13.2.1 平面的基本性质 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助日常生活中的实物,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解基本事实1~3和确定平面的推论,掌握平面的画法及表示方法.
1.平面
(1)平面的概念
①平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念,平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念.
②几何中平面的特征:平面没有 ,是 的.
(2)平面的画法
①平面通常用 来表示,当平面水平放置的时候,一般用 作为平面的直观图.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用 画出来.
(3)平面的表示
①通常用希腊字母α,β,γ,…表示,如平面 ,平面β等.
②用平行四边形的四个顶点表示平面,如平面ABCD.
③用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 .
2.三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点, 一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α 用来确定一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在 _________ 用来证明直线在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 _________ 用来证明空间的点共线和线共点
3.三个推论
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
基础落实训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10 m,宽5 m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A.平面MN B.平面NQP C.平面α D.平面MNPQ
3.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为 ( )
A.P∈a,a∥α B.a∩α=P
C.P∈a,P α D.P∈a,a α
4.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四条边相等的四边形
题型(一) 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
听课记录:
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
[针对训练]
1.如图所示,用符号语言可表达为 ( )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
2.如果A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,可以用集合语言和符号表示为 ( )
A.A a,a α,B∈α B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
题型(二) 点、线共面问题
[例2] 如图,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
听课记录:
[变式拓展]
将本例中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,符号表示为已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:a,b,c和l共面.
|思|维|建|模|
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.
[针对训练]
3.如图,已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交.求证:A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
题型(三) 点共线、线共点问题
[例3] 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件不变,求证:BE,DF,CC1三线共点.
|思|维|建|模|
1.证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上.
[针对训练]
4.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.求证:AB,CD,l共点.
13.2.1 平面的基本性质
课前预知教材
1.(1)厚薄 无限延展 (2)平行四边形 水平放置的正方形的直观图 虚线
(3)α AC 2.有且只有 两个点 这个平面内 AB α 公共直线 α∩β=l且P∈l
[基础落实训练]
1.D 2.A
3.选C 由于点P在平面α外,所以有P α.又直线a经过点P,所以P∈a.故选C.
4.选D 三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形.
课堂题点研究
[例1] 解:(1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
(2)用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如图.
[针对训练]
1.选A 如题图所示,两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为α∩β=m,n α,m∩n=A.
2.选B A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,表示为A∈a,a α,B∈α.
[例2] 证明:因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a β,点P∈β.
因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,P a,所以α与β重合,所以PQ α.
[变式拓展]
证明:如图,∵a∥b,
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.
又∵A∈l,B∈l,∴l α.
∵b∥c,∴b与c确定一个平面β,同理l β.
∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由基本事实1的推论知,经过两条相交直线有且只有一个平面,∴平面α与平面β重合.∴a,b,c和l共面.
[针对训练]
3.证明:设CE∩BD=M,CA∩BD=N,
∵CA∩CE=C,∴CA,CE确定一个平面α.
∵M∈CE,∴M∈α,同理N∈α.
∴直线MN即直线BD α,∴B∈α,D∈α.
∴A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
[例3] 证明:由题意作图,如图所示.
∵AA1∥CC1,
∴A,A1,C,C1确定一个平面AA1C1C.O∈A1C,A1C 平面AA1C1C,∴O∈平面AA1C1C.
∵对角线A1C与平面BDC1交于点O,
∴O∈平面BDC1,O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上.
∵AC∩BD=M,∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1.∴平面AA1C1C∩平面BDC1 =C1M.∴O∈C1M,即点C1,O,M共线.
[变式拓展]
证明:延长DF,BE交于G,
∵DG 平面DCG,∴G∈DG,∴G∈平面DCG.∵BE 平面BCG,∴G∈BE,∴G∈平面BCG.∵平面DCG∩平面BCG=CC1,∴G∈CC1.∴BE,DF,CC1三线共点.
[针对训练]
4.证明:如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC,
所以AB与CD必交于一点,设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD.
