第2课时 直线与平面垂直 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理.
2.掌握直线与平面垂直的定义、线面关系的证明.
1.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线a与平面α内的 直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直
记法
有关 概念 直线a叫作平面α的 ,平面α叫作直线a的 ,垂线和平面的交点称为
图示
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直,那么该直线与此平面______
图形语言
符号语言 若a⊥m,a⊥n, ,m α,n α,则a⊥α
|微|点|助|解|
(1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面.
(2)该定理中有五大条件:
a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m α,n α,它们缺一不可.
(3)两个线线垂直:定理中注意直线a与直线m,n都垂直,但要注意直线a与直线m,n的位置关系可能相交,也可能异面,即直线a可能经过交点A,也可能不经过交点A.
(4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线m,n必须是平面α内的两条相交直线.
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行,②作平行线
|微|点|助|解|
1.剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下,可得出什么结论.
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
(4)定理的推证过程采用了反证法.
2.直线与平面垂直的性质
(1) l⊥b;(2) a∥b;(3) b⊥α;
(4) a⊥β;(5) α∥β.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
(2)画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. ( )
(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. ( )
2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不确定
3.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
题型(一) 直线与平面垂直的定义的理解
[例1] (多选)下列四个命题中,其中正确的是 ( )
A.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行
B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
听课记录:
|思|维|建|模|
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直,即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直,即线面垂直 线线垂直.
[针对训练]
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若l⊥m,m α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
题型(二) 直线与平面垂直的判定定理的应用
[例2] (2022·全国甲卷·节选)在四棱锥P ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,
AB=2,DP=.证明:BD⊥PA.
听课记录:
|思|维|建|模|
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法不常用,但由线面垂直可得出线线垂直;
②判定定理最常用:要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
[针对训练]
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
3.如图,在三棱锥S ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
题型(三) 直线与平面垂直的性质定理的应用
[例3] 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:MN∥AD1.
听课记录:
|思|维|建|模|
关于线面垂直性质定理的应用
在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
[针对训练]
4.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:AF⊥平面CDE.
第2课时 直线与平面垂直
课前预知教材
1.任意一条 a⊥α 垂线 垂面 垂足
2.两条相交 垂直 m∩n=A 3.平行 a∥b
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.B 3.B
课堂题点研究
[例1] 选CD l与平面α内的所有直线都垂直,所以A不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以B不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以C正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以D正确.故选CD.
[针对训练]
1.选B 对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面.故选B.
[例2] 证明:如图所示,取AB中点O,连接DO,CO,则OB=DC=1.
又DC∥OB,
所以四边形DCBO为平行四边形.又BC=OB=1,
所以四边形DCBO为菱形,所以BD⊥CO.
同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO,
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,所以PD⊥BD,又AD∩PD=D,AD,PD 平面ADP,所以BD⊥平面ADP.因为PA 平面ADP,所以BD⊥PA.
[针对训练]
2.选C ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC 平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
3.证明:(1)∵SA=SC,D是AC的中点,
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,∴BD⊥平面SAC.
[例3] 证明:因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D 平面A1DC,CD 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
[针对训练]
4.证明:(1)如图所示,取CE的中点G,连接FG,BG.
∵F为CD的中点,
∴GF∥DE且GF
=DE.∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥DE,
∴GF∥AB.又AB=DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
∵AF 平面BCE,BG 平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF 平面ACD,
∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.(共54张PPT)
直线与平面垂直
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.了解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理.
2.掌握直线与平面垂直的定义、线面关系的证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线a与平面α内的__________直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直
记法 ______
有关 概念 直线a叫作平面α的_____,平面α叫作直线a的_____,垂线和平面的交点称为_____
图示
任意一条
a⊥α
垂线
垂面
垂足
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的___________直线垂直,那么该直线与此平面______
图形语言
符号语言 若a⊥m,a⊥n, __________,m α,n α,则a⊥α
两条相交
垂直
m∩n=A
|微|点|助|解|
(1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面.
(2)该定理中有五大条件:
a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m α,n α,它们缺一不可.
