13.1.3 直观图的斜二测画法 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解平行投影、斜二测画法,掌握斜二测画法画平面及空间图形的步骤.
2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
|微|点|助|解|
(1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
①“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x'轴成45°或135°;
②“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x'轴的线段长度不变;平行于y'轴的线段长度变为原来的一半.
(2)斜二测画法画图的关键
在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.空间图形直观图的画法步骤
(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴,直观图中与之对应的是z'轴.
(2)画底面:x'O'y'确定的平面表示水平平面, 和x'O'z'确定的平面表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴的线段,在其直观图中 和长度都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
|微|点|助|解|
(1)斜二测画法中的建系原则
在已知图形中建立平面直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都可以,但实际作图时,一般建立特殊的平面直角坐标系,尽量运用原有直线或图形中的垂直直线为坐标轴.
(2)直观图与原图的关系
①“三变”
②“三不变”
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形. ( )
(2)平行四边形的直观图仍是平行四边形. ( )
(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. ( )
(4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直. ( )
2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A'= ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
3.如图为棱柱的直观图,则直观图中△ABC对应的真实图形是 ( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.长方形
题型(一) 用斜二测画法画平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
听课记录:
|思|维|建|模|
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
[针对训练]
1.用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图.
题型(二) 用斜二测画法画空间几何体的直观图
[例2] 用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm,下底面边长为2 cm,高(两底面之间的距离,即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台.
听课记录:
|思|维|建|模|
画空间几何体的直观图的关键
(1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便快速准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴,表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段,方向与长度都与原来保持一致.
[针对训练]
2.画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
题型(三) 平面直观图的还原与计算
[例3] (1)一平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,其中 O'C'⊥x',A'B'⊥x',B'C'∥y',则四边形OABC的面积为 ( )
A. B.3
C.3 D.
(2)如图所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则原图形是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)由直观图还原平面图形关键有两点:
①平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段变为原来的2倍;
②对于相邻两边不与x'轴,y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其在xOy中的位置.
(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是=.
[针对训练]
3.如图,△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,△A'B'C'的面积为a2,那么△ABC的面积为 ( )
A.a2 B.a2
C.2a2 D.4a2
4.(多选)如图,用斜二测画法画一个水平放置的△ABC,OA=2,S△ABC=,则在直观图中,以下说法正确的是 ( )
A.O'A'=2
B.△A'B'C'的面积为
C.OA边上的高为
D.O'A'边上的高为
13.1.3 直观图的斜二测画法
课前预知教材
1.45° 135° 水平面 x' y' 原长度不变 一半 2.(1)z (2)y'O'z' (3)平行性
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.C 3.C
课堂题点研究
[例1] 解:画法:(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.如图②.
(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③.
[针对训练]
1.解:分以下三步进行作图:
(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图①所示.
(2)画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD;过E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC,连接B'C',C'D',如图②所示.
(3)擦去x'轴与y'轴及其他辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
[例2] 解:(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图,即平行四边形ABCD.
(3)画上底面.在轴Oz上截取OO'=2 cm,过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y',在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图,即平行四边形A'B'C'D'.
(4)依次连接AA',BB',CC',DD',整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图,如图②所示.
[针对训练]
2.解:(1)画轴.如图①,画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)画底面.根据x'轴、y'轴,画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于1.5 cm.
(4)成图.连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'F',F'A',去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,就得到正六棱柱的直观图如图②所示.
[例3] 解析:(1)由题图知∠x'O'y'=45°,O'C'=O'A'=1,∴A'B'=2.
∴S四边形O'A'B'C'=(1+2)×1=,
==,
解得S四边形OABC=3.
(2)如图所示,
在原图形OABC中,应有OD=2O'D'=2×2=4(cm),CD=C'D'=2(cm),
∴OC===6(cm).
∴OA=OC,故四边形OABC是菱形.
答案:(1)B (2)菱形
[针对训练]
3.选C 由∠C'O'B'=,得S△A'B'C'=A'B'·O'C'sin=A'B'·O'C'.如图,作出还原后的△ABC,
则S△ABC=AB·OC=A'B'·2O'C'=A'B'·O'C',故==2,所以S△ABC=2a2.