又因为AB α,CD β,
所以M∈α,M∈β,
又因为α∩β=l,所以M∈l,
所以AB,CD,l共点.(共58张PPT)
13.2.1
平面的基本性质
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助日常生活中的实物,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解基本事实1~3和确定平面的推论,掌握平面的画法及表示方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.平面
(1)平面的概念
①平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念,平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念.
②几何中平面的特征:平面没有_____,是_________的.
厚薄
无限延展
(2)平面的画法
①平面通常用___________来表示,当平面水平放置的时候,一般用__________________________作为平面的直观图.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把被遮挡部分用______画出来.
平行四边形
水平放置的正方形的直观图
虚线
(3)平面的表示
①通常用希腊字母α,β,γ,…表示,如平面____,平面β等.
②用平行四边形的四个顶点表示平面,如平面ABCD.
③用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面____.
AC
α
2.三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点, ___________ 一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α 用来确定一个平面
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在___________ 用来证明直线在平面内
有且只有
两个点
这个平面内
AB α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的__________ 用来证明空间的点共线和线共点
续表
公共直线
α∩β=l且P∈l
3.三个推论
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
基础落实训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10 m,宽5 m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
√
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A.平面MN B.平面NQP
C.平面α D.平面MNPQ
√
3.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为 ( )
A.P∈a,a∥α B.a∩α=P
C.P∈a,P α D.P∈a,a α
解析:由于点P在平面α外,所以有P α.又直线a经过点P,所以P∈a.故选C.
√
4.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四条边相等的四边形
解析:三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
解:用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解:用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如图.
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
针对训练
1.如图所示,用符号语言可表达为 ( )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
√
解析:如题图所示,两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为α∩β=m,n α,m∩n=A.
2.如果A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,可以用集合语言和符号表示为 ( )
A.A a,a α,B∈α B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
解析:A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,表示为A∈a,a α,
B∈α.
√
题型(二) 点、线共面问题
[例2] 如图,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
证明:因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a β,点P∈β.因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,P a,所以α与β重合,所以PQ α.
变式拓展
将本例中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,符号表示为已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:a,b,c和l共面.
证明:如图,∵a∥b,
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.
又∵A∈l,B∈l,∴l α.
∵b∥c,∴b与c确定一个平面β,同理l β.
∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由基本事实1的推论知,经过两条相交直线有且只有一个平面,
∴平面α与平面β重合.∴a,b,c和l共面.
|思|维|建|模|
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.
针对训练
3.如图,已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交.求证:A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
证明:设CE∩BD=M,CA∩BD=N,
∵CA∩CE=C,∴CA,CE确定一个平面α.
∵M∈CE,∴M∈α,同理N∈α.
∴直线MN即直线BD α,
∴B∈α,D∈α.
∴A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
题型(三) 点共线、线共点问题
[例3] 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.
∵AA1∥CC1,
∴A,A1,C,C1确定一个平面AA1C1C.O∈A1C,
A1C 平面AA1C1C,∴O∈平面AA1C1C.
∵对角线A1C与平面BDC1交于点O,
∴O∈平面BDC1,O在平面AA1C1C与平面BDC1的交线上.
∵AC∩BD=M,∴M∈平面AA1C1C且M∈平面BDC1.∴平面AA1C1C∩平面BDC1 =C1M.
∴O∈C1M,即点C1,O,M共线.
证明:由题意作图,如图所示.
变式拓展
本例条件不变,求证:BE,DF,CC1三线共点.
证明:延长DF,BE交于G,
∵DG 平面DCG,∴G∈DG,∴G∈平面DCG.
∵BE 平面BCG,∴G∈BE,∴G∈平面BCG.
∵平面DCG∩平面BCG=CC1,∴G∈CC1.
∴BE,DF,CC1三线共点.
|思|维|建|模|
1.证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上.
针对训练
4.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,
CD β.求证:AB,CD,l共点.
