14.4.4 百分位数 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.
2.在学习和应用百分位数的过程中,要把实际问题转化为数学问题,并进行计算.
1.k百分位数的定义
一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于pk,且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk.
2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤
第1步,将所有数值按 的顺序排列;
第2步,计算n·;
第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间,通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数;
第4步,如果n·不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1), 在该位置上的数值即为k百分位数.
3.四分位数
我们把中位数、 和75百分位数称为四分位数.
|微|点|助|解|
(1)四分位数把所有数值由小到大排列并分成四等份,处于三个分割点位置的数值就是四分位数.其中25百分位数也称为一四分位数或下四分位数等,75百分位数也称为三四分位数或上四分位数等.
(2)百分位数的特点
①一组数据的p百分位数可能在这组数据中,也可能不在.
②一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等,则其75%分位数大于25%分位数. ( )
(2)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23. ( )
(3)若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24. ( )
2.下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是 ( )
A.50百分位数就是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是连续型的数据
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的70百分位数是 ( )
A.14 B.17
C.19 D.23
题型(一) 对百分位数含义的理解
[例1] (多选)下列表述不正确的是 ( )
A.p百分位数可以有单位
B.一个总体的四分位数有4个
C.样本容量越大,p百分位数估计总体就越准确
D.对于考试成绩的统计,若小明的成绩处在95百分位数上,则小明得了95分
听课记录:
|思|维|建|模|
分位数是用于衡量数据的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.
[针对训练]
1.已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是 ( )
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
题型(二) 百分位数的计算
[例2] (1)为了解毕业生工作情况,某高校对12名应届毕业生起始月薪作了统计如下:
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 3 4 5 6 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710 7 8 9 10 11 12 2 890 3 130 2 940 3 325 2 920 2 880
则85百分位数是 .
(2)考察某校高二年级男生的身高,随机抽取40名高二男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
请估计该校高二年级男生身高的25,50,75百分位数.
听课记录:
|思|维|建|模|
计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤
(1)排列:按照从小到大排列原始数据;
(2)计算i:计算i=n×p%;
(3)定数:若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p百分位数为第j项数据;若i是整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
[针对训练]
2.从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的25,75,95百分位数;
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;
(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
题型(三) 百分位数的综合应用
[例3] 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100]五组,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计该校学生数学成绩的75百分位数.
听课记录:
|思|维|建|模|
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积,就是数据落在该组的频率.
(2)一般采用方程的思想,设出p百分位数,根据其意义列出方程并求解即可.
[针对训练]
3.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下这60株树木的底部周长的50百分位数和75百分位数吗
14.4.4 百分位数
课前预知教材
1.k% 2.从小到大 3.25百分位数
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)√ 2.A
3.选D 因为8×70%=5.6,所以70百分位数是第六项数据23.
课堂题点研究
[例1] 选BD 易知A、C正确,B错误,95百分位数是指把数据从小到大排序,至少有95%的数据小于或等于这个值,至少有5%的数据大于或等于这个值,D错误.
[针对训练]
1.选C 因为100×75%=75为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数,是9.3,故C正确.
[例2] 解析:(1)首先对数据排序:2 710,2 755,2 850,2 880,2 880,2 890,2 920,2 940,2 950,3 050,3 130,3 325,
所以i=12×85%=10.2.即85百分位数是3 130.
答案:3 130
(2)把这40名男生的身高数据按从小到大排序,可得151 156 157 157 158 159 160 160 161 161 162 163 163 163 163 164 164 165 165 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 169 169 169 170 171 171 174 174 176 180
由25%×40=10,50%×40=20,75%×40=30,可知样本数据的25百分位数为161.5,50百分位数为166,75百分位数为168.5.
据此可估计该校高二年级男生身高的25,50,75百分位数分别约为161.5,166和168.5.
[针对训练]
2.解:(1)将所有数据从小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
则25百分位数是=8.15,
75百分位数是=8.75,
95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g,50百分位数为8.5 g,95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品.
[例3] 解:(1)由频率分布直方图得,a+0.02+0.025+0.035+a=0.1,解得a=0.01.
(2)成绩在80分以下的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.75,
成绩在90分以下的频率为(0.01+0.02+0.035+0.025)×10=0.9>0.75,
所以75百分位数落在[80,90)内.
