13.3.1 空间图形的表面积 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.了解柱、锥、台的表面积及侧面积公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
逐点清(一) 直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积
[多维理解]
1.侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的 或 剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.
2.直棱柱及其侧面积
(1)侧棱和底面 的棱柱叫作直棱柱.
(2)底面为正多边形的 叫作正棱柱.直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高(两底面所在平面之间的距离).
(3)直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱柱的高h.因此,直棱柱的侧面积是S直棱柱侧= .
3.正棱锥及其侧面积
(1)如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是 ,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等,侧面均为全等的等腰三角形.
(2)正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形,展开图的面积就是正棱锥的侧面积.
如果正棱锥的底面周长为c,斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h',则它的侧面积是S正棱锥侧= .
4.正棱台及其侧面积
(1)正棱锥被 所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.
(2)正棱台的侧棱长都相等,侧面均为全等的等腰梯形.
(3)若设正棱台的上、下底面的周长分别为c',c,斜高为h',则其侧面积是S正棱台侧= .
|微|点|助|解|
(1)对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加.
(2)对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.
(3)棱锥、棱台的“斜高”与“高”:斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,正棱锥、正棱台的高是几何体的高.
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)斜三棱柱的侧面积也可用cl求解,其中c为底面周长,l为侧棱长. ( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. ( )
(3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图不一定相同,但展开图的面积相等. ( )
(4)将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得几何体的侧面积为4π. ( )
2.正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,则该四棱锥的侧面积为 ( )
A.32 B.48
C.64 D.
3.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为 ( )
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
4.如图,底面为菱形的直棱柱ABCD A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为 .
逐点清(二) 圆柱、圆锥和圆台的侧面积
[多维理解]
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积
几何体 侧面展开 图形状 展开图度量与几 何体度量的关系 侧面积公式
圆柱 矩形的一边长为母线长,另一边长为圆柱底面周长 S圆柱侧=_________, r:底面半径, l:母线长
圆锥 扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长 S圆锥侧=_________, r:底面半径, l:母线长
圆台 扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长 S圆台侧=_________, r1,r2分别为圆台上、下底面半径, l为母线长
|微|点|助|解|
(1)表面积:一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系:
[微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和. ( )
(2)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长. ( )
(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. ( )
2.圆柱的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则圆柱的侧面积为 ( )
A.20π cm2 B.10π cm2
C.28π cm2 D.14π cm2
3.已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为 ( )
A. B.
C. D.
4.如图,圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°.
(1)求圆台母线AB的长度;
(2)求圆台的表面积.
逐点清(三) 组合体的表面积
[典例] (1)某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.
正四棱锥P-EFGH的高为,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为 ( )
A.20 B.4+12
C.16 D.4+8
(2)陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知,底面圆的直径AB=12 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是 ( )
A.(144+12)π B.(144+24)π
C.(108+12)π D.(108+24)π
听课记录:
|思|维|建|模|
求解组合体表面积的解题思路
求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的,将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后,先求这些几何体的表面积,再通过求和或作差,得到所求组合体的表面积.若遇到与旋转体有关的问题,应先根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长,再代入公式求解.
[针对训练]
1.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45°之后,表面积增加了 ( )
A.54 B.54-36
C.108-72 D.81-72
2.仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇,弧腹,圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉,釉面棕眼密集,美不胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体,其口径为15.5 cm,足径为9.2 cm,顶部到底部的高为4.1 cm,底部圆柱高为0.7 cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为(参考数据:π的值取3,≈4.6) ( )
A.143.1 cm2 B.151.53 cm2
C.155.42 cm2 D.170.43 cm2
13.3.1 空间图形的表面积
[多维理解] 1.一条侧棱 母线 2.(1)垂直 (2)直棱柱 (3)ch 3.(1)底面中心
(2)ch' 4.(1)平行于底面的平面
(3)(c+c')h'
[微点练明]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.选A 如图所示,在正四棱锥P ABCD中,连接AC,BD交于O点,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P ABCD的高,PE为斜高,则OE=PE,因为OE=AB=2,所以PE=4,则S侧=4××4×4=32.
3.选A 如图,由题意可得,上底面的面积为9,下底面的面积为81,侧面的高为=3,所以该正四棱台的表面积为9+81+4×=90+72.
