13.2.2 空间两条直线的位置关系
第1课时 平行直线 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解并掌握空间中基本事实4及等角定理.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系.
3.能利用基本事实4和定理判定和证明空间两条直线的位置关系.
1.异面直线的定义
我们把不同在 的两条直线叫作异面直线.
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点
相交直线 在同一平面内 公共点
平行直线 在同一平面内 公共点
异面直线 不同在任何 一个平面内 公共点
3.基本事实4
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线 a∥c 判断空间两条直线平行的依据
|微|点|助|解|
(1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫作平行直线.
(2)两个重要结论:
①过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
②在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(3)基本事实4表述的性质通常叫作平行线的传递性.
4.定理
如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ,那么这两个角相等.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间中,直线不平行就意味着相交. ( )
(2)没有公共点的两条直线是异面直线. ( )
(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内. ( )
2.在三棱锥S ABC中,与SA是异面直线的是 ( )
A.SB B.SC
C.BC D.AB
3.如图,在四面体S MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
4.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= ( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
题型(一) 空间中直线与直线的位置关系的判定
[例1] (多选)下面是长方体ABCD A1B1C1D1的几条棱,其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是 ( )
A.AB B.B1C1 C.B1B D.CD
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
[针对训练]
1.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
题型(二) 基本事实4及其应用
[例2] 如图,在正方体ABCD A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.
听课记录:
[变式拓展]
在本例中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
|思|维|建|模| 证明空间两条直线平行的方法
平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等
定义法 用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点
基本事实4 用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c
[针对训练]
2.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形.
题型(三) 等角定理及其应用
[例3] 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,求证:△EFG∽△C1DA1.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.
(2)根据角的两边的方向判定两角相等.
[针对训练]
3.如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.
13.2.2 空间两条直线的位置关系
第1课时 平行直线
课前预知教材
1.任何一个平面内 2.有且只有一个 没有 没有 3.平行 4.平行 相同
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√ 2.C 3.A
4.选C 当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°,方向相反时,∠B'A'C'=150°.
课堂题点研究
[例1] 选ACD 如图所示,由题意知与直线A1D1既不相交也不平行,则直线AB,直线B1B,直线CD均与直线A1D1异面,而直线B1C1与直线A1D1平行,所以B不正确, A、C、D正确.
[针对训练]
1.解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
答案:①平行 ②异面 ③相交 ④异面
[例2] 证明:因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
[变式拓展]
证明:如图,在正方体中,MN∥A'C',
且MN=A'C',
因为A'C'∥AC,且A'C'=AC,
所以MN∥AC,且MN=AC.
又AM与CN不平行,
故四边形ACNM是梯形.
[针对训练]
2.证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE.
因为F为CC1的中点,
所以BG∥FC1,且BG=FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1,
BF=GC1.
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1,ED1=GC1.所以BF∥ED1,BF=ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
[例3] 证明:如图,连接B1C.因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1为正方体,
所以CD∥AB,A1B1∥AB.所以CD∥A1B1.
所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG,所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
[针对训练]
3.证明:如图,连接CB1,CD1.∵CD A1B1,∴四边形A1B1CD是平行四边形,
∴A1D∥B1C.∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,
∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC A1D1.∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.
∴∠NMP=∠BA1D.(共48张PPT)
13.2.2
空间两条直线的位置关系
平行直线
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解并掌握空间中基本事实4及等角定理.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系.
3.能利用基本事实4和定理判定和证明空间两条直线的位置关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.异面直线的定义
我们把不同在_________________的两条直线叫作异面直线.
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点
相交直线 在同一平面内 ______________公共点
平行直线 在同一平面内 ______公共点
异面直线 不同在任何一个平面内 ______公共点
任何一个平面内
有且只有一个
没有
没有
3.基本事实4
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线______ a∥c 判断空间两条直线平行的依据
平行
|微|点|助|解|
(1)在同一个平面内没有公共点的两条直线叫作平行直线.
(2)两个重要结论:
①过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
②在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(3)基本事实4表述的性质通常叫作平行线的传递性.
4.定理
如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别_____并且方向_____,那么这两个角相等.
