2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂第十三讲 二次函数y=a（x-h）^2的图象和性质（含解析）

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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十三讲 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
知识点梳理
知识点1 二次函数y=a(x-h) 的图像
a>0 ，开口向上 a<0,开口向下；
对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k）
（3）二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
要点诠释：
二次函数平移与旋转与系数a的关系：平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。
知识点2 二次函数y=a(x-h) 的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
要点诠释：
二次函数y=a（x-p）2的核心性质由其系数a、p决定,a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=p；a>0,x>p时，y随x增大而增大，xp时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。
题型1二次函数y=a（x-p）2的图象顶点、对称轴
【例1】．抛物线的顶点坐标是 ．
针对训练1
1．下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的开口下，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，二次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线顶点的坐标为 ．
题型2 二次函数y=a（x-p）2的图象性质
【例2】．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
针对训练2
1．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）．
2．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．
3．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）．
4．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ．
5．已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ．
题型3 二次函数y=a（x-p）2的图象的变换问题
【例3】．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ．
针对训练3
1．抛物线图像关于坐标原点成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
2．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．对称轴为直线x=1
C．顶点坐标为（﹣1，3）
D．此抛物线是由y=﹣x2+3向左平移1个单位得到的
4．已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
题型4 二次函数y=a（x-p）2的函数值的比较
【例4】．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．
针对训练4
1．在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ）
A．3或4 B．0或4 C．或 D．或
3．对于二次函数，当函数值随的减小而减小时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数当时，函数值y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
6．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ．
题型5 二次函数y=a（x-p）2与一次函数的综合
【例5】．已知抛物线y=（b<0）的图像的顶点为M，与y轴交于点A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与抛物线另交于点B（6，8）.
（1）求线段AN的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线.设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB，求新抛物线对应的函数表达式.
针对训练5
1．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)请你求出点A、B、C的坐标；
(2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围．
3．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为，
(1)求，的值；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
5．已知二次函数的图象与直线y＝x+m交于x轴上一点A（﹣1，0），二次函数图象的顶点C（1，﹣4），若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线y＝x+m交于另一点D，求点B与点D之间的距离．
能力提升 创新拓展
1．已知抛物线L：与y轴交于点A．
(1)点A坐标为________；
(2)如图，点在抛物线L上，其中的横坐标为（，1，2，…），分别记为，，，…，，顶点为的抛物线经过点A，交过点A且与x轴平行的直线于点（，1，2，…），分别记为，，，…，．
①当时，求经过，两点抛物线的解析式；
②求，的坐标．（用含n的代数式表示）
③求及的长度．（用含n的代数式表示）
2．已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时．
①求此时点的坐标；
②求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标．
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第十三讲 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质（解析版）
知识点梳理
知识点1 二次函数y=a(x-h) 的图像
a>0 ，开口向上 a<0,开口向下；
对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k）
（3）二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到.
要点诠释：
二次函数平移与旋转与系数a的关系：平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。
知识点2 二次函数y=a(x-h) 的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
要点诠释：
二次函数y=a（x-p）2的核心性质由其系数a、p决定,a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=p；a>0,x>p时，y随x增大而增大，xp时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。
题型1二次函数y=a（x-p）2的图象顶点、对称轴
【例1】．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可．
【详解】解：依题意，的顶点坐标是，
故答案为：
针对训练1
1．下列抛物线中，对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意；
B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意；
C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意；
D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意；
故选：A．
2．若抛物线的开口下，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案．
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
故选项A符合题意，
故选：A ．
3．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标为，掌握顶点坐标是解答本题的关键．
根据的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
4．如图，二次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意；
故选：C．
5．抛物线顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图像性质，直接根据的顶点坐标为解答即可．
【详解】解：抛物线顶点的坐标为．
故答案为：
题型2 二次函数y=a（x-p）2的图象性质
【例2】．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧，
∴．
故答案为：．
针对训练2
1．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围．
【详解】解：二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴
∴的值可以是
故答案为：（答案不唯一）．
2．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小．
【详解】解：把、分别代入得
，，
所以．
故答案是：．
3．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解．
【详解】解：二次函数，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴离对称轴直线越远，值越小，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