4.解析:设直棱柱的底面边长为x,侧棱长为h,
则有AC=,BD=.∵底面ABCD为菱形,
∴AC与BD互相垂直平分.∴x2=+=,∴x=.∴S侧=4xh=4××h=20.
答案:20
[多维理解] 2πrl πrl π(r1+r2)l
[微点练明]
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.选A 圆柱的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则圆柱的侧面积为S侧=2π×2×5=20π(cm2).
3.选A 设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A.
4.解:(1)设圆台的上底面周长为c cm,由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).
同理可得SB=40(cm),AB=SB-SA=20(cm).
(2)S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
[典例] 解析:(1)由题意,得正四棱锥P-EFGH的斜高为=2,该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4××2×2=20.
(2)由题意可得圆锥体的母线长为l==2,所以圆锥体的侧面积为·12π·2=12π,
圆柱体的侧面积为12π×6=72π,
圆柱的底面面积为π×62=36π.
所以此陀螺的表面积为12π+72π+36π=(108+12)π(cm2).故选C.
答案:(1)A (2)C
[针对训练]
1.选C 如图,转动了45°后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,
设直角边为x,则斜边为x,则有2x+x=3,解得x=3-.
由几何关系得阴影部分的面积为S1==-,
所以增加的面积为S=16S1=16=108-72.故选C.
2.选D 设该圆台的母线长为l,高为h,两底面圆的半径分别为R,r(其中R>r),则2R=15.5 cm,2r=9.2 cm,
h=4.1-0.7=3.4(cm),所以l===≈4.6(cm),故圆台部分的侧面积为S=π(R+r)l≈3×(7.75+4.6)×4.6=170.43(cm2).故选D.(共59张PPT)
13.3.1
空间图形的表面积
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.了解柱、锥、台的表面积及侧面积公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 直棱柱、正棱锥和
正棱台的侧面积
逐点清(二) 圆柱、圆锥和圆台
的侧面积
逐点清(三) 组合体的表面积
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 直棱柱、正棱锥和
正棱台的侧面积
01
多维理解
1.侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的__________或______剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.
2.直棱柱及其侧面积
(1)侧棱和底面______的棱柱叫作直棱柱.
(2)底面为正多边形的________叫作正棱柱.直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高(两底面所在平面之间的距离).
(3)直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱柱的高h.因此,直棱柱的侧面积是S直棱柱侧=____.
一条侧棱
母线
垂直
直棱柱
ch
3.正棱锥及其侧面积
(1)如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是_________,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等,
侧面均为全等的等腰三角形.
(2)正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形,展开图的面积就是正棱锥的侧面积.
如果正棱锥的底面周长为c,斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)
为h',则它的侧面积是S正棱锥侧=_______.
底面中心
ch'
4.正棱台及其侧面积
(1)正棱锥被_________________所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.
(2)正棱台的侧棱长都相等,侧面均为全等的等腰梯形.
(3)若设正棱台的上、下底面的周长分别为c',c,斜高为h',则其侧面积是
S正棱台侧=__________.
平行于底面的平面
(c+c')h'
|微|点|助|解|
(1)对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加.
(2)对于正棱锥和正棱台,其侧面积可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.
(3)棱锥、棱台的“斜高”与“高”:斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,正棱锥、正棱台的高是几何体的高.
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)斜三棱柱的侧面积也可用cl求解,其中c为底面周长,l为侧棱长. ( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. ( )
(3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图不一定相同,但展开图的面积相等. ( )
(4)将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得几何体的侧面积为4π.
( )
×
×
√
×
2.正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,则该四棱锥的侧面积为 ( )
A.32 B.48 C.64 D.
√
解析:如图所示,在正四棱锥P ABCD中,连接AC,BD交于O点,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P ABCD的高,PE为斜高,则OE=PE,因为OE=AB=2,所以PE=4,则S侧=4××4×4=32.
3.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为 ( )
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
解析:如图,由题意可得,上底面的面积为9,下底面的面积为81,侧面的高为=3,所以该正四棱台的表面积为9+81+4×=90+72.
√
4.如图,底面为菱形的直棱柱ABCD A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为 .
解析:设直棱柱的底面边长为x,侧棱长为h,
则有AC=,BD=.∵底面ABCD为菱形,
∴AC与BD互相垂直平分.∴x2=+=,
∴x=.∴S侧=4xh=4××h=20.