(3)两个线线垂直:定理中注意直线a与直线m,n都垂直,但要注意直线a与直线m,n的位置关系可能相交,也可能异面,即直线a可能经过交点A,也可能不经过交点A.
(4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线m,n必须是平面α内的两条相交直线.
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行,②作平行线
a∥b
平行
|微|点|助|解|
1.剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下,可得出什么结论.
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
(4)定理的推证过程采用了反证法.
2.直线与平面垂直的性质
(1) l⊥b;(2) a∥b;(3) b⊥α;
(4) a⊥β;(5) α∥β.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
(2)画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. ( )
(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. ( )
×
√
√
√
2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不确定
3.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 直线与平面垂直的定义的理解
[例1] (多选)下列四个命题中,其中正确的是 ( )
A.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行
B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
√
√
解析:l与平面α内的所有直线都垂直,所以A不正确;
当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以B不正确;
当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以C正确;
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以D正确.故选CD.
|思|维|建|模|
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直,即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直,即线面垂直 线线垂直.
针对训练
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若l⊥m,m α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
√
解析:对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;
对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;
对于C,也有可能是l,m异面;
对于D,l,m还可能相交或异面.故选B.
题型(二) 直线与平面垂直的判定定理的应用
[例2] (2022·全国甲卷·节选)在四棱锥P ABCD中,PD⊥底面ABCD,
CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.证明:BD⊥PA.
证明:如图所示,取AB中点O,连接DO,CO,
则OB=DC=1.
又DC∥OB,
所以四边形DCBO为平行四边形.
又BC=OB=1,
所以四边形DCBO为菱形,所以BD⊥CO.
同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO,
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,
所以PD⊥BD,
又AD∩PD=D,AD,PD 平面ADP,
所以BD⊥平面ADP.
因为PA 平面ADP,所以BD⊥PA.
|思|维|建|模|
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法不常用,但由线面垂直可得出线线垂直;
②判定定理最常用:要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
针对训练
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析:∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC 平面OBC,
∴OA⊥平面OBC.
√
3.如图,在三棱锥S ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
证明:∵SA=SC,D是AC的中点,
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,
∴BD⊥平面SAC.
题型(三) 直线与平面垂直的性质定理的应用
[例3] 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M是AB上一点,
N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.
证明:因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,A1D 平面A1DC,CD 平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
|思|维|建|模|
关于线面垂直性质定理的应用
在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
针对训练
4.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
证明:如图所示,取CE的中点G,连接FG,BG.
∵F为CD的中点,
∴GF∥DE且GF=DE.
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥DE,
∴GF∥AB.又AB=DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
∵AF 平面BCE,BG 平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)求证:AF⊥平面CDE.
证明:∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF 平面ACD,
∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,l,m为两条不重合的直线,则直线l,m的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.以上都有可能
解析:因为直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,所以l⊥平面α,同理m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
√
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2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
解析:∵AB⊥α,l α,∴AB⊥l,又∵BC⊥β,l β,∴BC⊥l,
又AB∩BC=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC,∴l⊥平面ABC,
又AC 平面ABC,∴l⊥AC.
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3.(2024·全国甲卷)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m,下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β,则m∥n
④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n
其中所有真命题的编号是( )
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④
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解析:若α∩β=m,则m α,m β,对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,①正确;
对于②,若m⊥n,则可能n α或n∥α或n与α相交,②错误;
对于③,若n∥α且n∥β,则n∥m,③正确;
对于④,n与m所成的角可以为内的任意角,④错误.故选A.
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4.(多选)如图,ABCD A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
√
√
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解析:由于BD∥B1D1,BD 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;
因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,
所以B正确;
可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;
由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.
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5.(多选)如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,
D为PB的中点,则下列结论正确的有 ( )
A.BC⊥平面PAB
B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC
D.PB⊥平面ADC
√
√
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解析:∵PA⊥平面ABC,
BC 平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,故A正确;
由BC⊥平面PAB,AD 平面PAB,得BC⊥AD,
又PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB,
又PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,
∴AD⊥平面PBC,故C正确;
由AD⊥平面PBC,PC 平面PBC,得AD⊥PC,故B正确;
由BC⊥平面PAB,PB 平面PAB,得PB⊥BC,
∴PB与DC不垂直,
∴PB与平面ADC不垂直.故D错误.