所以75百分位数为80+
×10=84(分).
[针对训练]
3.解:由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.015×10=9,
在[90,100)上为60×0.025×10=15,
在[100,110)上为60×0.030×10=18,
在[110,120)上为60×0.020×10=12,
在[120,130]上为60×0.010×10=6.
从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100,110)上,
有100+10×≈103.3;
75百分位数一定落在区间[110,120)上,
有110+10×=112.5.
综上可知,50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.(共54张PPT)
14.4.4
百分位数
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.
2.在学习和应用百分位数的过程中,要把实际问题转化为数学问题,并进行计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.k百分位数的定义
一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于pk,且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk.
2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤
第1步,将所有数值按__________的顺序排列;
第2步,计算n·;
第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间,
通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数;
第4步,如果n·不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1),
在该位置上的数值即为k百分位数.
k%
从小到大
3.四分位数
我们把中位数、____________和75百分位数称为四分位数.
25百分位数
|微|点|助|解|
(1)四分位数把所有数值由小到大排列并分成四等份,处于三个分割点位置的数值就是四分位数.其中25百分位数也称为一四分位数或下四分位数等,75百分位数也称为三四分位数或上四分位数等.
(2)百分位数的特点
①一组数据的p百分位数可能在这组数据中,也可能不在.
②一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等,则其75%分位数大于25%分位数. ( )
(2)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23. ( )
(3)若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24. ( )
√
×
√
2.下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是 ( )
A.50百分位数就是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是连续型的数据
√
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的70百分位数是 ( )
A.14 B.17
C.19 D.23
解析:因为8×70%=5.6,所以70百分位数是第六项数据23.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对百分位数含义的理解
[例1] (多选)下列表述不正确的是 ( )
A.p百分位数可以有单位
B.一个总体的四分位数有4个
C.样本容量越大,p百分位数估计总体就越准确
D.对于考试成绩的统计,若小明的成绩处在95百分位数上,则小明得了95分
√
√
解析:易知A、C正确,B错误,95百分位数是指把数据从小到大排序,至少有95%的数据小于或等于这个值,至少有5%的数据大于或等于这个值,D错误.
|思|维|建|模|
分位数是用于衡量数据的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.
针对训练
1.已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是 ( )
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
解析:因为100×75%=75为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数,是9.3,故C正确.
√
题型(二) 百分位数的计算
[例2] (1)为了解毕业生工作情况,某高校对12名应届毕业生起始月薪作了统计如下:
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 3 4 5 6 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710 7 8 9 10 11 12 2 890
3 130
2 940
3 325
2 920
2 880
则85百分位数是 .
3 130
解析:首先对数据排序:2 710,2 755,2 850,2 880,2 880,2 890,2 920,2 940,2 950,3 050,3 130,3 325,
所以i=12×85%=10.2.
即85百分位数是3 130.
(2)考察某校高二年级男生的身高,随机抽取40名高二男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
请估计该校高二年级男生身高的25,50,75百分位数.
解析:把这40名男生的身高数据按从小到大排序,可得151 156 157 157 158 159 160 160 161 161 162 163 163 163 163 164 164 165 165 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 169 169 169 170 171 171 174 174 176 180
由25%×40=10,50%×40=20,75%×40=30,可知样本数据的25百分位数为161.5,50百分位数为166,75百分位数为168.5.
据此可估计该校高二年级男生身高的25,50,75百分位数分别约为161.5,166和168.5.
|思|维|建|模|
计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤
(1)排列:按照从小到大排列原始数据;
(2)计算i:计算i=n×p%;
(3)定数:若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p百分位数为第j项数据;若i是整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
针对训练
2.从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的25,75,95百分位数;
解:将所有数据从小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
则25百分位数是=8.15,
75百分位数是=8.75,
95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;
解:因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
解:由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g,50百分位数为8.5 g,95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品.
题型(三) 百分位数的综合应用
[例3] 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计,分成[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
解:由频率分布直方图得,a+0.02+0.025+0.035+a=0.1,解得a=0.01.
(2)估计该校学生数学成绩的75百分位数.