20
逐点清(二) 圆柱、圆锥和圆台
的侧面积
02
多维理解
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积
几何体 侧面展开图形状 展开图度量与几何体 度量的关系 侧面积公式
圆柱 矩形的一边长为母线长, 另一边长为圆柱底面周长 S圆柱侧=_____,
r:底面半径,
l:母线长
圆锥 扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长 S圆锥侧=_____,
r:底面半径,
l:母线长
2πrl
πrl
圆台 扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长 S圆台侧=__________,
r1,r2分别为圆台上、下底面半径,
l为母线长
π(r1+r2)l
续表
|微|点|助|解|
(1)表面积:一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台侧面积公式间的关系:
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和. ( )
(2)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长. ( )
(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定. ( )
√
√
√
2.圆柱的母线长为5 cm,底面半径为2 cm,则圆柱的侧面积为 ( )
A.20π cm2 B.10π cm2
C.28π cm2 D.14π cm2
解析:圆柱的母线长为5 cm,底面半径为 2 cm,则圆柱的侧面积为S侧=2π×2×5=20π(cm2).
√
3.已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为 ( )
A. B. C. D.
解析:设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=
.故选A.
√
4.如图,圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°.
(1)求圆台母线AB的长度;
解:设圆台的上底面周长为c cm,由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),AB=SB-SA=20(cm).
(2)求圆台的表面积.
解:S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
逐点清(三) 组合体的表面积
03
[典例] (1)某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为( )
A.20 B.4+12 C.16 D.4+8
√
解析:由题意,得正四棱锥P-EFGH的斜高为=2,该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4××2×2=20.
(2)陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西
夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知,底面圆的直径AB=12 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是 ( )
A.(144+12)π B.(144+24)π
C.(108+12)π D.(108+24)π
√
解析:由题意可得圆锥体的母线长为l==2,所以圆锥体的侧面积为·12π·2=12π,
圆柱体的侧面积为12π×6=72π,
圆柱的底面面积为π×62=36π.
所以此陀螺的表面积为12π+72π+36π=(108+12)π(cm2).故选C.
|思|维|建|模|
求解组合体表面积的解题思路
求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的,将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后,先求这些几何体的表面积,再通过求和或作差,得到所求组合体的表面积.若遇到与旋转体有关的问题,应先根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长,再代入公式求解.
针对训练
1.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45°之后,表面积增加了 ( )
A.54 B.54-36
C.108-72 D.81-72
√
解析:如图,转动了45°后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边为x,则斜边为x,
则有2x+x=3,解得x=3-.由几何关系得
阴影部分的面积为S1==-,
所以增加的面积为S=16S1=16=108-72.故选C.
2.仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的
一件明代宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇,
弧腹,圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉,釉面棕眼密集,美不胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体,其口径为15.5 cm,足径为9.2 cm,顶部到底部的高为4.1 cm,底部圆柱高为0.7 cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为(参考数据:π的值取3,≈4.6)( )
A.143.1 cm2 B.151.53 cm2
C.155.42 cm2 D.170.43 cm2
√
解析:设该圆台的母线长为l,高为h,两底面圆的半径
分别为R,r(其中R>r),则2R=15.5 cm,2r=9.2 cm,h=
4.1-0.7=3.4(cm),所以l==
=≈4.6(cm),故圆台部分的侧面积为S=π(R+r)l≈3×(7.75+4.6)×4.6=170.43(cm2).故选D.
课时跟踪检测
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1.圆锥的表面积为12π,母线长为4,则该圆锥的底面半径为 ( )
A.2 B.3
C.1 D.
解析:设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的表面积为12π,母线长为4,
所以S表=πr2+πrl=12π,即 r2+4r-12=0,解得r=2或 r=-6(舍去).
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2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小的底面半径为 ( )
A.7 B.6
C.5 D.3
解析:设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
√
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3.位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨),使用现代科技雾化“造云”,打造温室客厅,如图,这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式,表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆,其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2 m,高为9 m,则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为(参考数据:≈13.16)( )
A.2 B.1.71 C.1.37 D.1
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解析:如图,设H为底面正方形ABCD的中心,
G为BC的中点,连接PH,HG,PG,则PH⊥HG,
PG⊥BC,所以PG===
≈13.16,则==≈≈1.37.故选C.