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6.如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,
D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D PC,则DE与平面PAC的位置关系是 .
解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE 平面PAC,PA 平面PAC,所以DE∥平面PAC.
平行
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7.若AP垂直于正方形ABCD所在平面,且AB=AP=2,则PC= .
解析:根据题意画出图形如图所示,在正方形ABCD中,
AC==2.因为AP⊥平面ABCD,又AC 平面ABCD,所以AP⊥AC,于是PC==2.
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8.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,
B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P ABC的四个面中,直角三角形有 个.
解析:∵AB是圆O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.
∵PA⊥平面ABC,AC,AB,BC 平面ABC,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
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∴△PAC,△PAB是直角三角形.
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,又PC 平面PAC,∴BC⊥PC,
∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形.
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9.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,
AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.
求证:AE∥MN.
证明:∵AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,
∴AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CD.
∵AD=AP,E是PD的中点,∴AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD 平面PCD,PD 平面PCD,
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∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC,PC∩CD=C,PC 平面PCD,CD 平面PCD,
∴MN⊥平面PCD.∴AE∥MN.
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10.(10分)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,
SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.
证明:∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.
又AC∩SA=A,∴BC⊥平面SAC.
∵AD 平面SAC,∴BC⊥AD.
又SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥平面SBC.
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B级——重点培优
11.《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱(正八棱柱的底面是正八边形,且侧棱和底面垂直),如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
A.8 B.16
C.24 D.28
√
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解析:根据正八边形的性质可得,底面边长都相等,底面每个内角都为135°,∠HAG=∠BAC=22.5°,
∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG,
AD⊥AH,又因为AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,因为AA1∩AB=A,AA1,AB 平面AA1B1B,
所以AF⊥平面AA1B1B,又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以共有4个阳马;
同理,AG⊥平面AA1C1C,共4个;AH⊥平面AA1D1D,共4个;AB⊥平面AA1F1F,共4个;AC⊥平面AA1G1G,共4个;AD⊥平面AA1H1H,共4个.故有24个阳马.
故选C.
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12.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,
FH⊥平面α,垂足分别为G,H,为使PQ⊥GH,
则需增加的一个条件是 .
解析:因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β,由PQ 平面β,得EF⊥PQ.
又因为EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG.而GH 平面EFHG,从而PQ⊥GH.
EF⊥平面β(答案不唯一)
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13.(14分)如图, 在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
∠ABC=120°,AB=1,BC=4,M是BC的中点,PD⊥DC.
证明:DC⊥平面PDM.
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证明:在△DCM中,易知DC=1,CM=2,∠DCM=60°,由余弦定理,得DM2=
CD2+CM2-2CD·CMcos∠DCM=1+4-2×1×2×=3,所以DM=,
所以DM2+DC2=CM2,
所以△DCM为直角三角形,且∠CDM=90°,
即DM⊥DC.
又因为DP⊥DC,DP∩DM=D,DP 平面PDM,DM 平面PDM,
所以DC⊥平面PDM.
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14.(14分)如图,三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,M为A1B1的中点.
(1)证明:MC⊥AB;
解:证明:取AB的中点N,连接MN,CN,
则MN⊥底面ABC,MN⊥AB.
因为△ABC是正三角形,
所以NC⊥AB,
又MN∩NC=N,MN 平面MNC,NC 平面MNC,
可得AB⊥平面MNC,从而AB⊥MC.
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(2)若AA1=2,侧棱CC1上是否存在点P使得MC⊥平面ABP 若存在,求出PC的长;若不存在,请说明理由.
解:存在点P且当PC=时,使得MC⊥平面ABP.
由(1)知,MC⊥AB,若存在点P使得MC⊥平面ABP,则必有MC⊥BP.
过M作MQ⊥B1C1,垂足为Q,连接QC,则QC是MC在平面BCC1B1内的射影,只需QC⊥BP即可,此时Rt△QC1C∽Rt△PCB,=,
所以PC===,
点P恰好是CC1的中点.课时跟踪检测(三十八) 直线与平面垂直
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,l,m为两条不重合的直线,则直线l,m的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.以上都有可能
2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 ( )
A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定
3.(2024·全国甲卷)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m,下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β,则m∥n
④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n
其中所有真命题的编号是 ( )
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①③④
4.(多选)如图,ABCD A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是
( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
5.(多选)如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有 ( )
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
6.如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D PC,则DE与平面PAC的位置关系是 .