解:成绩在80分以下的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.75,
成绩在90分以下的频率为(0.01+0.02+0.035+0.025)×10=0.9>0.75,
所以75百分位数落在[80,90)内.
所以75百分位数为80+×10=84(分).
|思|维|建|模|
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积,就是数据落在该组的频率.
(2)一般采用方程的思想,设出p百分位数,根据其意义列出方程并求解即可.
针对训练
3.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,
你能估计一下这60株树木的底部周长的50百分位数和75百分位数吗
解:由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.015×10=9,
在[90,100)上为60×0.025×10=15,
在[100,110)上为60×0.030×10=18,
在[110,120)上为60×0.020×10=12,
在[120,130]上为60×0.010×10=6.
从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100,110)上,
有100+10×≈103.3;
75百分位数一定落在区间[110,120)上,
有110+10×=112.5.
综上可知,50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
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13
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15
2
A级——达标评价
1.下列一组数据的25百分位数是( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2 B.3.0
C.4.4 D.2.5
解析:把这组数据按照由小到大排列,可得2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,
4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10×25%=2.5,不是整数,则第3个数据3.2是25百分位数.
√
1
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6
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2
3
4
2.某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为 ( )
A.220 B.240
C.250 D.300
解析:由1 200×80%=960人,
所以小于103分的学生最多有960人,
所以大于或等于103分的学生有1 200-960=240人.
√
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3
4
2
3.2022年某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如图,试估计成绩高于11级分的人数为 ( )
A.8 000 B.10 000
C.20 000 D.60 000
√
1
5
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15
3
4
2
解析:从题图中可以看出,12级分的有2.5%左右,13级分的有3%左右,
14级分的有1%左右,15级分的有1.5%左右,∴高于11级分的有8%左右,其人数约为12万的8%,即120 000×0.08=9 600人.选项B最接近.
1
5
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15
3
4
2
4.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,
88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的80百分位数是( )
A.90 B.90.5
C.91 D.91.5
解析:把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,
86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15人成绩的80百分位数是=90.5.
√
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2
5.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且这组数据的一个四分位数是15,则它是 ( )
A.15%分位数 B.25%分位数
C.50%分位数 D.75%分位数
解析:将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,
一共11项.由11×25%=2.75,故25%分位数是15.
√
1
5
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2
6.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):
甲组:27,28,39,40,m,50;
乙组:24,n,34,43,48,52.
若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等,则等于 .
解析:因为30%×6=1.8,80%×6=4.8,所以30百分位数为n=28,80百分位数为m=48,所以==.
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7.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的________百分位数.
解析:因为分数位于[20,40),[40,60)的频率之和为(0.005+0.01)×20=0.3,所以60分为成绩的30百分位数.
30
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8.如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的10百分位数为 ,日最低气温的80百分位数为 .
24 ℃
16 ℃
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解析:由题图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24,24.5,24.5,25,
26,26,27,因为共有7个数据,所以7×10%=0.7.不是整数,所以这7天日最高气温的10百分位数是第1个数据,为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序,得12,12,13,14,15,16,17,因为共有7个数据,所以7×80%=5.6.不是整数,所以这7天日最低气温的80百分位数是第6个数据,为16 ℃.
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9.(13分)某省教育厅为了了解2024年高考考生的实际答卷情况,随机抽取了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
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[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)估计样本中考生数学成绩的60百分位数和80百分位数;
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解:从频率分布表,得前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92,
所以样本中的考生数学成绩的60百分位数为110分.
样本数据的80百分位数一定在[115,120)内,
因为115+5×≈119,
所以估计样本中的考生数学成绩的80百分位数为119分.
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2
(2)估计2024年高考考生的数学成绩的90百分位数.(结果保留整数)
解:由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,
所以90百分位数一定在[120,125)内.
因为120+5×≈124,
所以估计2024年高考考生的数学成绩的90百分位数为124分.
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10.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示,
6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽取100名学生,测量他们的体重(单位:千克),根据测量数据,按[40,45),
[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成
六组,得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据,估计该地中学生体重的75百分位数是( )
A.55 B.57.25 C.58.75 D.60
B级——重点培优
√
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2
解析:因为(0.01+0.03+0.08)×5=0.6<0.75,0.6+0.04×5=0.8>0.75,所以该地中学生体重的75百分位数在[55,60)内.设75百分位数为m,则(m-55)×0.04+0.6=0.75,解得m=58.75.