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4.已知长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的表面积S=S侧+2S底=2(a+b)·c+2ab=11,即ab+bc+ca= ①.
又十二条棱长度之和为4(a+b+c)=24,即a+b+c=6 ②,
由②2-2×①,得a2+b2+c2=36-11=25.所以长方体的一条体对角线长为=5.
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5.如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,
则该圆锥的表面积为 ( )
A.36π B.27π C.18π D.9π
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解析:设圆锥的母线长为l,以S为圆心,母线l为半径的圆的面积为S圆=πl2,
又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=3πl,
因为圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了3周,所以πl2=3×3πl,解得l=9.
所以圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=3×π×9+π×32=36π.故选A.
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6.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B.2 C. D.
解析:所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的正四棱锥的侧面积之和,如图,正四棱锥
的侧棱长l==1,故以该正方体各个
面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××
1×1×sin 60°=2.故选B.
√
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7.如图,已知正方体的棱长为a,沿图1中对角面将它分割成两个部分,拼成如图2的四棱柱,则该四棱柱的表面积为 ( )
A.(8+2)a2 B.(2+4)a2
C.(4+2)a2 D.(6-4)a2
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解析:由题意,拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面,减少了原来两个正方形面.由于截面为矩形,长为a,宽为a,所以矩形的面积为a2.所以拼成的几何体的表面积为4a2+2a2=(4+2)a2.
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8.在正三棱柱ABC A1B1C1中,E,F分别是棱BC,A1C1的中点,若异面直线AA1与EF的夹角是45°,则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 ( )
A. B. C. D.
解析:如图,取AC中点D,连接FD,DE,
又在正三棱柱ABC A1B1C1中,E,
F分别是棱BC,A1C1的中点,
则DF∥AA1,且DF⊥平面ABC.
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又直线AA1与EF的夹角是45°,
则直线DF与EF的夹角是45°,
故Rt△DEF为等腰直角三角形.
不妨设DE=DF=x,则AB=2x,
则S侧=(AB+BC+AC)×AA1=6x·x=6x2,
S底=2××2x×2x×=2x2,
故====.故选D.
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9.柷(zhù),是一种古代打击乐器,迄今已有四千多年的历史,柷的上方形状犹如四方形木斗,上宽下窄,下方有一底座,用椎(木棒)撞击其内壁发声,表示乐曲将开始.如图,某柷(含底座)高60 cm,上口正方形边长70 cm,下口正方形边长54 cm,底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm,高为16 cm的正四棱柱,则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236)( )
A.12 960 cm2 B.14 803 cm2
C.16 800 cm2 D.18 240 cm2
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解析:如图,在正四棱台中,连接AC,A1C1,
过点A,C分别作AE⊥A1C1,CF⊥A1C1,
交A1C1于点E,F,
依题意AB=54 cm,A1B1=70 cm,AE=CF=60-16=44 cm,
则A1E==8 cm,
所以AA1== cm.
所以正四棱台的斜高为=20 cm.
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所以正四棱台的侧面积S1=4××20=4 960≈11 090.56 cm2.
又正四棱柱的侧面积S2=4×(54+4)×16=3 712 cm2,
所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56+3 712=14 802.56≈14 803 cm2.
故选B.
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10.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若θ=30°,侧棱长为,则( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
√
√
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解析:如图,在正四棱锥S ABCD中,
O为正方形ABCD的中心,SH⊥AB,
设底面边长为2a(a>0),因为∠SHO=30°,所以OH=a,OS=a,
SH=a.在Rt△SAH中,a2+=21,所以a=3,底面边长为6,侧面积为S=×6×2×4=24.故选AC.
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11.小张周末准备去探望奶奶,到商店买了一盒点心,为了美观起见,售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图1所示),并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1,一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1,则的值为 .
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解析:∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1,∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a.由题意可得l1=4×a+4×2a=12a,l2=4×
4a+4×2a=24a,∴==.
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12.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁玩具种类比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为 .
8(6+6+)
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解析:由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×+8××2×=
8(6+6+).
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13.如图,将一个圆柱2n(n∈N+)等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,n越大,重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积为 .
解析:显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积,设圆柱的底面半径为r,高为h,则2rh=10,所以圆柱的侧面积为2πrh=10π.
10π
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14.(10分)某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是
全等的矩形的四棱柱ABCD A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=
10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,求所需加工处理费.
