12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法与乘法运算 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.结合实数的四则运算法则,熟练掌握复数代数形式的四则运算法则.
2.会应用复数的四则运算法则进行复数的运算.
逐点清(一) 复数的加、减运算
[多维理解]
1.复数的加法运算及运算律
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)+(c+di)= .
(2)复数加法满足的运算律
对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
2.复数的减法运算
(1)复数的差
把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫作复数a+bi减去c+di所得的差,记作 .
(2)复数的减法法则
(a+bi)-(c+di)= .
[微点练明]
1.已知复数z1=-i和复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于 ( )
A.1 B.-1 C.-i D.+i
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 ( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .
4.(1)(i2+i)+(1+i)= .
(2)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i)= .
(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i)= .
逐点清(二) 复数的乘法运算
[多维理解]
1.复数的乘法法则
(a+bi)(c+di)= .
2.复数乘法的运算律
对任何z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=
结合律 (z1z2)z3=
分配律 z1(z2+z3)=
[微点练明]
1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= ( )
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
2.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
3.(2023·全国甲卷)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.计算下列各题.
(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2;
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
逐点清(三) 共轭复数
[多维理解]
1.共轭复数的定义
(1)我们把 相等、虚部互为 的两个复数叫作互为共轭复数.
(2)记法:把复数z=a+bi的共轭复数记作 ,即= .
2.共轭复数的性质
当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=,也就是说,实数的共轭复数是它本身.
[微点练明]
1.复数z=1-4i的共轭复数是 ( )
A.1+4i B.-4+i
C.-1+4i D.-1-4i
2.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·= ( )
A.-2 B. C.- D.2
3.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x= ,y= .
4.复数z满足(1+2i)=4+3i,则z= .
第1课时 复数的加法、减法与乘法运算
[多维理解] 1.(1)(a+c)+(b+d)i (2)z2+z1 z1+(z2+z3) 2.(1)(a+bi)-(c+di) (2)(a-c)+(b-d)i
[微点练明]
1.选A 因为z2=cos 60°+isin 60°=+i,所以z1+z2=1.
2.选A 由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
3.解析:由已知得,x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,
∴解得
答案:6 11
4.解析:(1)原式=(-1+i)+(1+i)
=-1+i+1+i=2i.
(2)原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)
=(-3+2i)+(1-2i)=-2.
(3)原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3.
答案:(1)2i (2)-2 (3)15+3
[多维理解] 1.(ac-bd)+(bc+ad)i
2.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3
[微点练明]
1.选D (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
2.选D (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.
3.选C ∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1,故选C.
4.解:(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2
=1-i2+4+4i+i2=5+4i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
[多维理解] 1.(1)实部 相反数 (2) a-bi
[微点练明]
1.A
2.选D 因为z=i,所以=-i,z·=2,故选D.
3.解析:∵x-2+yi和3x-i互为共轭复数,所以x-2=3x,且y=1,所以x=-1,y=1.
答案:-1 1
4.解析:设z=a+bi,则=a-bi.
∴(1+2i)(a-bi)=4+3i,
∴a-bi+2ai+2b=4+3i,
即(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,
∴解得a=2,b=1.
∴z=2+i.
答案:2+i(共39张PPT)
12.2
复数的运算
复数的加法、减法与乘法运算
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.结合实数的四则运算法则,熟练掌握复数代数形式的四则运算法则.
2.会应用复数的四则运算法则进行复数的运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 复数的加、减运算
逐点清(二) 复数的乘法运算
逐点清(三) 共轭复数
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 复数的加、减运算
01
多维理解
1.复数的加法运算及运算律
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)+(c+di)=_____________.
(2)复数加法满足的运算律
对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=_______,(z1+z2)+z3=___________.
(a+c)+(b+d)i
z2+z1
z1+(z2+z3)
2.复数的减法运算
(1)复数的差
把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫作复数a+bi减去c+di所得的差,记作______________.
(2)复数的减法法则
(a+bi)-(c+di)=_____________.
(a+bi)-(c+di)
(a-c)+(b-d)i
微点练明
1.已知复数z1=-i和复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于( )
A.1 B.-1
C.-i D.+i
解析:因为z2=cos 60°+isin 60°=+i,所以z1+z2=1.
√
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 ( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
解析:由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
√
3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .
解析:由已知得,x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,
∴解得
6
11
4.(1)(i2+i)+(1+i)= ;
解析:原式=(-1+i)+(1+i)
=-1+i+1+i=2i.
(2)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i)= ;
解析:原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)
=(-3+2i)+(1-2i)=-2.
(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i)= .
解析:原式=[8-(-7)+3]+(-2-5+7)i=15+3.