4．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
若，则当时，y最大，即，解得（舍去），；
若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
5．已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ．
【答案】1或6
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，
①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或；
②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或；
③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意；
故答案为：1或6．
题型3 二次函数y=a（x-p）2的图象的变换问题
【例3】．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可．
【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为，
∴顶点为：，
故答案为：．
针对训练3
1．抛物线图像关于坐标原点成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标．
先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的，顶点是，
∴关于坐标原点成中心对称的抛物线的，顶点是．
∴得到的抛物线是：．
故选：D．
2．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律．
由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为，
平移后解析式为，
故选：C．
3．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．对称轴为直线x=1
C．顶点坐标为（﹣1，3）
D．此抛物线是由y=﹣x2+3向左平移1个单位得到的
【答案】B
【详解】试题分析：二次函数y=﹣（x+1）2+3中，a=﹣1＜0，开口向下，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），故选B．
考点：二次函数的性质．
4．已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
题型4 二次函数y=a（x-p）2的函数值的比较
【例4】．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可；
（2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：，则抛物线的对称轴为直线
∵，
∴在对称轴的左侧，
∴关于的对称点为，
∴，
∵，，
∴或，
解得：或．
针对训练4
1．在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由，得抛物线开口向上，分情况讨论：当时；当时；当时；即可解答．
【详解】解：因为，所以抛物线开口向上，
因为，所以位于的左侧，且，
当时满足，
所以，当时，，不满足题意；
当时，满足题意，此时；
当时，要满足条件，则点比点低，此时：
；
故选：A．
2．已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（ ）
A．3或4 B．0或4 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，分情况，，，再进一步解答即可.
【详解】解：函数图象开口方向向下，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
①若，当时，取最大值，
可得：，
解得或（舍去），
②若，当时，取最大值，
可得：，
解得或（舍去），
又时，的最大值为2，
不符合题意，
综上，的值为或．
故选：D．
3．对于二次函数，当函数值随的减小而减小时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数的图象和性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，函数值随的减小而减小．
【详解】解：
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，函数值随的减小而减小．
故选：B ．
4．已知二次函数当时，函数值y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
当时有最大值是3，
当时，，
当时，，
当时，函数值的取值范围为．
故选：D．
5．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，
∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．
∴抛物线的对称轴为直线，即，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，即，
故答案为：．
6．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近，函数值越小，
而，
∴，
故答案为：．
题型5 二次函数y=a（x-p）2与一次函数的综合
【例5】．已知抛物线y=（b<0）的图像的顶点为M，与y轴交于点A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与抛物线另交于点B（6，8）.
（1）求线段AN的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线.设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB，求新抛物线对应的函数表达式.
【答案】（1）.（2）答案见解析.
【分析】（1）根据点的坐标先求出函数解析式，再求出A点和N点（2）根据抛物线的平移先设解析式，求出点的坐标，再求抛物线的解析式.
【详解】解：（1）直线与抛物线y=相交于A点和B点
已知点B（6,8），将点B带入直线解析式中得：
直线解析式为
点坐标（-2,0），点坐标（0,2）
（2）由（1）知，点坐标（0,2），点B（6,8）
带入抛物线解析式中得：
抛物线解析式为y=
当y等于0时得：
顶点M的坐标为（2,0）
设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB
经过MM’的直线解析式为
设新抛物线函数解析式为
经过MM’的直线解析式为
新抛物线的函数表达式为：或.
【点睛】此题重点考查学生对抛物线的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
针对训练5
1．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，
解之得
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．
2．在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)请你求出点A、B、C的坐标；
(2)若二次函数与线段恰有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】（1）根据二次函数顶点式可得顶点C的坐标，令一次函数的自变量和函数值分别为0，可求得点A、B的坐标．
（2）分和两种情况，画出草图，即可求解．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为．
对于，令，得；令，得，
，，
点A、B、C的坐标分别为，，；
（2）解：把代入，得．
当时，，说明抛物线的对称轴左侧与线段总有交点，
只需抛物线的对称轴右侧与线段无交点即可，如图：
只需要时，抛物线的函数值即可，
，
；
当时，抛物线开口下向，如图：
只需要时，抛物线的函数值即可，
，
综上可知，当或时，二次函数与线段AB恰有一个公共点．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象的顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征等，第二问有一定难度，解题的关键是分情况画出草图，利用图形求解．
3．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为，
(1)求，的值；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，的周长最小为
(3)或
【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可；
（2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可；
（3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标．
【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、，
∴，
，解得：，
∴，．
∵抛物线经过、，
∴把，代入抛物线，得：，
解得：；
（2）∵抛物线，
∴对称轴为，
∴，
∴．
如下图，连接交对称轴于点，连接，
∵、两点关于对称轴对称，
∴，
∴．
∵两点之间线段最短，
∴最小，
∴周长最小，
∵，，
∴设直线解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，当时，，
∴；
∴存在满足条件的点，此时，且，
∴的周长最小为；
（3）设，
∵，，
∴，
，
，
当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键．
4．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．已知二次函数的图象与直线y＝x+m交于x轴上一点A（﹣1，0），二次函数图象的顶点C（1，﹣4），若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线y＝x+m交于另一点D，求点B与点D之间的距离．
【答案】
【分析】将二次函数的解析式设为顶点式，再把点A的坐标代入可求得二次函数的解析式，令，解方程求出B点的坐标，把A的坐标代入求出直线的解析式，联立二次函数与直线的解析式求出D点坐标，最后根据勾股定理求得点B与点D之间的距离.