证明:如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC,
所以AB与CD必交于一点,
设AB交CD于点M,
则M∈AB,M∈CD.
又因为AB α,CD β,
所以M∈α,M∈β,
又因为α∩β=l,所以M∈l,
所以AB,CD,l共点.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )
√
解析:画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.
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2.(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,则下列推理正确的是 ( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
√
√
√
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解析:由基本事实2知A正确;
由基本事实3知B正确;
由基本事实1知D正确;
对于C,因为A∈α,A∈β,所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A,且α∩β=A的写法错误.故选ABD.
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3.(多选)下面四个命题不正确的是 ( )
A.三个不同的点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
√
√
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解析:对于A,三个不共线的点确定一个平面,故错误;
对于B,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错误;
对于C,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错误;
对于D,两条平行直线确定一个平面,正确.故选ABC.
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4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
解析:两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
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5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直线AD∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 ( )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
解析:A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,且C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
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6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1= .
解析:平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.
(2)平面A1C1CA∩平面AC= .
解析:平面A1C1CA与平面AC相交,交线为AC.
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= .
解析:平面A1C1CA与平面D1B1BD相交,交线为OO1.
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共点为 .
解析:平面A1C1,平面B1C,平面AB1三平面交于一点B1.
A1B1
AC
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7.设平面α与平面β相交于l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M l.
解析:因为a∩b=M,a α,b β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
∈
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8.三条平行直线最多能确定的平面的个数为 .
解析:当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一个平面上时,可以确定3个平面.综上最多可确定3个平面.
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9.(8分)用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC.
解:符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,
图形表示如图(1).
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(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解:符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,
图形表示如图(2).
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10.(10分)如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
解:延长AB交平面α于点P,如图所示.
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(2)求证:D,E,P三点共线.
解:证明:平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB 平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,
即P∈DE.故D,E,P三点共线.
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B级——重点培优
11.如图所示,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )
A.在直线DB上
B.在直线AB上
C.在直线CB上
D.都不对
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解析:直线EF和GH相交,设交点为M,因为EF 平面ABD,HG 平面CBD,所以M∈平面ABD,且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,
所以M∈BD,所以EF与GH的交点在直线BD上.
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12.(多选)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,
B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则 ( )
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
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解析:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,故A正确;
因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面,故B错误;
由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四点共面,故C正确;
连接GO2并延长(图略),交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,
则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面,D正确.
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13.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 .
解析:当四点共面时,只能确定一个平面;当四点不共面时,如图,任三点都可确定一个平面,共4个.
1个或4个
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14.(12分)如图,正四棱柱ABCP A'B'C'P'.
(1)请在正四棱柱ABCP A'B'C'P'中,
画出经过P,Q,R三点的截面(无需证明);
解:作直线QR分别交P'A',P'C'的延长线于点M,N,
连接MP交AA'于点S,连接PN交CC'于点T,连接SQ,
TR,则五边形PSQRT即为所求,如图①所示.
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(2)若Q,R分别为A'B',B'C'中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点.
解:证明:如图②,连接QR,AC,A'C',四边形ACC'A'是正四棱柱ABCP A'B'C'P'的对角面,
则AC=A'C',AC∥A'C',
由Q,R分别为A'B',B'C'中点,
得QR∥A'C',A'C'=2QR,
则QR∥AC,且AC=2QR,
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即四边形AQRC为梯形.
令AQ∩CR=O,则O∈AQ,
而AQ 平面A'ABB',所以O∈平面A'ABB'.
同理,O∈平面C'CBB'.
又平面A'ABB'∩平面C'CBB'=BB',
因此O∈BB',
所以AQ,CR,BB'三线共点.
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15.(12分)如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,且DH=AD,DG=CD.
求证:(1)E,F,G,H四点共面;
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证明:连接EF,AC,HG,由E,F分别为AB,BC中点,则EF∥AC.
又DH=AD,DG=CD,∴HG∥AC,
∴EF∥HG,∴E,F,G,H四点共面.