2i
-2
15+3
逐点清(二) 复数的乘法运算
02
多维理解
1.复数的乘法法则
(a+bi)(c+di)=__________________.
2.复数乘法的运算律
对任何z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=______
结合律 (z1z2)z3=________
分配律 z1(z2+z3)=_________
(ac-bd)+(bc+ad)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
|微|点|助|解|
1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= ( )
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
解析: (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
√
2.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
解析: (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.
3.(2023·全国甲卷)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:∵(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai2=2a+(1-a2)i=2,∴2a=2且1-a2=0,解得a=1,故选C.
√
√
4.计算下列各题.
(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2;
解:(1-i)(1+i)+(2+i)2
=1-i2+4+4i+i2
=5+4i.
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
解:(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
=(9-12i+33i-44i2)+2i
=53+21i+2i=53+23i.
逐点清(三) 共轭复数
03
多维理解
1.共轭复数的定义
(1)我们把______相等、虚部互为_______的两个复数叫作互为共轭复数.
(2)记法:把复数z=a+bi的共轭复数记作,即=______.
2.共轭复数的性质
当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=,也就是说,实数的共轭复数是它本身.
实部
相反数
a-bi
微点练明
1.复数z=1-4i的共轭复数是 ( )
A.1+4i B.-4+i
C.-1+4i D.-1-4i
2.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·=( )
A.-2 B.
C.- D.2
解析:因为z=i,所以=-i,z·=2,故选D.
√
√
3.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x= ,y= .
解析:∵x-2+yi和3x-i互为共轭复数,所以x-2=3x,且y=1,所以x=-1,y=1.
4.复数z满足(1+2i)=4+3i,则z= .
解析:设z=a+bi,则=a-bi.∴(1+2i)(a-bi)=4+3i,∴a-bi+2ai+2b=4+3i,
即(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,∴解得a=2,b=1.∴z=2+i.
-1
1
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课时跟踪检测
04
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1.若复数z1=1+i,z2=3-2i,则z1+z2= ( )
A.4-i B.2+2i
C.2+i D.4
解析:z1+z2=(1+i)+(3-2i)=4-i.
√
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1
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15
2
3
4
2.(1-i)(1+i)=( )
A.1+I B.-1+i C.+i D.-+i
解析: (1-i)(1+i)
=(1-i)(1+i)
=(1-i2)=2
=-1+i.
√
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5
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3
4
2
3.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
解析:由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,
又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以解得故选A.
√
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3
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2
4.已知是z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z·i+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+
2=2(a+bi),∴2+(a2+b2)i=2a+2bi,由复数相等的条件得,
∴
∴z=1+i,故选A.
√
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2
5.(多选)下列命题错误的是 ( )
A.ai-1(a∈R)的共轭复数是ai+1
B.若两个复数的差是纯虚数,则它们一定互为共轭复数
C.若z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为,z=,则z是实数
D.若两个虚数的和与积都为实数,则它们互为共轭复数
解析:根据共轭复数的定义知A命题错误;B命题错误,如3-i与3+4i的差为-5i,而3-i与3+4i不是共轭复数;C命题正确,若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此 b=0;易知D命题正确.故选AB.
√
√
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6.设i为虚数单位,a∈R,若(1+i)(1+ai)为纯虚数,则a的值为 ( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:因为(1+i)(1+ai)=(1-a)+(1+a)i为纯虚数,所以1-a=0,且1+a≠0,
解得a=1.
√
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7.(2021·全国乙卷)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=( )
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.结合已知条件,得4a+6bi=4+6i.
根据复数相等的条件可得解得所以z=1+i.故选C.
√
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8.定义一种运算:=ad-bc,则复数的共轭复数是( )
A.-1-3i B.1-3i
C.-1+3i D.1+3i
解析:由题意得=3i(1+i)+2=-1+3i,所以其共轭复数为-1-3i.
√
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9.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是 ( )
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
√
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解析:选项A中,根据共轭复数的定义知是真命题,
选项B中,若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=,当z1,z2均为虚数时,z1≠,所以B是假命题;
选项C中,若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;
选项D中,若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与互为共轭复数,所以D是真命题.故选AD.
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10.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为 ( )
A.- B.1 C.- D.
解析:z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=m+(m-1)i+2mi-2(m-1)=2-m+(3m-1)i,由已知可得2-m=3m-1>0,解得m=.
√
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11.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于( )
A. B. C.- D.-
解析:因为z2=t+i,所以=t-i,
则z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i.
又因为z1·是实数,所以4t-3=0,
解得t=.