平行
相同
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间中,直线不平行就意味着相交. ( )
(2)没有公共点的两条直线是异面直线. ( )
(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内. ( )
×
×
√
2.在三棱锥S ABC中,与SA是异面直线的是 ( )
A.SB B.SC
C.BC D.AB
√
3.如图,在四面体S MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,
SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
√
4.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= ( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小无法确定
解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°,方向相反时,
∠B'A'C'=150°.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 空间中直线与直线的位置关系的判定
[例1] (多选)下面是长方体ABCD A1B1C1D1的几条棱,其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是 ( )
A.AB B.B1C1
C.B1B D.CD
解析:如图所示,由题意知与直线A1D1既不相交也不平行,则直线AB,直线B1B,直线CD均与直线A1D1异面,而直线B1C1与直线A1D1平行,所以B不正确, A、C、D正确.
√
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|思|维|建|模|
(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
针对训练
1.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
平行
异面
相交
异面
解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
题型(二) 基本事实4及其应用
[例2] 如图,在正方体ABCD A'B'C'D'中,
E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.
证明:因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
变式拓展
在本例中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
证明:如图,在正方体中,MN∥A'C',
且MN=A'C',
因为A'C'∥AC,且A'C'=AC,
所以MN∥AC,且MN=AC.
又AM与CN不平行,
故四边形ACNM是梯形.
|思|维|建|模|
证明空间两条直线平行的方法
平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等
定义法 用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点
基本事实4 用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c
针对训练
2.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形.
证明:如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点,所以BG∥FC1,且BG=FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1,BF=GC1.
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,
A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1∥GC1,ED1=GC1.所以BF∥ED1,BF=ED1.
所以四边形BFD1E是平行四边形.
题型(三) 等角定理及其应用
[例3] 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,
E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,
求证:△EFG∽△C1DA1.
证明:如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,
所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1为正方体,
所以CD∥AB,A1B1∥AB.
所以CD∥A1B1.
所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG,所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
|思|维|建|模|
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.
(2)根据角的两边的方向判定两角相等.
针对训练
3.如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,
M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠NMP=∠BA1D.
证明:如图,连接CB1,CD1.∵CD A1B1,
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
∴A1D∥B1C.∵M,N分别是CC1,
B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.
∵BC A1D1.∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.
∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.
∴∠NMP=∠BA1D.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.a∩α=A,则a与平面α内的直线b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析:若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面.
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2.在三棱锥P ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:由题意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
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3.下列四面体中,直线EF与MN可能平行的是 ( )
解析:根据过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面,可以判定A、B、D中的MN与EF异面;C中当MN与EF都与中间棱平行时,MN∥EF,故选C.
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4.在三棱台A1B1C1 ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1 ( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
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5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,射线OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是 ( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
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解析:当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同时,
OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D.
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6.在长方体ABCD A'B'C'D'中,与AD平行的棱有________________
(填写所有符合条件的棱).
解析:长方体具有三组互相平行的棱,并且每一组棱都有四条,由图可知与AD平行的棱还有A'D',B'C',BC.
A'D',B'C',BC
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7.在四棱锥P ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH= .
解析:由题意知EF AC,GH AC,故EF GH,故GH=2.
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8.空间两个角∠ABC和∠A'B'C',若AB∥A'B',BC∥B'C',∠ABC=40°,
则∠A'B'C'的大小是 .
解析:空间两个角∠ABC和∠A'B'C',因为AB∥A'B',BC∥B'C'且∠ABC=40°,则∠A'B'C'=40°或∠A'B'C'=180°-40°=140°.
40°或140°
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9.(10分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,
E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:
(1)GB∥D1F;
证明:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,
F,G分别是棱BB1,DD1的中点,
所以D1G=BF,且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形.
所以GB∥D1F.
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(2)∠BGC=∠FD1E.
证明:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点,
所以D1G=CE,且D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形.
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F,
由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角,
所以∠BGC=∠FD1E.
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10.(10分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,
应该怎样画 并说明理由.
解:如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由如下:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,
所以EF∥BC.
