13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.从旋转体的概念入手可以认识几何体,如球、圆柱、圆锥和圆台的结构特征.
2.能够根据球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征识别和区分几何体.
3.会作旋转体的轴截面,并能利用轴截面解决问题.
1.圆柱的结构特征
(1)定义:将矩形绕着它的一边所在的直线 一周,形成的空间图形叫作圆柱.如图所示,这条直线叫作圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆柱OO'.
2.圆锥的结构特征
(1)定义:将直角三角形绕着它的 所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆锥.如图所示,这条直线叫作圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆锥SO.
3.圆台的结构特征
(1)定义:将直角梯形绕着它 所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆台.如图所示,这条直线叫作圆台的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆台OO'.
4.球的结构特征
(1)定义:半圆绕着它的 所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球.
如图所示,半圆的圆心叫作球的球心,连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径,连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(2)表示方法:用表示球心的字母来表示,如球O.
|微|点|助|解|
(1)圆柱有无数条母线,所有的母线平行.圆柱的母线也是圆柱的高.
(2)圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
(3)圆台有无数条母线,它们延长之后交于一点,母线不是圆台的高,圆台的母线、高和底面半径的差构成直角三角形.
(4)球面与球是两个不同的概念:球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
5.旋转体的定义
一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条 旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
6.简单组合体的结构特征
由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体,构成简单组合体的两种基本形式:①由简单几何体拼接而成;
②由简单几何体裁去或挖去一部分组成.
基础落实训练
1.下面空间图形的截面一定是圆面的是 ( )
A.圆台 B.球
C.圆柱 D.棱柱
2.下列命题正确的是 ( )
A.圆锥的母线可能平行
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
题型(一) 旋转体的结构特征
[例1] (多选)下列说法正确的是 ( )
A.圆柱的母线和它的轴可以不平行
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括一个圆柱、两个圆锥
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
[针对训练]
1.(多选)用一个平面去截一个圆台,得到的图形不可能是 ( )
A.矩形 B.圆形
C.梯形 D.三角形
2.(多选)给出下列命题,其中是真命题的有 ( )
A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的立体图形是棱锥
C.存在每个面都是直角三角形的四面体
D.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
题型(二) 组合体的结构特征
[例2] 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单空间图形组成的
听课记录:
|思|维|建|模|
判断复杂的空间图形构成的方法
(1)判断实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时,首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征;其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形.
(2)复杂的空间图形是由简单的空间图形拼接或截去一部分构成的.要仔细观察复杂的空间图形的构成,结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
[针对训练]
3.下列平面图形中,绕轴旋转一周能得到如图所示的空间图形的是 ( )
4.指出图中三个空间几何体的构成.
题型(三) 旋转体的相关计算
[例3] 有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何 ”其大意为:圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺 则这个问题中,葛藤长的最小值为(注:1丈等于10尺) ( )
A.2丈4尺 B.2丈5尺
C.2丈6尺 D.2丈8尺
[例4] 已知球的半径为10 cm,若它的截面面积是36π cm2,则球心到截面的距离是 ( )
A.6 cm B.4 cm
C.8 cm D.9 cm
听课记录:
|思|维|建|模|
1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体时,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程(组)而得解.
2.(1)利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
(2)球的截面性质用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线垂直于截面.球心到截面的距离d.与球的半径R及截面的半径r有如下的关系:r=,如图所示.
3.几何体表面上两点间的最短距离问题,都应该将几何体的表面展开,画出展开图,转化为平面上两点间的线段长的计算问题.
[针对训练]
5.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4,母线(原圆锥母线在圆台中的部分)
长为10 cm.求原圆锥的母线长.
13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
课前预知教材
1.(1)旋转 2.(1)一直角边 3.(1)垂直于底边的腰 4.(1)直径 5.定直线
[基础落实训练]
1.选B 截面可以从各个不同的部位截取,截得的截面都是圆面的几何体只有球.
2.选C 易知A错误.B错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误的.D错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线.
课堂题点研究
[例1] 选BD 根据圆柱母线的定义可知,圆柱的母线和它的轴平行,故A错误;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,故B正确;当以斜边为旋转轴时,会得到两个同底的圆锥组合体,故C错误;图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,如图②,包括一个圆柱、两个圆锥,故D正确.
