,且时,函数值随自变量的增大而减小,

故选:D.
2.若点都在二次函数图象上,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
由,可知对称轴为轴,当时,随着的增大而增大,由,可得.
【详解】解:∵,,
∴对称轴为轴,当时,随着的增大而增大,
∵,
∴.
故选:A.
3.二次函数图象上有三个动点、、,下列说法错误的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.无论取何值,都有
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系,先作出函数的图象,再根据函数的性质求解.
【详解】解:二次函数图象如下图所示:
A、,则,故A是错误的;
B、当时,,故B是正确的;
C、若,如图所示:则,故C是正确的;
D、∵,,
∵,
∴,
故D是正确的;
故选:A.
4.已知点,都在抛物线上,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质,根据的开口方向及增减性判断即可.
【详解】解:中,,
抛物线开口向下,顶点坐标为,当时,y随x的增大而增大,


故选B.
5.已知,且点,,都在函数的图象上,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.根据二次函数的开口方向和对称轴,可得当时,随的增大而减小,由得到,最后结合函数图象上点的特征即可解答.
【详解】解:二次函数中二次项系数,
函数的图象开口向下,
函数的图象对称轴为直线,
当时,随的增大而减小,


又点,,都在函数的图象上,

故选:C.
题型4由二次函数图象确定函数最值及自变量取值范围
【例4】.已知函数是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时x为何值时,y随x的增大而减小.
【答案】(1)2或
(2)当时,抛物线的最低点为,当时,y随x的增大而增大
(3)当时,二次函数的最大值是0,当时,y随x的增大而减小
【分析】(1)根据二次函数的定义可求得m的值;
(2)根据二次函数的性质得当时,抛物线有最低点,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性;
(3)根据二次函数的性质得到当时,抛物线开口向下,函数有最大值,然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性.
【详解】(1)解:根据题意得且,
解得,,
所以满足条件的m值为2或.
(2)解:当时,抛物线有最低点,
所以,
此时抛物线解析式为,
所以抛物线的最低点为,当时,y随x的增大而增大.
(3)解:当时,抛物线开口向下,函数有最大值;
此时抛物线解析式为,
所以二次函数的最大值是0,当时,y随x的增大而减小.
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值,解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零.
针对训练4
1.当时,函数的最大值与最小值的和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质,根据函数解析式得出抛物线的对称轴,抛物线开口向下,对称轴为直线,即轴,函数有最大值,距离对称轴越远,函数值越小,由此可解,能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键.
【详解】解:由二次函数可知,对称轴为直线,即轴,,
∴当时,二次函数有最大值,
由,根据距离对称轴越远,函数值越小,
∴当时,有最小值,
∴当时,函数的取值范围为,
∴最大值与最小值的和为,
故选:.
2.填写下列表格:
抛物线 图象(画出图象草图) 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
_________ _________ _________ 当_________时,有最_________值,为_________ 当时,随的增大而_________;当时,随的增大而_________
_________ _________ _________ 当_________时,有最_________值,为_________ 当时,随的增大而_________;当时,随的增大而_________
【答案】见解析
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案.
【详解】解:①的图象如下:

由图可知:抛物线开口向下,
对称轴为:轴,
顶点坐标为: ,
当时,有最大值,最大值为0,
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大,
②抛物线图象如下:

由图可知:抛物线开口向上,
对称轴为:轴,
顶点坐标为:,
当时,有最小值,最小值为0,
当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小,
故答案为: 向下 轴 0 大 0 减小 增大; 向上 轴 0 小 0 增大 减小.
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质,熟练利用二次函数的解析式画出图象,并掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质是解题的关键.
3.当时,二次函数的最大值是 .
【答案】0
【分析】根据二次函数的性质,时,抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小,即可得解.
【详解】解:∵,,对称轴为:,
∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越小,
∵,
∴当时,函数值最大,最大值为:;
故答案为:0.
【点睛】本题考查二次函数的最值问题.熟练掌握二次函数的性质,是解题的关键.
4.已知y=(m+1)x是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而减小.
(1)求m的值;
(2)当自变量的值为多少时,函数有最值?最值是多少?
【答案】(1)m=﹣2;(2)当x=0时,y最大=0.
【分析】根据二次函数定义,m2+m=2,以及 性质解答即可.
【详解】解:(1)∵y=(m+1)x是关于x的二次函数,∴m2+m=2,解得m=1或﹣2,
∵当x>0时,y随x的增大而减小,
∴开口向下,a=m+1<0,即m<﹣1.所以m=﹣2,m=1(不符合题意,舍);
(2)开心向下,顶点(0,0)
当x=0时,y最大=0.
【点睛】本题考查二次函数的定义,以及性质,属于基础题.
5.根据下列条件求的取值范围:
(1)函数,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大;
(2)函数有最大值;
(3)函数的图象是开口向上的抛物线.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质,解一元一次不等式,因式分解法解一元二次方程等知识点,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
(1)根据二次项的系数小于,对称轴左边随的增大而增大,对称轴右边随的增大而减小,可列出一元一次不等式,解之即可得出答案;
(2)根据二次函数有最大值,可得二次项的系数小于,据此列出一元一次不等式,解之即可得出答案;
(3)根据函数图象开口向上,可得二次项系数大于,同时二次项的次数须满足,解之即可得出答案.
【详解】(1)解:由题意可得:

解得:;
(2)解:由题意可得:

解得:;
(3)解:由题意可得:

解得:.
题型5 二次函数图象与几何综合问题
【例5】.已知点在抛物线上,过点作轴,交抛物线于另一点,求的面积.
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,求得、的坐标是解题的关键.由抛物线的解析式求得的坐标,然后利用抛物线的对称性求得的坐标,即可求得,利用三角形面积公式即可求解.
【详解】解:点在抛物线上,


过点作轴,交抛物线于另一点,
由抛物线的对称性可知,当时,,


的面积.
针对训练5
1.如图,已知抛物线,正方形的顶点在抛物线上,顶点在轴上,求点的坐标.
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,正方形的性质,表示出正方形各个点的坐标是解题的关键.设正方形的边长为,则根据抛物线对称性可得,代入抛物线的解析式即可求得,得到;
【详解】解:设正方形的边长为,
则,,
∵点在抛物线上,
∴,
∴或(舍去),
∴.
2.在平面直角坐标系中,已知点A在y轴正半轴上.
(1)如图1,已知菱形的顶点B,C,D在二次函数的图象上,且轴,求菱形的边长;
(2)如图2,已知正方形的顶点B,D在二次函数的图象上,点B,D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B,D的横坐标分别为m,n,探究是否为定值?
【答案】(1)
(2)是,
【分析】(1)结合菱形的性质,得出,由勾股定理得,得到,再把代入进行计算,即可作答.
(2)结合正方形的性质和二次函数的性质,得出,再通过证明,把数值代入进行计算,得因为点B,D在y轴的同侧,所以即,据此即可作答.
【详解】(1)解:设交y轴于点E,
设菱形的边长为,
则.
关于y轴对称,




把代入,
得,
解得或(舍去),
∴菱形的边长为;
(2)解:为定值.理由如下:
过点B作轴于点F,过点D作轴于点E.如图所示:
∵点B,D的横坐标分别为m,n,已知正方形的顶点B,D在二次函数的图象上,


∵四边形是正方形,






∵点B,D在y轴的同侧,

【点睛】本题考查了二次函数的图象性质,菱形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
3.如图,已知点在抛物线上,过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B.
(1)求a的值和点B的坐标;
(2)若点P是抛物线上一点,当以点A,B,P为顶点构成的的面积为2时,求点P的坐标.
【答案】(1),
(2)或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合,求二次函数解析式,二次函数的对称性等等:
(1)先把点A坐标代入解析式中求出a的值,即求出抛物线解析式,再根据对称性即可求出点B的坐标;
(2)先求出,再根据题意可得,据此求出点P的纵坐标即可得到答案.
【详解】(1)解:把代入中得:,
∴,
∴抛物线解析式为,
∴抛物线的对称轴为y轴,
∵轴,且点B在抛物线上,
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称,即关于y轴对称,

(2)解:∵,,
∴,
∵的面积为2,轴,
∴,
∴,
∴或,
在中,当时,,当时,,
∴点P的坐标为或或或.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的解析式是,直线的解析式是,点,点是在该抛物线上的动点,连接,过作.
(1)求证:;
(2)设点,求的最小值及此时点的坐标.
【答案】(1)见解析
(2)的最小值为,此时点的坐标为
【分析】本题考查抛物线的性质,两点间距离公式,线段的最值问题等:
(1)设点P的坐标为,根据两点间距离公式求出,可证;
(2)由可得,当E,P,N共线时,等号成立.
【详解】(1)证明:点是在该抛物线上的动点,
设点P的坐标为,