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B级——重点培优
11.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,
BD=6,则( )
A.1C.1≤MN≤5 D.2解析:取AD的中点H,连接MH,NH,则MH∥BD,且MH=BD,NH∥AC,
且NH=AC,且M,N,H三点构成三角形,由三角形中三边关系,可得MH-
NH√
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12.(多选)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,
C1C的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
√
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解析:∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;
直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;
取DD1的中点E,连接AE(图略),易知AE∥BN,而AE与AM相交,故AM与BN不是平行直线,选项C说法错误;
直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.
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13.(13分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点.
求证:四边形EFGH为平行四边形.
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证明:∵梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,
∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
又C'D'∥EF,EF∥AB,∴C'D'∥AB.
∵G,H分别为AD',BC'的中点,
∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD).
∴GH EF.∴四边形EFGH为平行四边形.
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14.(15分)如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判断MN与BD的位置关系,并说明理由;
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解:MN∥BD.
理由如下:连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F,
由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,
连接EF,则EF∥BD,且EF=BD.
又∵点M为△ABC的重心,点N为△ACD的重心,
∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1.
∴MN∥EF,且MN=EF,
故MN∥BD.
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(2)求MN的长.
解:由(1)知,MN=EF=BD=2.课时跟踪检测(三十五) 平行直线
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.a∩α=A,则a与平面α内的直线b的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
2.在三棱锥P ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.下列四面体中,直线EF与MN可能平行的是 ( )
4.在三棱台A1B1C1 ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1 ( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,射线OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是 ( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
6.在长方体ABCD A'B'C'D'中,与AD平行的棱有 (填写所有符合条件的棱).
7.在四棱锥P ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH= .
8.空间两个角∠ABC和∠A'B'C',若AB∥A'B',BC∥B'C',∠ABC=40°,则∠A'B'C'的大小是 .
9.(10分)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:
(1)GB∥D1F;
(2)∠BGC=∠FD1E.
10.(10分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,
应该怎样画 并说明理由.
B级——重点培优
11.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则 ( )
A.1C.1≤MN≤5 D.212.(多选)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
13.(13分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点.求证:四边形EFGH为平行四边形.
14.(15分)如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判断MN与BD的位置关系,并说明理由;
(2)求MN的长.
课时跟踪检测(三十五)
1．选D 若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面．
2．选D 由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
3．选C 根据过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面，可以判定A、B、D中的MN与EF异面；C中当MN与EF都与中间棱平行时，MN∥EF，故选C.
4.选C 如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
5．选D 当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D.
6．解析：长方体具有三组互相平行的棱，并且每一组棱都有四条，由图可知与AD平行的棱还有A′D′，B′C′，BC.
答案：A′D′，B′C′，BC
7．解析：由题意知EF綊AC，GH綊AC，故EF綊GH，故GH＝2.
答案：2
8．解析：空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，因为AB∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，则∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°.
答案：40°或140°
9．证明：(1)因为正方体ABCD A1B1C1D1中，F，G分别是棱BB1，DD1的中点，
所以D1G＝BF，且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形．
所以GB∥D1F.
(2)因为正方体ABCD A1B1C1D1中，E，G分别是棱CC1，DD1的中点，
所以D1G＝CE，且D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形．
所以GC∥ED1.由(1)知GB∥D1F，
由图形可知∠BGC，∠FD1E均为锐角，
所以∠BGC＝∠FD1E.
10．解：如图，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由如下：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
11．选A 取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH12．选BD ∵A，M，C，C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故选项A说法错误；直线BN与MB1不同在任何一个平面内，是异面直线，故选项B说法正确；取DD1的中点E，连接AE(图略)，易知AE∥BN，而AE与AM相交，故AM与BN不是平行直线，选项C说法错误；直线AM与DD1不同在任何一个平面内，是异面直线，故选项D说法正确．
13．证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)．∴GH綊EF.∴四边形EFGH为平行四边形．
14．解：(1)MN∥BD.
理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，
连接EF，则EF∥BD，且EF＝BD.又∵点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心，
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1.
∴MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
(2)由(1)知，MN＝EF＝BD＝2.