4.选ABC 在x'轴上取O'A'=OA=2,即CA=C'A',所以A正确;在图①中,过B作BD∥y轴,交x轴于点D,在x'轴上取O'D'=OD,过点D'作D'B'∥y'轴,并使D'B'=DB,如图②所示,
则BD⊥AC,BD为原图形中AC边上的高,且BD=2B'D',S△ABC=AC×BD=,即BD=2B'D'=,所以C正确;在图②中作B'E'⊥A'C'于点E',则B'D'=B'E'=,B'E'=,所以D错误;S△A'B'C'=A'C'×B'E'=B'E'=,所以B正确.(共56张PPT)
13.1.3
直观图的斜二测画法
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解平行投影、斜二测画法,掌握斜二测画法画平面及空间图形的步骤.
2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
|微|点|助|解|
(1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
①“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x'轴成45°或135°;
②“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x'轴的线段长度不变;平行于y'轴的线段长度变为原来的一半.
(2)斜二测画法画图的关键
在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.空间图形直观图的画法步骤
(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个___轴,直观图中与之对应的是z'轴.
(2)画底面:x'O'y'确定的平面表示水平平面, ________和x'O'z'确定的平面表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴的线段,在其直观图中_______和长度都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
z
y'O'z'
平行性
|微|点|助|解|
(1)斜二测画法中的建系原则
在已知图形中建立平面直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都可以,但实际作图时,一般建立特殊的平面直角坐标系,尽量运用原有直线或图形中的垂直直线为坐标轴.
(2)直观图与原图的关系
①“三变”
②“三不变”
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形. ( )
(2)平行四边形的直观图仍是平行四边形. ( )
(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. ( )
(4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直. ( )
×
√
×
×
2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A'= ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
√
3.如图为棱柱的直观图,则直观图中△ABC对应的真实图形是 ( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.长方形
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 用斜二测画法画平面图形的直观图
[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解:画法:(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,
AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,
画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=
OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.如图②.
(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③.
|思|维|建|模|
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
针对训练
1.用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图.
解:分以下三步进行作图:
(1)过点C作CE⊥x轴,
垂足为E,如图①所示.
(2)画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD;过E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC,连接B'C',C'D',如图②所示.
(3)擦去x'轴与y'轴及其他辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
题型(二) 用斜二测画法画空间几何体的直观图
[例2] 用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm,下底面边长为2 cm,高(两底面之间的距离,即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台.
解:(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,
三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的
正方形的直观图,即平行四边形ABCD.
(3)画上底面.在轴Oz上截取OO'=2 cm,过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y',在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图,即平行四边形A'B'C'D'.
(4)依次连接AA',BB',CC',DD',整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图,如图②所示.
|思|维|建|模|
画空间几何体的直观图的关键
(1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便快速准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴,表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段,方向与长度都与原来保持一致.
针对训练
2.画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
解:(1)画轴.如图①,画x'轴、y'轴、z'轴,
使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)画底面.根据x'轴、y'轴,画正六边形的
直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于1.5 cm.
(4)成图.连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'F',F'A',
去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,
就得到正六棱柱的直观图如图②所示.
题型(三) 平面直观图的还原与计算
[例3] (1)一平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,其中 O'C'⊥x',A'B'⊥x',B'C'∥y',
则四边形OABC的面积为 ( )
A. B.3
C.3 D.
√
解析:由题图知∠x'O'y'=45°,O'C'=O'A'=1,∴A'B'=2.
∴S四边形O'A'B'C'=(1+2)×1=,
==,
解得S四边形OABC=3.
(2)如图所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则原图形是 .
菱形
解析:如图所示,在原图形OABC中,
应有OD=2O'D'=2×2=4(cm),
CD=C'D'=2(cm),
∴OC===6(cm).
∴OA=OC,故四边形OABC是菱形.
|思|维|建|模|
(1)由直观图还原平面图形关键有两点:
①平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段变为原来的2倍;
②对于相邻两边不与x'轴,y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其在xOy中的位置.
(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是=.
针对训练
3.如图,△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,△A'B'C'的面积为a2,那么△ABC的面积为 ( )
A.a2 B.a2 C.2a2 D.4a2
√
解析:由∠C'O'B'=,得S△A'B'C'=A'B'·O'C'sin=
A'B'·O'C'.如图,作出还原后的△ABC,则S△ABC=
AB·OC=A'B'·2O'C'=A'B'·O'C',故=
=2,所以S△ABC=2a2.
