12.3 复数的几何意义 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.
3.了解复数加、减运算的几何意义,能利用其几何意义解答平面几何问题.
1.复平面与复数的几何意义
(1)复平面:我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 , x轴叫作实轴, y轴叫作虚轴.
(2)复数的几何意义
(3)复数的模
①定义:向量的模叫作复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.
如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).
②计算公式:|z|=|a+bi|= .
2.复数加法、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
如图,设向量,分别与复数a+bi,c+di对应,且,不共线,以,为两条邻边画 OZ1ZZ2,
则对角线OZ所表示的向量就是与复数 对应的向量.这就是复数加法的几何意义.
(2)减法的几何意义
如图,若向量,分别与复数z1,z2对应,则它们的 对应着向量-,即向量.如果作=,那么点Z对应的复数就是 .这就是复数减法的几何意义.
(3)复数模的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,故|z1-z2|=||=||= .
这表明:两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
基础落实训练
1.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|= ( )
A.2 B.5
C. D.4
2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
3.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为 .
4.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为 .
题型(一) 复数与复平面内的点、向量的关系
[例1] (1)已知z=(2+i)i,其中i为虚数单位,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
听课记录:
(2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是 ( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
听课记录:
|思|维|建|模|
1.利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
2.复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
[针对训练]
1.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是 .
2.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第四象限;
(2)在实轴负半轴上;
(3)位于上半平面(含实轴)
题型(二) 复数模的计算及其应用
[例2] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形
听课记录:
|思|维|建|模|
解决复数模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
[针对训练]
3.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 ( )
A.5π B.9π
C.16π D.25π
4.(多选)已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 ( )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量和重合
D.若|z1-z2|=0,则=
题型(三) 复数加、减运算的几何意义的应用
[例3] 如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.用复数加减法的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
2.常见结论
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
[针对训练]
5.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
6.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点.
(1)求对应的复数;(2)求对应的复数.
12.3 复数的几何意义
课前预知教材
1.(1)复平面 (2)Z(a,b) (3)
2.(1)(a+c)+(b+d)i (2)差z1-z2 z1-z2 (3)
[基础落实训练]
1.C
2.选A 复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).
3.解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i.
答案:1-i
4.解析:=-=-(+)
=3+2i-(-2+i+1+5i)
=(3+2-1)+(2-1-5)i
=4-4i.
答案:4-4i
课堂题点研究
[例1] 解析:(1)因为z=2i+i2=-1+2i,所以=-1-2i.所以对应的点(-1,-2)位于第三象限.故选C.
(2)因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4).
所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0).所以+对应的复数是0.故选C.
答案:(1)C (2)C
[针对训练]
1.解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),=(-2,-5).又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.
答案:-6-8i
2.解:(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足
∴∴-7故满足条件的实数m的取值范围为(-7,3).
(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足
∴∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.故满足条件的实数m的取值范围为(-∞,-7]∪[4,+∞).
[例2] 解:(1)因为|z1|=|+i|==2,|z2|== =1,
所以|z1|>|z2|.
(2)法一 设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2,得=2,即x2+y2=4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二 由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
[针对训练]
3.选C 满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C.
4.选BD z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误;|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0,B正确;|z1|=|z2|说明||=||,但与方向不一定相同,C错误;|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选BD.
[例3] 解:(1)∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
[针对训练]
5.选A 由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心.
6.解:(1)由于四边形ABCD是平行四边形,
所以=+,于是=-,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
即对应的复数是-2+2i.
(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,所以对应的复数是5.(共53张PPT)
12.3
复数的几何意义
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.
3.了解复数加、减运算的几何意义,能利用其几何意义解答平面几何问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.复平面与复数的几何意义
(1)复平面:我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作_______, x轴叫作实轴, y轴叫作虚轴.
(2)复数的几何意义
复平面
(3)复数的模
①定义:向量的模叫作复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.
如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).
②计算公式:|z|=|a+bi|=____________.
2.复数加法、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
如图,设向量,分别与复数a+bi,c+di对应,且,不共线,以,为两条邻边画 OZ1ZZ2,则对角线OZ所表示的向量就是与复数_______________对应的向量.这就是复数加法的几何意义.
(a+c)+(b+d)i
(2)减法的几何意义
如图,若向量,分别与复数z1,z2对应,则它们的________对应着向量-,即向量.如果作=,那么点Z对应的复数就是______.这就是复数减法的几何意义.
差z1-z2
z1-z2
(3)复数模的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,故|z1-z2|=||=||=
_______________________.
这表明:两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
基础落实训练
1.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|= ( )
A.2 B.5 C. D.4
2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).
√
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3.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为 .
解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i.
1-i
4.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为 .
解析:=-=-(+)
=3+2i-(-2+i+1+5i)
=(3+2-1)+(2-1-5)i
=4-4i.
4-4i
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 复数与复平面内的点、向量的关系
[例1] (1)已知z=(2+i)i,其中i为虚数单位,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为z=2i+i2=-1+2i,所以=-1-2i.所以对应的点(-1,-2)位于第三象限.故选C.