7.若AP垂直于正方形ABCD所在平面,且AB=AP=2,则PC= .
8.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P ABC的四个面中,直角三角形有 个.
9.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.
求证:AE∥MN.
10.(10分)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.
B级——重点培优
11.《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱(正八棱柱的底面是正八边形,且侧棱和底面垂直),如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ( )
A.8 B.16
C.24 D.28
12.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H,为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 .
13.(14分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,
M是BC的中点,PD⊥DC.
证明:DC⊥平面PDM.
14.(14分)如图,三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,M为A1B1的中点.
(1)证明:MC⊥AB;
(2)若AA1=2,侧棱CC1上是否存在点P使得MC⊥平面ABP 若存在,求出PC的长;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(三十八)
1．选A 因为直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，所以l⊥平面α，同理m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
2．选C ∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，∴l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，∴l⊥AC.
3．选A 若α∩β＝m，则m α，m β，对于①，若m∥n，则n∥α或n∥β，①正确；对于②，若m⊥n，则可能n α或n∥α或n与α相交，②错误；对于③，若n∥α且n∥β，则n∥m，③正确；对于④，n与m所成的角可以为内的任意角，④错误．故选A.
4．选ABC 由于BD∥B1D1，BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD，所以B正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，因为B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．
5．选ABC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；由AD⊥平面PBC，PC 平面PBC，得AD⊥PC，故B正确；由BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，得PB⊥BC，∴PB与DC不垂直，∴PB与平面ADC不垂直．故D错误．
6．解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE 平面PAC，PA 平面PAC，所以DE∥平面PAC.
答案：平行
7．解析：根据题意画出图形如图所示，在正方形ABCD中，AC＝＝2.
因为AP⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，所以AP⊥AC，于是PC＝＝2.
答案：2
8．解析：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵PA⊥平面ABC，AC，AB，BC 平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC，△PAB是直角三角形．又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形．
答案：4
9．证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB.又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD 平面PCD，PD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC 平面PCD，CD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.∴AE∥MN.
10．证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC.
∵AD 平面SAC，∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.
11.选C 根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为135°，∠HAG＝∠BAC＝22.5°，∠HAF＝∠BAD＝45°，所以AB⊥AF，AC⊥AG，AD⊥AH，又因为AA1⊥平面ABCDEFGH，所以AA1⊥AF，因为AA1∩AB＝A，AA1，AB 平面AA1B1B，所以AF⊥平面AA1B1B，又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1，所以共有4个阳马；同理，AG⊥平面AA1C1C，共4个；AH⊥平面AA1D1D，共4个；AB⊥平面AA1F1F，共4个；AC⊥平面AA1G1G，共4个；AD⊥平面AA1H1H，共4个．故有24个阳马．故选C.
12．解析：因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又因为EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG.而GH 平面EFHG，从而PQ⊥GH.
答案：EF⊥平面β(答案不唯一)
13．证明：在△DCM中，易知DC＝1，CM＝2，∠DCM＝60°，由余弦定理，得DM2＝CD2＋CM2－2CD·CMcos∠DCM＝1＋4－2×1×2×＝3，所以DM＝，
所以DM2＋DC2＝CM2，所以△DCM为直角三角形，且∠CDM＝90°，即DM⊥DC.又因为DP⊥DC，DP∩DM＝D，DP 平面PDM，DM 平面PDM，所以DC⊥平面PDM.
14．解：(1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，
则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.
因为△ABC是正三角形，
所以NC⊥AB，
又MN∩NC＝N，MN 平面MNC，NC 平面MNC，
可得AB⊥平面MNC，从而AB⊥MC.
(2)存在点P且当PC＝时，使得MC⊥平面ABP.由(1)知，MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.
过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C∽Rt△PCB，＝，所以PC＝＝＝，点P恰好是CC1的中点．