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解:因为四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以该零部件上部的表面积S1=+4=A2+
4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
又四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
设等腰梯形ABB1A1的高为h,
所以该零部件下部的表面积S2=+4=A1+4××
(AB+A1B1)×h=202+4××(10+20)×=1 120(cm2).
于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2),又0.2S=0.2×
2 420=484(元),故所需加工处理费为484元.
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15.(15分)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有
一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,现有一个羡除如图所示,已知上底面ABCD是高为2的等腰梯形,右侧面BCEF是高为1的等腰梯形,下底面是梯形,前、后侧面均为三角形.AD=8,BC=10,EF=6,
AD∥BC∥EF,且平面ABCD⊥平面BCEF,求该“羡除”的表面积.
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解:S梯形ABCD=×(8+10)×2=18,
S梯形BCEF=×(10+6)×1=8.
在等腰梯形ABCD中,∵AD=8,BC=10,
梯形的高为2,∴AB= =.
同理可得,BF= =.
过F作FM⊥BC于M,过M作MN⊥AD于N,连接FN(图略),则有FM=1,
MN=2,BM=2,AN=1.
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∵BC⊥FM,BC⊥MN,FM∩MN=M,
∴BC⊥平面FMN.∴BC⊥FN.
又BC∥AD,∴AD⊥FN.∵平面ABCD⊥平面BCEF,∴∠NMF=90°.
∴FN=,AF=.
∴S梯形ADEF=×(8+6)×=7.
在等腰△ABF中,点B到AF的距离为 =,∴S△ABF=
××=.
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由对称性可知S△DCE=S△ABF=.
∴该“羡除”的表面积为18+8+7++=26+7+.课时跟踪检测(四十二) 空间图形的表面积
(满分90分,选填小题每题5分)
1.圆锥的表面积为12π,母线长为4,则该圆锥的底面半径为 ( )
A.2 B.3
C.1 D.
2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小的底面半径为 ( )
A.7 B.6
C.5 D.3
3.位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨),使用现代科技雾化“造云”,打造温室客厅,如图,这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式,表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆,其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2 m,高为9 m,则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为(参考数据:≈13.16) ( )
A.2 B.1.71
C.1.37 D.1
4.已知长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则该圆锥的表面积为 ( )
A.36π B.27π
C.18π D.9π
6.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为 ( )
A. B.2
C. D.
7.如图,已知正方体的棱长为a,沿图1中对角面将它分割成两个部分,拼成如图2的四棱柱,则该四棱柱的表面积为 ( )
A.(8+2)a2 B.(2+4)a2
C.(4+2)a2 D.(6-4)a2
8.在正三棱柱ABC A1B1C1中,E,F分别是棱BC,A1C1的中点,若异面直线AA1与EF的夹角是45°,则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 ( )
A. B. C. D.
9.柷(zhù),是一种古代打击乐器,迄今已有四千多年的历史,柷的上方形状犹如四方形木斗,上宽下窄,下方有一底座,用椎(木棒)撞击其内壁发声,表示乐曲将开始.如图,某柷(含底座)高60 cm,上口正方形边长 70 cm,下口正方形边长54 cm,底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm,高为16 cm的正四棱柱,则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236) ( )
A.12 960 cm2 B.14 803 cm2
C.16 800 cm2 D.18 240 cm2
10.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,若θ=30°,侧棱长为,则 ( )
A.正四棱锥的底面边长为6
B.正四棱锥的底面边长为3
C.正四棱锥的侧面积为24
D.正四棱锥的侧面积为12
11.小张周末准备去探望奶奶,到商店买了一盒点心,为了美观起见,售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图1所示),并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1,一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1,则的值为 .
12.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁玩具种类比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为 .
13.如图,将一个圆柱2n(n∈N+)等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,n越大,重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积为 .
14.(10分)某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的
四棱台ABCD A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,
每平方厘米的加工处理费为0.2元,求所需加工处理费.
15.(15分)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,现有一个羡除如图所示,已知上底面ABCD是高为2的等腰梯形,右侧面BCEF是高为1的等腰梯形,下底面是梯形,前、后侧面均为三角形.AD=8,BC=10,EF=6,AD∥BC∥EF,且平面ABCD⊥平面BCEF,求该“羡除”的表面积.