[针对训练]
1.选AD 根据圆台的结构特征,用一个平行底面的平面截圆台可得圆形,当平面与圆台旋转轴所在直线平行或经过旋转轴所在直线时,可得梯形,不论平面与圆台如何相交,截面都不可能是矩形和三角形,故选AD.
2.选CD 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是母线,因为圆台所有母线的延长线交于一点,且所有母线长相等,故A错误;由棱锥的定义知,其余各面的三角形必须有公共的顶点,故B错误;如图,四面体ABCD的每个面都是直角三角形,故C正确;半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得到的几何体是一个球体,故D正确.
[例2] 解:旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
[针对训练]
3.选A 题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体.如图,圆台是由直角梯形以DE为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体,圆锥是由直角三角形以AB为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体.
4.解:题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的,其中四棱柱内接于圆锥.
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的,其中三棱锥内接于球.
[例3] 选C 取圆木两个的侧面展开图如图所示,在Rt△ABC中,BC(即圆木的高)长24尺,AB=5×2=10(尺),因此葛藤长的最小值为=26(尺),即为2丈6尺.
[例4] 选C 由球的截面性质得,截面一定为圆,设圆的半径为r,则πr2=36π,解得r=6.设球心到截面的距离为d,由勾股定理得d==8.
[针对训练]
5.解:由题意可得几何体如图所示,圆锥轴为EA,设圆台上、下底面半径分别为CD,AB,原圆锥的母线长为l,
已知圆台的上、下底面半径之比为=,且CD∥AB,BD=10,根据△ECD与△EAB相似,可得===,解得l=,所以原圆锥的母线长为 cm.(共57张PPT)
13.1.2
圆柱、圆锥、圆台和球
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.从旋转体的概念入手可以认识几何体,如球、圆柱、圆锥和圆台的结构特征.
2.能够根据球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征识别和区分几何体.
3.会作旋转体的轴截面,并能利用轴截面解决问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.圆柱的结构特征
(1)定义:将矩形绕着它的一边所在的直线______一周,形成的空间图形叫作圆柱.如图所示,这条直线叫作圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆柱OO'.
旋转
2.圆锥的结构特征
(1)定义:将直角三角形绕着它的__________所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆锥.如图所示,这条直线叫作圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆锥SO.
一直角边
3.圆台的结构特征
(1)定义:将直角梯形绕着它__________________所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆台.如图所示,这条直线叫作圆台的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆台OO'.
垂直于底边的腰
4.球的结构特征
(1)定义:半圆绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球.
如图所示,半圆的圆心叫作球的球心,连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径,连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(2)表示方法:用表示球心的字母来表示,如球O.
直径
|微|点|助|解|
(1)圆柱有无数条母线,所有的母线平行.圆柱的母线也是圆柱的高.
(2)圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
(3)圆台有无数条母线,它们延长之后交于一点,母线不是圆台的高,圆台的母线、高和底面半径的差构成直角三角形.
(4)球面与球是两个不同的概念:球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
5.旋转体的定义
一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
定直线
6.简单组合体的结构特征
由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体,构成简单组合体的两种基本形式:①由简单几何体拼接而成;
②由简单几何体裁去或挖去一部分组成.
基础落实训练
1.下面空间图形的截面一定是圆面的是 ( )
A.圆台 B.球
C.圆柱 D.棱柱
解析:截面可以从各个不同的部位截取,截得的截面都是圆面的几何体只有球.
√
2.下列命题正确的是 ( )
A.圆锥的母线可能平行
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
解析:易知A错误.B错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则是错误的.D错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 旋转体的结构特征
[例1] (多选)下列说法正确的是 ( )
A.圆柱的母线和它的轴可以不平行
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括一个圆柱、两个圆锥
√
√
解析:根据圆柱母线的定义可知,圆柱的母线和它的轴平行,故A错误;
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,故B正确;
当以斜边为旋转轴时,会得到两个同底的圆锥组合体,故C错误;
图①是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体,如图②,包括一个圆柱、两个圆锥,故D正确.
|思|维|建|模|
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
针对训练
1.(多选)用一个平面去截一个圆台,得到的图形不可能是 ( )
A.矩形 B.圆形
C.梯形 D.三角形
解析:根据圆台的结构特征,用一个平行底面的平面截圆台可得圆形,
当平面与圆台旋转轴所在直线平行或经过旋转轴所在直线时,可得梯形,不论平面与圆台如何相交,截面都不可能是矩形和三角形,故选AD.