√
(2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
解析:因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4).所以+=(5,-4)+
(-5,4)=(0,0).所以+对应的复数是0.故选C.
√
|思|维|建|模|
1.利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
2.复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,
向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
针对训练
1.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是 .
解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),
=(-2,-5).又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.
-6-8i
2.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第四象限;
解:要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足
∴∴-7故满足条件的实数m的取值范围为(-7,3).
(2)在实轴负半轴上;
解:要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足
∴∴m=4.
(3)位于上半平面(含实轴)
解:要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
故满足条件的实数m的取值范围为(-∞,-7]∪[4,+∞).
题型(二) 复数模的计算及其应用
[例2] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
解:因为|z1|=|+i|==2,|z2|== =1,所以|z1|>|z2|.
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形
解:法一 设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2,得 =2,即x2+y2=4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二 由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2.所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,
2为半径的圆.
|思|维|建|模|
解决复数模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
针对训练
3.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 ( )
A.5π B.9π C.16π D.25π
解析:满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C.
√
4.(多选)已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 ( )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量和重合
D.若|z1-z2|=0,则=
解析:z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误;
|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0,B正确;
|z1|=|z2|说明||=||,但与方向不一定相同,C错误;
|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选BD.
√
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题型(三) 复数加、减运算的几何意义的应用
[例3] 如图所示,平行四边形OABC的顶点O,
A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
解:∵=-,∴所表示的复数为-3-2i.
∵=,∴所表示的复数为-3-2i.
(2)对角线所表示的复数;
解:∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解:对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
||==.
|思|维|建|模|
1.用复数加减法的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
2.常见结论
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
针对训练
5.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=
|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心.
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6.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点.
(1)求对应的复数;
解:由于四边形ABCD是平行四边形,
所以=+,于是=-,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
即对应的复数是-2+2i.
(2)求对应的复数.
解:由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,所以对应的复数是5.
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A级——达标评价
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=( )
A.0 B.1 C. D.2
解析:由z=-1-i,得|z|==.
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2.在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵复数1+i的共轭复数为1-i,∴其对应的点(1,-1)位于第四象限.
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3.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与关于虚轴对称,则点B对应的复数是( )
A.5-3i B.-5-3i
C.5+3i D.-5+3i
解析:设向量对应的复数为a+bi,则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称,所以a=-5,b=3,即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i.故选D.
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4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 ( )
A.5 B.-2 C.-5 D.
解析:设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),
则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).∵A,B,C三点共线,∴=t,即-=t(-).∴(-2,4)=t(-3,a+1).∴解得故实数a的值为5.故选A.
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5.(多选)已知复数z满足z(2-i)=i(i为虚数单位),复数z的共轭复数为,则( )
A.|z|=
B.=-
C.复数z的实部为-1
D.复数z对应复平面上的点在第二象限
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解析:因为复数z满足z(2-i)=i,所以z===-+i,
所以|z|==,故A错误;
=--i,故B正确;
复数z的实部为-,故C错误;
复数z对应复平面上的点在第二象限,故D正确.
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6.若复数z的共轭复数是2+3i,则|z|= .
解析:易得复数z=2-3i,则|z|= =.
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7.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上,则实数m的值为 .
解析:∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
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8.已知复数z满足|z|-z=1-3i,则|z|= .
解析:设z=a+bi,a,b∈R,则|z|=.因为|z|-z=1-3i,所以-a-bi=1-3i.所以解得即z=4+3i.所以|z|==5.
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9.(10分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模:z1=1-i;
z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i.
解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2,
Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量,,,
分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示.
各复数的模分别为|z1|==;
|z2|==1;|z3|==2;|z4|==2.
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10.(12分)实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z:
(1)位于第三象限;
解:因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数.
当实数x满足
即-31
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(2)位于第四象限;
解:当实数x满足
即2(3)位于直线x-y-3=0上.
解:当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3x+6=0,x=-2时,点Z位于直线x-y-3=0上.所以x=-2.
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B级——重点培优
11.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:当a>时,a+2>>0,1-2a<0,所以点M在第四象限;若点M在第四象限,则解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件.
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12.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0的一个解,所以方程的另一解为2-i.由根与系数的关系可得解得所以复数z=a+bi在复平面内对应的点为(4,-5),在第四象限.故选D.
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13.(多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 ( )
A.z1·z2=-4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3
√
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解析:因为(±2i)2=-4,所以不妨令方程x2=-4的复数解z1=2i,z2=-2i.
z1·z2=2i·(-2i)=4,A错误;
z1与z2互为共轭复数,B正确;
z1=2i,由z·z1=2+i,得z====-i,则复数z在复平面内
对应的点在第四象限,C错误;
设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得x2+y2=1,显然有-1≤x≤1,由选项A知z1·z2=4,因此|z-z1·z2|=|(x-4)+yi|==≥3,
当且仅当x=1,即z=1时取等号,D正确.故选BD.
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14.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i,
-1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·= .
解析:因为,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,
所以=(2,1),=(-1,2),=(1,-2).