,直线的解析式是,


(2)解:,
点在抛物线的上方,
由(1)知,
,当E,P,N共线时,等号成立,如图:
,当时,,
的最小值为,此时点的坐标为.
5.如图,在平面直角坐标系内,已知抛物线上有两个点、,它们的横坐标分别为,.若为直角三角形,求的值.
【答案】或
【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质,要注意在的直角顶点不确定的情况下,要分类讨论,以免漏解.分别用表示、两点的坐标,然后根据坐标系两点距离公式求出、,的值,然后分三种情况,用勾股定理进行求解即可.
【详解】把横坐标,分别代入得、,
∴,,,
当时,,即,
解得,(舍);
当时,,即,
解得,(舍);
当时,,,
此方程无解,
综上,当为直角三角形,的值为或.
题型6 二次函数图象与一次函数综合问题
【例6】.如图,点是轴负半轴上的一点,经过点作直线,与抛物线交于、两点(点在点的左侧),连接、,设点的横坐标为.
(1)若点的坐标为,求点的坐标;
(2)若,,求的值,并证明:;
(3)若,问“”这一结论还成立吗?试说明理由.
【答案】(1);(2),证明见解析;(3)成立,理由见解析.
【分析】(1)先将A点坐标代入解析式求得a,然后再求C即可;
(2)设 、然后再求直线AC的解析式,再结合AC2:BC2=1:4列式求得a,再确定C点坐标,然确定A、B的坐标,最后运用勾股定理逆定理解答即可;
(3)由可得,进而求得a,然再确定C点坐标,然确定A、B的坐标,最后运用勾股定理逆定理解答即可.
【详解】解:(1)当A(-4,-2)时,A在上,
∴,即a=-
∴;
(2)设 、
∴A(-1,a),C(0,a),
设AC的解析式为y=kx+b
则 ,解得
∴AC的解析式为
∵AC:BC=1:2


∴B(-2m,4am2),A(2,4a)
∵AC:BC=1:2
∴AC2:BC2=1:4,即BC2=4 AC2
∴ ,解得a=
∴A(-1,),B(2,)
∴AO2= , BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°;
(3)成立,理由如下:
∵,则 A(m,am2),B(-km, ak2m2),

∴ ,解得,即a=(a<0)
∴A(m, ),B(-km,)
∴AO2= ,
BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°;
【点睛】本题属于一次函数和二次函数的综合题,勾股定理及勾股定理的逆定理的应用,掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键.
针对训练6
1.如图,过点的直线交抛物线于点F,D,过点F的直线交抛物线于另一点E,则直线过定点,求这个定点的坐标.
【答案】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题,熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数法是解题的关键,根据二次函数解析式设,利用待定系数法分别求出直线,,的解析式,由过点和直线的解析式可得到,,再分别将其代入到直线中,可得到,进而得到直线过定点.
【详解】解:设.
利用待定系数法可得,直线,
直线,
直线.
过点,

∵直线的解析式为.
∴,
∴,

∴直线,
∵当时,,
∴直线过定点.
2.如图,点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、,直线与轴交于点,连接、.
(1)求直线的函数表达式;
(2)求的面积;
(3)在轴上找一点,使的值最小,求点的坐标和的最小值.
【答案】(1)直线的解析式为:;
(2);
(3),的最小值为.
【分析】(1)将的横坐标分别代入求出的值,得到,点坐标,再运用待定系数法求出直线的解析式即可;
(2)求出的长,根据“”求解即可;
(3)作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的值最小,先利用待定系数法求得直线,进而即可求得点的坐标,利用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】(1)解:∵,是抛物线上的两点,
∴当时,;当时,
∴点的坐标为,点的坐标为
设直线的解析式为,
把,点坐标代入得
解得,
所以,直线的解析式为:;
(2)解:对于直线:
当时,

∴;
(3)解:∵,
∴,
如图,作点关于轴的对称点,连接交轴于点,则的值最小,
设直线∶,
∵直线∶过点和点,
∴,
解得,
∴直线∶,
令,有,
解得,
∴,
∵点关于轴的对称点为,
∴,
∴的最小值为的长:.
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式,轴对称的性质,勾股定理,二次函数二次函数的图像及性质,熟练求解直线的解析式是解题的关键.
3.如图,已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和.