4.(多选)如图,用斜二测画法画一个水平放置的△ABC,OA=2,
S△ABC=,则在直观图中,以下说法正确的是( )
A.O'A'=2 B.△A'B'C'的面积为
C.OA边上的高为 D.O'A'边上的高为
√
√
√
解析:在x'轴上取O'A'=OA=2,即CA=C'A',所以A正确;
在图①(右栏)中,过B作BD∥y轴,交x轴于点D,在x'轴上取O'D'=OD,过点D'作D'B'∥y'轴,并使D'B'=DB,如图②所示,则BD⊥AC,BD为原图形中AC边上的高,且BD=2B'D',S△ABC=AC×BD=,即BD=
2B'D'=,所以C正确;
在图②中作B'E'⊥A'C'于点E',则B'D'=B'E'=,B'E'=,所以D错误;
S△A'B'C'=A'C'×B'E'=B'E'=,所以B正确.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
解析:根据斜二测画法的规则,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,
∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.
√
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2.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,
10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,
那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ( )
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
√
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解析:由比例可知,所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,
1 cm,2 cm和1.6 cm,斜二测画法画直观图的步骤:
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中平行于x'轴,保持长度不变;
已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中平行于y'轴,长度变为原来的一半;
已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中平行于z'轴,保持长度不变.
所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm,
0.5 cm,2 cm和1.6 cm.故选C.
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2
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是 ( )
A.AB B.AD
C.BC D.AC
解析:还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.故选D.
√
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2
4.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
解析:水平放置的平面图形不会改变形状,A正确;
正方形的直观图为平行四边形,角度不一定相等,B错;
因为平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变为原来的一半,所以C错;
平行性不会改变,所以D正确.故选AD.
√
√
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5.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B',则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上选项都不对
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解析:根据斜二测画法可知,在原图形中,O为CA的中点,AC⊥OB.因为O'C'=O'A'=2O'B',所以CO=AO=OB=AC,则△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,如图所示,故选C.
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6.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应的点为M',则M'的坐标为 .
解析:在坐标系x'O'y'中,过点(4,0)和y'轴平行的直线与过点(0,2)和x'轴平行的直线交点即是点M',所以M'为(4,2).
(4,2)
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7.在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为 2 cm,则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为 (填形状),面积为 cm2.
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,
OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
矩形
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1
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4
2
8.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是 .
4+4
解析:根据直观图画出原图如图所示,根据原图和
直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,
所以OA=AB==2.所以△AOB的
周长是4+2×2=4+4.
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9.(8分)如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标为O(0,0),A(1,3),
B(3,1),C(4,6),D(2,5).试画出四边形ABCD的直观图.
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解:(1)画轴.如图1,建立坐标系x'O'y',其中∠x'O'y'=45°.
(2)描点.在原图中作AE⊥x轴于点E,垂足为E(1,0),在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取A'E'=AE=1.5.同理确定点B',C',D',其中B'G'=0.5,C'H'=3,D'F'=2.5.
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(3)连线.连接A'B',B'C',C'D',D'A'.
(4)成图.如图2,四边形A'B'C'D'即为四边形ABCD的直观图.
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10.(10分)一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.
解:(1)画轴.如图1所示,画x轴、y轴、z轴,
使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
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(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O',使OO'=4 cm,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理得到此几何体的直观图.
如图2所示.
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B级——重点培优
11.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下述结论正确的是( )
A.梯形的直观图仍旧是梯形
B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形,那么△ABC的面积为
C.△ABC的直观图如图所示,A'B'在x'轴上,
且A'B'=2,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=,
则△ABC的面积为4
D.菱形的直观图可以是正方形
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解析:由于斜二测画法平行关系不变,故梯形的直观图仍旧是梯形,故A正确;
直观图面积为×4=,根据直观图与原图面积关系可得=S,解得S=2,故B错误;
直观图中S△A'B'C'=×2×=,则△ABC的面积S==4,故C正确;
由于平行于y轴的线段长度减半,故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形,故D错误.故选AC.
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12.(多选)已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C',则B'C'的长可能是 ( )
A.2 B.2
C. D.
解析:以B'C'为x'轴,画出直观图,如图1,
此时B'C'=BC==2,A正确;
√
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以B'C'为y'轴,则此时B'C'=BC=,则B'C'的长度范围是[,2],若以A'B'或A'C'为x'轴,画出直观图,如图2,以A'B'为x'轴,则A'B'=2,
A'C'=1,此时过点C'作C'D⊥x'轴于点D,
又∠C'A'B'=45°,
则A'D=C'D=,B'D=2-,
由勾股定理得B'C'==,C正确.故选AC.
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13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,
已知B'C'=4,A'C'=3,则△ABC中AB边上的中线的
长度为 .