所以=-=(-1,2)-(2,1)=,
则=-=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),
那么z=-4+3i.所以z·=25.
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15.(14分)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,
O为复平面的坐标原点.
(1)求向量 +,对应的复数;
解:由复数的几何意义,得=(1,4),=(0,-3),=(2,0).
所以+=(1,4)+(0,-3)=(1,1),=-=(2,0)-(1,4)=(1,-4).所以+对应的复数是1+i,对应的复数是1-4i.
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(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
解:法一 由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点为.由平行四边形的性质知BD的中点也是.设D(x0,y0),
则解得所以D(3,7).故顶点D对应的复数为3+7i.
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法二 由(1)知=(1,4),=(0,-3),=(2,0),所以=(1,7),=(2,3).
由平行四边形的性质得=+=(3,10),而=(0,-3),于是D(3,7),故顶点D对应的复数为 3+7i.课时跟踪检测(三十) 复数的几何意义
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1
C. D.2
2.在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与关于虚轴对称,则点B对应的复数是 ( )
A.5-3i B.-5-3i
C.5+3i D.-5+3i
4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 ( )
A.5 B.-2
C.-5 D.
5.(多选)已知复数z满足z(2-i)=i(i为虚数单位),复数z的共轭复数为,则 ( )
A.|z|=
B.=-
C.复数z的实部为-1
D.复数z对应复平面上的点在第二象限
6.若复数z的共轭复数是2+3i,则|z|= .
7.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上,则实数m的值为 .
8.已知复数z满足|z|-z=1-3i,则|z|= .
9.(10分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模:z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i.
10.(12分)实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z:
(1)位于第三象限;
(2)位于第四象限;
(3)位于直线x-y-3=0上.
B级——重点培优
11.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
12.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13. (多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 ( )
A.z1·z2=-4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3
14.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·= .
15.(14分)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(1)求向量 +,对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
课时跟踪检测(三十)
1．选C 由z＝－1－i，得|z|＝＝.
2．选D ∵复数1＋i的共轭复数为1－i，∴其对应的点(1，－1)位于第四象限．
3．选D 设向量对应的复数为a＋bi，则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5＋3i，所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称，所以a＝－5，b＝3，即向量对应的复数为－5＋3i.因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是－5＋3i.故选D.
4．选A 设复数3－5i,1－i，－2＋ai对应的向量分别为，，(O为坐标原点)，则＝(3，－5)，＝(1，－1)，＝(－2，a)．∵A，B，C三点共线，∴＝t，即－＝t(－)．∴(－2，4)＝t(－3，a＋1)．∴解得故实数a的值为5.故选A.
5．选BD 因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；＝－－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正确．
6．解析：易得复数z＝2－3i，则|z|＝ ＝.
答案：
7．解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
8．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则|z|＝ .因为|z|－z＝1－3i，所以－a－bi＝1－3i.所以解得即z＝4＋3i.所以|z|＝ ＝5.
答案：5
9．解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2，Z3(－2,0)，Z4(2，2)，则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为|z1|＝ ＝；|z2|＝ ＝1；|z3|＝ ＝2；|z4|＝＝2.
10．解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即－3(2)当实数x满足
即2(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．所以x＝－2.
11．选C 当a＞时，a＋2＞＞0,1－2a＜0,所以点M在第四象限；若点M在第四象限，则解得a＞.所以“a＞”是“点M在第四象限”的充要条件．
12．选D 因为复数2＋i是关于x的方程x2－ax－b＝0的一个解，所以方程的另一解为2－i.由根与系数的关系可得
解得所以复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(4，－5),在第四象限．故选D.
13．选BD 因为(±2i)2＝－4，所以不妨令方程x2＝－4的复数解z1＝2i，z2＝－2i.z1·z2＝2i·(－2i)＝4，A错误；z1与z2互为共轭复数，B正确；z1＝2i，由z·z1＝2＋i，得z＝＝＝＝－i，则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＝1，得x2＋y2＝1，显然有－1≤x≤1，由选项A知z1·z2＝4，因此|z－z1·z2|＝|(x－4)＋yi|＝＝≥3，当且仅当x＝1，即z＝1时取等号，D正确．故选BD.
14．解析：因为，，表示的复数分别为2＋i，－1＋2i,1－2i，所以＝(2,1)，＝(－1,2)，＝(1，－2)．所以＝－＝(－1,2)－(2,1)＝，则＝－＝(－3,1)－(1，－2)＝(－4,3)，那么z＝－4＋3i.所以z·＝25.
答案：25
15．解：(1)由复数的几何意义，得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)．所以＋＝(1,4)＋(0，－3)＝(1,1)，＝－＝(2,0)－(1,4)＝(1，－4)．所以＋对应的复数是1＋i，对应的复数是1－4i.
(2)法一 由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为.由平行四边形的性质知BD的中点也是.设D(x0，y0)，
则解得所以D(3,7)．故顶点D对应的复数为3＋7i.
法二 由(1)知＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)．由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，而＝(0，－3)，于是D(3,7)，故顶点D对应的复数为3＋7i.