√
√
2.(多选)给出下列命题,其中是真命题的有 ( )
A.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的立体图形是棱锥
C.存在每个面都是直角三角形的四面体
D.半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球
√
√
解析:在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是母线,因为圆台所有母线的延长线交于一点,且所有母线长相等,故A错误;
由棱锥的定义知,其余各面的三角形必须有公共的顶点,故B错误;
如图,四面体ABCD的每个面都是直角三角形,故C正确;
半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得到的几何体是一个球体,故D正确.
题型(二) 组合体的结构特征
[例2] 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单空间图形组成的
解:旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,
O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
|思|维|建|模|
判断复杂的空间图形构成的方法
(1)判断实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时,首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征;其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形.
(2)复杂的空间图形是由简单的空间图形拼接或截去一部分构成的.要仔细观察复杂的空间图形的构成,结合柱、锥、台、球的结构特征,先分割,后验证.
针对训练
3.下列平面图形中,绕轴旋转一周能得到如图所示的空间图形的是 ( )
√
解析:题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体.如图,圆台是由直角梯形以DE为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体,圆锥是由直角三角形以AB为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体.
4.指出图中三个空间几何体的构成.
解:题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的,其中四棱柱内接于圆锥.
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的,其中三棱锥内接于球.
题型(三) 旋转体的相关计算
[例3] 有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何 ”其大意为:圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺 则这个问题中,葛藤长的最小值为(注:1丈等于10尺) ( )
A.2丈4尺 B.2丈5尺
C.2丈6尺 D.2丈8尺
√
解析:取圆木两个的侧面展开图如图所示,在Rt△ABC中,
BC(即圆木的高)长24尺,AB=5×2=10(尺),因此葛藤长的最小值为=26(尺),即为2丈6尺.
[例4] 已知球的半径为10 cm,若它的截面面积是36π cm2,则球心到截面的距离是 ( )
A.6 cm B.4 cm
C.8 cm D.9 cm
解析:由球的截面性质得,截面一定为圆,设圆的半径为r,则πr2=36π,
解得r=6.设球心到截面的距离为d,由勾股定理得d==8.
√
|思|维|建|模|
1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体时,注意抓住截面的性质
(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程(组)而得解.
2.(1)利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
(2)球的截面性质
用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的
连线垂直于截面.球心到截面的距离d.与球的半径R及截面的半径r有如下的关系:r=,如图所示.
3.几何体表面上两点间的最短距离问题,都应该将几何体的表面展开,画出展开图,转化为平面上两点间的线段长的计算问题.
针对训练
5.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4,母线(原圆锥母线在圆台中的部分)长为10 cm.求原圆锥的母线长.
解:由题意可得几何体如图所示,圆锥轴为EA,
设圆台上、下底面半径分别为CD,AB,
原圆锥的母线长为l,
已知圆台的上、下底面半径之比为=,
且CD∥AB,BD=10,根据△ECD与△EAB相似,可得===,
解得l=,所以原圆锥的母线长为 cm.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.关于下列几何体,说法正确的是( )
A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥
C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台
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解析:图①与图④中几何体两个底面不互相平行,所以它们不是圆柱和圆台.图②与图③中几何体过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形,所以它们不是圆锥.图⑤是圆台.
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2.一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到直线的距离为 ( )
A.13 B.12 C.5 D.24
解析:如图所示,所求距离d==5.
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3.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 ( )
A.平面 B.曲线
C.直线 D.锥面
解析:如图,当两条相交直线(不垂直)中一条围绕另一条转动时,形成的曲线叫锥面.故选D.
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4.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括 ( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
解析:设等腰梯形ABCD较长的底边为CD,则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥,轴截面如图,故选D.
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5.用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为 ( )
A.8 B. C. D.
解析:当圆柱的高为4时,设圆柱的底面半径为r,则2πr=2,则r=,则圆柱轴截面面积为2rh=2××4=;当圆柱的高为2时,设圆柱的底面半径为r,则2πr=4,则r=,则圆柱轴截面面积为2rh=2××2=.综上所述,圆柱的轴截面面积为,故选B.