课时跟踪检测(四十二)
1．选A 设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以S表＝πr2＋πrl＝12π，即 r2＋4r－12＝0，解得r＝2或 r＝－6(舍去)．
2．选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
3．选C 如图,设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG，
则PH⊥HG，PG⊥BC，
所以PG＝＝＝≈13.16，则＝＝≈≈1.37.故选C.
4．选D 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积S＝S侧＋2S底＝2(a＋b)·c＋2ab＝11，即ab＋bc＋ca＝ ①.
又十二条棱长度之和为4(a＋b＋c)＝24，即a＋b＋c＝6 ②，
由②2－2×①，得a2＋b2＋c2＝36－11＝25.所以长方体的一条体对角线长为＝5.
5．选A 设圆锥的母线长为l，以S为圆心，母线l为半径的圆的面积为S圆＝πl2，又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2＝3×3πl，解得l＝9.所以圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝3×π×9＋π×32＝36π.故选A.
6.选B 所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的正四棱锥的侧面积之和，如图，正四棱锥的侧棱长l＝＝1，故以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××1×1×sin 60°＝2.故选B.
7．选C 由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面．由于截面为矩形，长为a，宽为a，所以矩形的面积为a2.所以拼成的几何体的表面积为4a2＋2a2＝(4＋2)a2.
8.选D 如图，取AC中点D，连接FD，DE，又在正三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是棱BC，A1C1的中点，则DF∥AA1，且DF⊥平面ABC.又直线AA1与EF的夹角是45°，则直线DF与EF的夹角是45°，故Rt△DEF为等腰直角三角形．不妨设DE＝DF＝x，则AB＝2x，则S侧＝(AB＋BC＋AC)×AA1＝6x·x＝6x2，S底＝2××2x×2x×＝2x2，故＝＝＝＝.故选D.
9．选B 如图，在正四棱台中，连接AC，A1C1，过点A，C分别作AE⊥A1C1，CF⊥A1C1，交A1C1于点E，F，依题意AB＝54 cm，A1B1＝70 cm，AE＝CF＝60－16＝44 cm，则A1E＝＝8 cm，所以AA1＝＝ cm.所以正四棱台的斜高为 ＝20 cm.所以正四棱台的侧面积S1＝4××20＝4 960≈11 090.56 cm2.又正四棱柱的侧面积S2＝4×(54＋4)×16＝3 712 cm2，所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56＋3 712＝14 802.56≈14 803 cm2.故选B.
10．选AC 如图，在正四棱锥S ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋2＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝×6×2×4＝24.故选AC.
11．解析：∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1，∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a.由题意可得l1＝4×a＋4×2a＝12a，l2＝4×4a＋4×2a＝24a，∴＝＝.
答案：
12．解析：由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2＋2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为S＝6×＋8××2×＝8(6＋6＋)．
答案：8(6＋6＋)
13．解析：显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积，
设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝10，
所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π.
答案：10π
14．解：因为四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
所以该零部件上部的表面积S1＝S正方形A2B2C2D2＋4S矩形ABB2A2＝A2B＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．
又四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
设等腰梯形ABB1A1的高为h，
所以该零部件下部的表面积S2＝S正方形A1B1C1D1＋4SABB1A1＝A1B＋4××(AB＋A1B1)×h＝202＋4××(10＋20)×＝1 120(cm2)．
于是该实心零部件的表面积S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，又0.2S＝0.2×2 420＝484(元)，故所需加工处理费为484元．
15．解：S梯形ABCD＝×(8＋10)×2＝18，
S梯形BCEF＝×(10＋6)×1＝8.
在等腰梯形ABCD中，∵AD＝8，BC＝10，
梯形的高为2，∴AB＝ ＝.同理可得，BF＝ ＝.
过F作FM⊥BC于M，过M作MN⊥AD于N，连接FN(图略)，则有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1.
∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，
∴BC⊥平面FMN.∴BC⊥FN.
又BC∥AD，∴AD⊥FN.∵平面ABCD⊥平面BCEF，∴∠NMF＝90°.∴FN＝，AF＝.
∴S梯形ADEF＝×(8＋6)×＝7.
在等腰△ABF中，点B到AF的距离为 ＝，∴S△ABF＝××＝.由对称性可知S△DCE＝S△ABF＝.∴该“羡除”的表面积为18＋8＋7＋＋＝26＋7＋.