【详解】如图，因二次函数的顶点为，故设二次函数的解析式为
把代入上式得：
解得：
则这个二次函数的解析式为：，即；
令，即
解得：
则点B的坐标为
把代入得：
解得：
则直线的解析式为：
将直线与二次函数的解析式联立得方程组：
解得：或
则点D的坐标为
由勾股定理得：
故点B与点D之间的距离为.
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的结合，利用待定系数法求出两个函数的解析式是解题关键.
能力提升 创新拓展
1．已知抛物线L：与y轴交于点A．
(1)点A坐标为________；
(2)如图，点在抛物线L上，其中的横坐标为（，1，2，…），分别记为，，，…，，顶点为的抛物线经过点A，交过点A且与x轴平行的直线于点（，1，2，…），分别记为，，，…，．
①当时，求经过，两点抛物线的解析式；
②求，的坐标．（用含n的代数式表示）
③求及的长度．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)(0，1)
(2)①，，：
②，
③，
【分析】（1）当时求出抛物线的纵坐标，然后写出点A坐标；
（2）①根据求出的坐标，设函数关系式为：，把(0，1)
代入可以求出，令可以得到的坐标；②先写出点的坐标，在利用A与关于对称轴对称，求出的坐标；③根据②中的结果得到，，分别计算线段长即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴点A坐标为，
故答案为．
（2）①当时，点的横坐标为，
又∵在上，
∴纵坐标为：，
∴
设的抛物线为：，
把(0，1)代入得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：或，
∴．
②∵的横坐标为，
∴纵坐标为，
∴，
∵过点A且与x轴平行的直线于点，
∴A与关于对称轴，
∴，
∴，
又，
∴．
③由②可得：，，
∴，
．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
2．已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
【答案】(1)，
(2)或
(3)（n为正整数），m的值可以为3．
【分析】由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．
分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．
设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．
【详解】（1）∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，
∴，
（2）①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得
把代入得，
解得或（舍），
∴；
②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），
∴，
将代入得，
解得，
∴，
综上，或；
（3）如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，
则DE为△ABC的中位线，
∴，点D坐标为，点E坐标为，
由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，
则，，
解得（n为正整数）．
∴m的值可以为3．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．
3．抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时．
①求此时点的坐标；
②求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②，
【分析】（1）根据解析式求得点、的坐标，过点作轴于点，构建直角三角形，由勾股定理求得长即可，
（2）①由点、的坐标求得的解析式，设点横坐标为，用的代数式表示出，，，的长，从而得到的函数解析式再根据函数性质确定自变量的值，从而求得点的坐标即可，
②将点向右平移个单位长度，得到点，作点与关于轴对称，连接交轴于点，点左侧个单位长度处为点，此时四边形周长最小，根据图形及坐标即可计算出周长的最小值和点的坐标．
【详解】解：（1）当时，，∴，
时，，∴，
过作轴于，则
.
.
（2）①当时，，，
∴，，
由，可求，
直线的解析式为：.
∵轴于点，
∴设，，，
，
中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，有最大值，
此时.
②∵，，
∴，
将点向右平移个单位，得到，
作点与关于轴对称 则有，
连交轴于点，左侧个单位处为点，如图：
此时，，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∴最短，
∵，，
∴四边形周长的最小值为.
∵，，
∴.
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合应用，线段的平移及勾股定理等知识．解题的关键是把四边形的最值问题转化为异侧折线最短问题．
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典例精讲2
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