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6.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为 .
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解析:如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=AC2=,∴AC=2.
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7.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的空间图形的最短和最长母线长分别为2和3,则该空间图形的体积为 .
解析:用一个完全相同的空间图形将题中空间图形补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求空间图形的体积为10π.
10π
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8.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如右栏图,近似圆柱形的碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,当人或动物推动木柄时,碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周,碌碡恰好滚动了3圈,则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为 .
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解析:由题意,推动木柄绕圆盘转动1周,碌碡恰好滚动了3圈,因为圆的周长为C=2πr,所以圆盘与碌碡的半径之比为3∶1,所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3∶2,所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3.
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9.(10分)如图所示,四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A在射线DE上的位置不同时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
解:当AD>BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径均为CD的圆柱和圆锥拼接而成的组合体,如图1;
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当AD=BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱,如图2;
当AD1
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10.(12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S;
解:如图,设圆柱的底面半径为r cm,则由=,得r=,
∴S=-x2+4x(01
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(2)当x为何值时,S最大
解:由S=-x2+4x=-(x-3)2+6,∴当x=3时,Smax=6 cm2.
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B级——重点培优
11.(多选)如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、三角形对接形成的平面轴对称图形,若将它绕直线l旋转180°后形成一个组合体,下面说法正确的是( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于直线l对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
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解析:将题中图形绕直线l旋转180°后形成一个组合体,该组合体是由圆台、圆柱、圆锥、球和半球组成的,故A中说法不正确,易知B、C、D中说法均正确.
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12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,则这个球的半径是 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
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解析:如图所示,设球的半径为R,两截面圆O1,
O2的半径分别为r1,r2,则π=5π,π=8π,
解得r1=,r2=2.
又O1O2=1,设OO2=x,x>0,则OO1=x+1.
在Rt△OO1A中,由勾股定理可得OA2=O+O1A2,即R2=(x+1)2+5,在Rt△OO2B中,由勾股定理可得OB2=O+O2B2,即R2=x2+8,
所以有(x+1)2+5=x2+8,解得x=1.所以R2=9,R=3.故选B.
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13.如图,在一根长11 cm,外圆周长6 cm的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 ( )
A.61 cm B. cm
C. cm D. cm
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解析:由圆柱形柱体的高为11 cm,外圆周长为6 cm,铁丝在柱体上缠绕10圈,且铁丝的两个端点恰好落在圆柱的同一母线的两端,我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如图所示,其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6 cm,高为圆柱的高11 cm,所以大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值.此时铁丝长度的最小值为=61 cm.
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14.如图,设地球的半径为R,在北纬45°圈上有两个点A,B.A在西经40°,B在东经50°,则A,B两点间的球面距离为 ( )
A.πR B.R
C.πR D.πR
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解析:如图,取球心为O,取北纬45°纬线圈的圆心为O1,连接O1A,O1B,O1O,OA,OB,则AO=R,
∠OAO1=45°,所以AO1=.因为在北纬45°
圈上有两个点A,B,A在西经40°,B在东经50°,
所以∠AO1B=90°,在Rt△AO1B中,AB=
==R,
所以△AOB为等边三角形,则∠AOB=.
所以A,B两点间的球面距离为πR.
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15.(14分)已知正方体内接于圆锥,如图所示.
(1)试说明此几何体的结构特征;
解:该几何体是一个正方体内接于一个圆锥,其中正方体上底面的面对角线的端点在圆锥的母线上,下底面位于圆锥的底面.
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(2)若圆锥的高为40 cm,底面半径为30 cm,求正方体的棱长.
解:画出几何体的轴截面如图所示,其中ED为正方体的面对角线,设正方体的棱长为a,则ED=FG=a,DG=EF=a.依题意得AH=40,
HC=HB=30,且tan C==,即=,解得a=120(3-2).
故正方体的棱长为120(3-2)cm.课时跟踪检测(三十二) 圆柱、圆锥、圆台和球
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.关于下列几何体,说法正确的是 ( )
A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥
C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台
2.一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到直线的距离为 ( )
A.13 B.12
C.5 D.24
3.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 ( )
A.平面 B.曲线
C.直线 D.锥面
4.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括 ( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
5.用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为 ( )
A.8 B.