解析:把直观图还原成平面图形(如图所示),得△ABC为直角三角形,且两条直角边的长AC=3,BC=8,由勾股定理可得AB=,故△ABC中AB边上的中线长为.
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14.(10分)如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.
解:(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=O'A',即CA=C'A';
(2)过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于点D',如图①所示;
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(3)在OA上取OD=O'D',过D作DB∥y轴,且使DB=2D'B',连接AB,BC,得△ABC.
则△ABC即为△A'B'C'对应的平面图形,如图②所示.
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15.(14分)如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD A1B1C1D1的直观图中分离出来的.
(1)求直观图中△A1C1D1的面积;
解:由题意可知,A1D1=,D1C1=a,∠A1D1C1=135°,所以=
A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2.
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(2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么盛满水后,水的形状可以抽象出一个什么几何体
解:水的形状可以抽象出一个三棱锥,如图所示.课时跟踪检测(三十三) 直观图的斜二测画法
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 ( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
2.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 ( )
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是 ( )
A.AB B.AD C.BC D.AC
4.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
5.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B',则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.以上选项都不对
6.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应的点为M',则M'的坐标为 .
7.在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为
(填形状),面积为 cm2.
8.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是 .
9.(8分)如图所示,在平面直角坐标系中,各点坐标为O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).试画出四边形ABCD的直观图.
10.(10分)一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.
B级——重点培优
11.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下述结论正确的是 ( )
A.梯形的直观图仍旧是梯形
B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形,那么△ABC的面积为
C.△ABC的直观图如图所示,A'B'在x'轴上,且A'B'=2,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=,则△ABC的面积为4
D.菱形的直观图可以是正方形
12.(多选)已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C',则B'C'的长可能是 ( )
A.2 B.2
C. D.
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,则△ABC中AB边上的中线的长度为 .
14.(10分)如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.
15.(14分)如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD A1B1C1D1的直观图中分离出来的.
(1)求直观图中△A1C1D1的面积;
(2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么盛满水后,水的形状可以抽象出一个什么几何体
课时跟踪检测(三十三)
1．选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．选C 由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，斜二测画法画直观图的步骤：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x′轴，保持长度不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y′轴，长度变为原来的一半；已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z′轴,保持长度不变.所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm和1.6 cm.故选C.
3．选D 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．故选D.
4．选AD 水平放置的平面图形不会改变形状，A正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；平行性不会改变，所以D正确．故选AD.
5.选C 根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB.因为O′C′＝O′A′＝2O′B′，所以CO＝AO＝OB＝AC，则△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示，故选C.
6．解析：在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线交点即是点M′，所以M′为(4,2)．
答案：(4,2)
7．解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
8．解析：根据直观图画出原图如图所示，根据原图和直观图的关系可知，OB＝4，OD＝BD＝2，AD＝8，所以OA＝AB＝＝2.所以△AOB的周长是4＋2×2＝4＋4.
答案：4＋4
9．解：(1)画轴．如图1，建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°.
(2)描点．在原图中作AE⊥x轴于点E，垂足为E(1，0)，在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取A′E′＝AE＝1.5.同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.
(3)连线．连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.
(4)成图．如图2，四边形A′B′C′D′即为四边形ABCD的直观图．
10．解：(1)画轴．如图1所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
11．选AC 由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4＝，根据直观图与原图面积关系可得＝S，解得S＝2，故B错误；直观图中S△A′B′C′＝×2×＝，则△ABC的面积S＝＝4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误．故选AC.
12．选AC 以B′C′为x′轴，
画出直观图，如图1，此时B′C′＝BC＝＝2，A正确；
以B′C′为y′轴，则此时B′C′＝BC＝，则B′C′的长度范围是[，2]，
若以A′B′或A′C′为x′轴，画出直观图，如图2，以A′B′为x′轴，则A′B′＝2，A′C′＝1，此时过点C′作C′D⊥x′轴于点D，又∠C′A′B′＝45°，
则A′D＝C′D＝，B′D＝2－，
由勾股定理得B′C′＝＝，C正确．故选AC.
13．解析：把直观图还原成平面图形(如图所示)，得△ABC为直角三角形，且两条直角边的长AC＝3，BC＝8，由勾股定理可得AB＝，故△ABC中AB边上的中线长为.
答案：
14．解：(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，如图①所示；
(3)在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′，连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图②所示．
15．解：(1)由题意可知，A1D1＝，D1C1＝a，∠A1D1C1＝135°，所以S△A1C1D1＝A1D1·
D1C1·sin∠A1D1C1＝××a×＝a2.
(2)水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示．