(1)求两个函数的解析式;
(2)求的面积.
【答案】(1),
(2)3
【分析】(1)首先把点代入二次函数得出,再把点代入二次函数解析式得出,进一步把、代入一次函数求得一次函数即可;
(2)利用一次函数求得点坐标,把的面积分为与的面积和即可.
【详解】(1)解:把点代入二次函数得,,
二次函数的解析式;
点代入二次函数解析式得,
把点,代入一次函数得

解得,
故一次函数的解析式.
(2)一次函数的解析式中,令,得,
∴一次函数与轴交于点,
∴.
【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式,三角形的面积,正确利用函数图象上的点解决问题.
4.如图,直线与y轴交于点A,与抛物线y=ax2交于B,C两点,且点B坐标为(2,2).
(1)求a,b的值;
(2)连接OC、OB,求△BOC的面积.
【答案】(1)a的值是;b的值是4
(2)
【分析】(1)把B(2,2)代入到直线中,进行计算即可得,把B(2,2)代入到抛物线中,进行计算即可得;
(2)联立两函数解析式成方程组,,进行计算可得点C的坐标为,即可得.
【详解】(1)解:把B(2,2)代入到直线中,
得:,
即;
把B(2,2)代入到抛物线中,
得:,
即,
∴a的值是;b的值是4.
(2)解:∵b=4,
∴点A(0,4).
联立两函数解析式成方程组,,
解得:或,
∴点C的坐标为,
∴.
【点睛】本题考查了一次函数的性质,二次函数的性质,三角形的面积,解题的关键是掌握待定系数法求参数,求函数解析式.
4.如图,直线与抛物线交于,两点,与轴于点,其中点的坐标为.
(1)求,的值;
(2)若于点,.试说明点在抛物线上.
【答案】(1),
(2)见解析
【分析】(1)利用待定系数法,把问题转化为解方程即可.
(2)如图,分别过点A,D作AM⊥y轴于点M,DN⊥y轴于点N.利用全等三角形的性质求出点D的坐标,可得结论.
【详解】(1)把点A(-4,8)代入,得:
∴;
把点A(-4,8)代入,得:
∴;
(2)如图,分别过点A,D作AM⊥y轴于点M,DN⊥y轴于点N.
∵直线AB的解析式为y=-x+6,
令x=0,则y=6
∴C(0,6),
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°,
∴∠ACM+∠DCN=90°,∠DCN+∠CDN=90°,
∴∠ACM=∠CDN,
∵CA=CD,
∴△AMC≌△CND(SAS),
∴CN=AM=4,DN=CM=2,
∴D(-2,2),
当x=-2时,y=×22=2,
∴点D在抛物线y=x2上.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,待定系数法,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
能力提升 创新拓展
1.在平面直角坐标系中,P,Q是抛物线上不重合的两点,点,直线的比例系数互为相反数.
(1)若点P的坐标为,求a的值.
(2)在(1)的条件下,求点Q的坐标.
(3)若点P,Q都在第一象限内,且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍,试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)2;(2);(3)是,;理由见详解.
【分析】(1)根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可;
(2)设直线的表达式为,然后根据(1)及题意可求解直线PM的解析式,则由直线的比例系数互为相反数,进而求解问题即可;
(3)设点Q的坐标为,则有点P的坐标为,设直线的表达式为,则直线的表达式为,然后联立函数表达式,进而可根据题意求解即可.
【详解】(1)由题意得:,解得;
(2)设直线的表达式为,
∴,解得,
∴直线的表达式为,
∵直线的比例系数互为相反数,
∴直线的表达式为,
∴,解得,
∴点Q的坐标为;
(3)是定值;理由如下:
设点Q的坐标为,
∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍,
∴点P的坐标为,
再设直线的表达式为,则直线的表达式为,
∴,两式相减,得,
∴,
∴直线的表达式为,
把代入,解得,
∴点P与点Q的纵坐标的差为.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用,熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题的关键.
2.如图,过点的直线与抛物线交于,两点.
(1)求b值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据已知条件,可得结果;
(2)把一次函数与二次函数联立方程组得到关于x的一元二次方程,根据韦达定理计算即可;
【详解】(1)∵直线过点,
∴.
(2)∵,
∴直线的解析式为,
由得,
∴.
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的结合,利用韦达定理进行计算是解题的关键.
3.如图直角坐标系中,O为坐标原点,,,二次函数的图像经过点A,B,点P为抛物线上AB上方的一个点,连结PA,作垂足为H,交OB于点Q.
(1)求b,c的值;
(2)当时,求点P的坐标;
(3)当面积是四边形AOQH面积的2倍时,求点Р的坐标.
【答案】(1);(2);(3)或
【分析】(1)把,两点坐标代入二次函数,化简计算即可;
(2)设,根据,利用相似比,化简计算即可;
(3)当面积是四边形AOQH面积的2倍时,则有,将设代入化简即可.
【详解】(1)把,代入,
则有
解之得:.
(2)设
∵,

∴,∴,得(取正值),


(3)当的面积是四边形AOQH的面积的2倍时,由三角形面积公式可得:,由(2)可知
∴,
得:,,
∴或
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用,熟悉相关性质定理,是解题的关键.
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
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