C. D.
6.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为 .
7.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的空间图形的最短和最长母线长分别为2和3,则该空间图形的体积为 .
8.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如图,近似圆柱形的碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,当人或动物推动木柄时,碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周,碌碡恰好滚动了3圈,则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为 .
9.(10分)如图所示,四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A在射线DE上的位置不同时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
10.(12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x为何值时,S最大
B级——重点培优
11.(多选)如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、三角形对接形成的平面轴对称图形,若将它绕直线l旋转180°后形成一个组合体,下面说法正确的是 ( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于直线l对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,则这个球的半径是 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
13.如图,在一根长11 cm,外圆周长6 cm的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 ( )
A.61 cm B. cm
C. cm D. cm
14.如图,设地球的半径为R,在北纬45°圈上有两个点A,B.A在西经40°,B在东经50°,则A,B两点间的球面距离为 ( )
A.πR B.R
C.πR D.πR
15.(14分)已知正方体内接于圆锥,如图所示.
(1)试说明此几何体的结构特征;
(2)若圆锥的高为40 cm,底面半径为30 cm,求正方体的棱长.
课时跟踪检测(三十二)
1．选D 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
2．选C 如图所示，所求距离d＝＝5.
3．选D 如图，
当两条相交直线(不垂直)中一条围绕另一条转动时，形成的曲线叫锥面．故选D.
4．选D 设等腰梯形ABCD较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图，故选D.
5．选B 当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为r，则2πr＝2，则r＝，则圆柱轴截面面积为2rh＝2××4＝；当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，则r＝，则圆柱轴截面面积为2rh＝2××2＝.综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选B.
6．解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AC2＝，∴AC＝2.
答案：2
7．解析：用一个完全相同的空间图形将题中空间图形补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×(2＋3)＝20π，故所求空间图形的体积为10π.
答案：10π
8．解析：由题意，推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，因为圆的周长为C＝2πr，所以圆盘与碌碡的半径之比为3∶1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3∶2，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3.
答案：1∶3
9．解：当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径均为CD的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1；当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2；当AD10．解：(1)如图，设圆柱的底面半径为r cm，则由＝，得r＝，
∴S＝－x2＋4x(0(2)由S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，∴当x＝3时，Smax＝6 cm2.
11．选BCD 将题中图形绕直线l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥、球和半球组成的，故A中说法不正确，易知B、C、D中说法均正确．
12．选B 如图所示，设球的半径为R，两截面圆O1，O2的半径分别为r1，r2，则πr＝5π，πr＝8π，解得r1＝，r2＝2.
又O1O2＝1，设OO2＝x，x>0，则OO1＝x＋1.在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝OO＋O1A2，即R2＝(x＋1)2＋5，在Rt△OO2B中，由勾股定理可得OB2＝OO＋O2B2，即R2＝x2＋8，所以有(x＋1)2＋5＝x2＋8，解得x＝1.所以R2＝9，R＝3.故选B.
13.选A 由圆柱形柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点恰好落在圆柱的同一母线的两端，我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，所以大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值．此时铁丝长度的最小值为＝61 cm.
14.选A 如图，取球心为O，取北纬45°纬线圈的圆心为O1，连接O1A，O1B，O1O，OA，OB，则AO＝R，∠OAO1＝45°，所以AO1＝.因为在北纬45°圈上有两个点A，B，A在西经40°，B在东经50°，所以∠AO1B＝90°，在Rt△AO1B中，AB＝＝＝R，
所以△AOB为等边三角形，则∠AOB＝.所以A，B两点间的球面距离为πR.
15．解：(1)该几何体是一个正方体内接于一个圆锥，其中正方体上底面的面对角线的端点在圆锥的母线上，下底面位于圆锥的底面．
(2)画出几何体的轴截面如图所示，其中ED为正方体的面对角线，设正方体的棱长为a，则ED＝FG＝a，DG＝EF＝a.依题意得AH＝40，HC＝HB＝30，且tan C＝＝，即＝，解得a＝120(3－2)．故正方体的棱长为120(3－2)cm.