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(2)EH,FG必相交,且交点在直线BD上.
证明:由DH=AD,DG=CD,易知HG=AC,
又E,F分别为AB,BC中点,∴EF=AC,
∴HG≠EF.结合(1)的结论可知,
四边形EFGH是梯形,因此直线EH,FG不平行.设它们交点为P,P∈
平面ABD,同理P∈平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,因此P∈BD,即EH,FG必相交,且交点在直线BD上.课时跟踪检测(三十四) 平面的基本性质
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是 ( )
2.(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,则下列推理正确的是 ( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
3.(多选)下面四个命题不正确的是 ( )
A.三个不同的点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直线AD∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 ( )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1= .
(2)平面A1C1CA∩平面AC= .
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= .
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共点为 .
7.设平面α与平面β相交于l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M l.
8.三条平行直线最多能确定的平面的个数为 .
9.(8分)用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC.
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
10.(10分)如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
B级——重点培优
11.如图所示,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定 ( )
A.在直线DB上
B.在直线AB上
C.在直线CB上
D.都不对
12.(多选)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则 ( )
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
13.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 .
14.(12分)如图,正四棱柱ABCP A'B'C'P'.
(1)请在正四棱柱ABCP A'B'C'P'中,画出经过P,Q,R三点的截面(无需证明);
(2)若Q,R分别为A'B',B'C'中点,证明:AQ,CR,BB'三线共点.
15.(12分)如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,
且DH=AD,DG=CD.
求证:(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EH,FG必相交,且交点在直线BD上.
课时跟踪检测(三十四)
1．选D 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．
2．选ABD 由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β＝A的写法错误．故选ABD.
3．选ABC 对于A，三个不共线的点确定一个平面，故错误；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错误；对于C，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错误；对于D，两条平行直线确定一个平面，正确．故选ABC.
4．选B 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
5．选D A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．
6．解析：(1)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.(2)平面A1C1CA与平面AC相交，交线为AC.(3)平面A1C1CA与平面D1B1BD相交，交线为OO1.(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1三平面交于一点B1.
答案：(1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
7．解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
8．解析：当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一个平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．
答案：3
9．解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．
10．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．
(2)证明：平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上，
即P∈DE.故D，E，P三点共线．
11．选A 直线EF和GH相交，设交点为M，因为EF 平面ABD，HG 平面CBD，所以M∈平面ABD，且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF与GH的交点在直线BD上．
12．选ACD 因为正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长(图略)，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，D正确．
13．解析：当四点共面时，只能确定一个平面；当四点不共面时，如图，任三点都可确定一个平面，共4个．
答案：1个或4个
14．解：(1)作直线QR分别交P′A′，P′C′的延长线于点M，N，连接MP交AA′于点S，连接PN交CC′于点T，连接SQ，TR，则五边形PSQRT即为所求，如图①所示．
(2)证明：如图②，连接QR，AC，A′C′，四边形ACC′A′是正四棱柱ABCP A′B′C′P′的对角面，则AC＝A′C′，AC∥A′C′，由Q，R分别为A′B′，B′C′中点，得QR∥A′C′，A′C′＝2QR，则QR∥AC，且AC＝2QR，即四边形AQRC为梯形．令AQ∩CR＝O，则O∈AQ，而AQ 平面A′ABB′，所以O∈平面A′ABB′.同理，O∈平面C′CBB′.又平面A′ABB′∩平面C′CBB′＝BB′，因此O∈BB′，所以AQ，CR，BB′三线共点．
15．证明：(1)连接EF，AC，HG，由E，F分别为AB，BC中点，则EF∥AC.
又DH＝AD，DG＝CD，∴HG∥AC，
∴EF∥HG，∴E，F，G，H四点共面．
(2)由DH＝AD，DG＝CD，易知HG＝AC，又E，F分别为AB，BC中点，∴EF＝AC，
∴HG≠EF.结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，因此P∈BD，即EH，FG必相交，且交点在直线BD上．