√
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12.定义:若z2=a+bi(a,b∈R),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,复数9-40i的平方根为 ( )
A.3-4i,-3+4i B.4+3i,4-3i
C.5-4i,-5+4i D.4-5i,-4+5i
解析:设复数9-40i的平方根为x+yi(x,y∈R),则(x+yi)2=9-40i,化简得x2-y2+2xyi=9-40i,所以x2-y2=9,2xy=-40,解得x=5,y=-4或x=-5,y=4,即复数9-40i的平方根为5-4i或-5+4i.
√
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13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·+z的实部是 .
解析:∵z=1-2i,∴=1+2i.∴z·=(1-2i)·(1+2i)=5.∴z·+z=5+1-2i=
6-2i.∴z·+z的实部是6.
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2
14.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= .
解析:∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+
(a-b-1)i=4,
由复数相等的条件知
解得∴a+b=3.
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15.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1= ,z2= .
解析:z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+
(x+4y)i=13-2i,
∴解得
∴z1=5-9i,z2=-8-7i.
5-9i
-8-7i
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2
16.复数z=-ai,a∈R,且z2=-i,则a= .
解析:由z=-ai,a∈R,得z2=-2××ai+(ai)2=-a2-ai,
因为z2=-i,所以
解得a=.
16课时跟踪检测(二十八) 复数的加法、减法与乘法运算
(满分80分,选填小题每题5分)
1.若复数z1=1+i,z2=3-2i,则z1+z2= ( )
A.4-i B.2+2i
C.2+i D.4
2.(1-i)(1+i)= ( )
A.1+i B.-1+i
C.+i D.-+i
3.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
4.已知是z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z= ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
5.(多选)下列命题错误的是 ( )
A.ai-1(a∈R)的共轭复数是ai+1
B.若两个复数的差是纯虚数,则它们一定互为共轭复数
C.若z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为,z=,则z是实数
D.若两个虚数的和与积都为实数,则它们互为共轭复数
6.设i为虚数单位,a∈R,若(1+i)(1+ai)为纯虚数,则a的值为 ( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
7.(2021·全国乙卷)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
8.定义一种运算:=ad-bc,则复数的共轭复数是 ( )
A.-1-3i B.1-3i
C.-1+3i D.1+3i
9.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是 ( )
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
10.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为 ( )
A.- B.1
C.- D.
11.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于 ( )
A. B.
C.- D.-
12.定义:若z2=a+bi(a,b∈R),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,复数9-40i的平方根为 ( )
A.3-4i,-3+4i B.4+3i,4-3i
C.5-4i,-5+4i D.4-5i,-4+5i
13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·+z的实部是 .
14.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= .
15.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,
则z1= ,z2= .
16.复数z=-ai,a∈R,且z2=-i,则a= .
课时跟踪检测(二十八)
1．选A z1＋z2＝(1＋i)＋(3－2i)＝4－i.
2．选B (1－i)(1＋i)＝(1－i)·(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i.
3．选A 由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝a＋b＋1＋(2a－2)i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，所以解得故选A.
4．选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，∴
∴z＝1＋i，故选A.
5．选AB 根据共轭复数的定义知A命题错误；B命题错误，如3－i与3＋4i的差为－5i，而3－i与3＋4i不是共轭复数；C命题正确，若z的共轭复数为，且z＝，则a＋bi＝a－bi，因此 b＝0；易知D命题正确．故选AB.
6．选C 因为(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i为纯虚数，所以1－a＝0，且1＋a≠0，解得a＝1.
7．选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.结合已知条件，得4a＋6bi＝4＋6i.根据复数相等的条件可得解得所以z＝1＋i.故选C.
8．选A 由题意得＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，所以其共轭复数为－1－3i.
9．选AD 选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，选项B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝2，当z1，z2均为虚数时，z1≠2，所以B是假命题；选项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；选项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与2互为共轭复数，所以D是真命题．故选AD.
10．选D z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝m＋(m－1)i＋2mi－2(m－1)＝2－m＋(3m－1)i，由已知可得2－m＝3m－1＞0，解得m＝.
11．选A 因为z2＝t＋i，所以2＝t－i，则z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i.又因为z1·2是实数，所以4t－3＝0，解得t＝.
12．选C 设复数9－40i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＝9－40i，化简得x2－y2＋2xyi＝9－40i，所以x2－y2＝9,2xy＝－40，解得x＝5，y＝－4或x＝－5，y＝4，即复数9－40i的平方根为5－4i或－5＋4i.
13．解析：∵z＝1－2i，∴＝1＋2i.∴z·＝(1－2i)·(1＋2i)＝5.∴z·＋z＝5＋1－2i＝6－2i.∴z·＋z的实部是6.
答案：6
14．解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，由复数相等的条件知解得∴a＋b＝3.
答案：3
15．解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
16．解析：由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，
因为z2＝－i，所以
解得a＝.
答案：