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2
11.(多选)在秋季运动会的跳远比赛中,张明是选手中跳得最远的,
李华是选手中跳得最近的,总共有20名选手,则下列描述正确的有 ( )
A.张明跳远成绩的百分位数约为100
B.张明跳远成绩的百分位数约为20
C.李华跳远成绩的百分位数约为0
D.李华跳远成绩的百分位数约为6
√
√
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解析:由百分位数的定义知,一组数据从小到大排序,p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个数,至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.跳远成绩从小到大排序,因为张明是选手中跳得最远的,即至少有100%的数据小于或等于张明的成绩,至少有0%的数据大于或等于这个值,所以张明跳远成绩的百分位数约为100,故A正确,B不正确;
跳远成绩从小到大排序,因为李华是选手中跳得最近的,即有至少0%的数据小于或等于李华的成绩,至少有100%的数据大于或等于这个值,所以李华跳远成绩的百分位数约为0,故C正确,D不正确.故选AC.
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12.(多选)为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位:分钟),分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的80百分位数与60百分位数的差为3,则x的值可能为 ( )
A.58 B.59
C.62 D.64
√
√
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2
解析:将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79,若x≤57,则这组数据的80百分位数与60百分位数分别为61和57,它们的差为4,不符合条件.若x≥79,则这组数据的80百分位数与60百分位数分别为79和61,它们的差为18,不符合条件,若571
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13.(多选)某机构随机调查了18位观众对2024年春晚节目的满意度评分情况,得到如下数据:a,60,70,70,72,73,74,74,75,76,77,79,80,83,
85,87,93,100.若a恰好是这组数据的75百分位数,则a的值可能为 ( )
A.83 B.84 C.85 D.87
解析:由于18×75%=13.5,将这些数据按照从小到大排列后,第14个数为75百分位数,所以a应该是18个数据从小到大排列后的第14个数,显然a不是最小的数.而除去a后,从小到大排列得到的第13个数为83,第14个数为85,所以83≤a≤85.
√
√
√
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14.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为 秒.
16.5
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解析:设成绩的70%分位数为x,因为=0.55,=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5.
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2
15.(17分)某种产品的质量以其质量指标值m衡量,并按照质量指标值m划分等级如表:
质量指标值m m<85 85≤m<105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本,检验其质量指标值m,得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值,不含最大值).
1
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2
(1)求75百分位数(精确到0.1);
解:由题意可得,(0.002 5×2+0.009 0+0.010 0+0.020 0+0.026 0+x)×10=1,
解得x=0.030,
所以[65,105)的频率为0.625,[105,115)的频率为0.26.
则75百分位数在[105,115)内,
所以75百分位数为105+10×≈109.8.
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2
(2)在样本中,按照产品等级用比例分配的分层抽样的方法抽取8件产品,则这8件产品中,一等品的件数是多少.
解:由频率分布直方图以及等级划分规则可知,样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为
(0.002 5+0.010 0)×10=0.125,
(0.020 0+0.030 0)×10=0.5,
(0.026 0+0.009 0+0.002 5)×10=0.375,
所以在样本中,三等品、二等品、一等品的件数分别为25,100,75.
所以按照产品等级用比例分配的分层抽样的方法抽取8件产品,
则应抽取的一等品的件数为3件.课时跟踪检测(五十四) 百分位数
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.下列一组数据的25百分位数是 ( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2 B.3.0
C.4.4 D.2.5
2.某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为 ( )
A.220 B.240
C.250 D.300
3.2022年某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如图,试估计成绩高于11级分的人数为 ( )
A.8 000 B.10 000
C.20 000 D.60 000
4.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,
90,91,则这15人成绩的80百分位数是 ( )
A.90 B.90.5
C.91 D.91.5
5.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且这组数据的一个四分位数是15,则它是 ( )
A.15%分位数 B.25%分位数
C.50%分位数 D.75%分位数
6.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):
甲组:27,28,39,40,m,50;
乙组:24,n,34,43,48,52.
若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等,则等于 .
7.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),
[60,80),[80,100],则60分为成绩的 百分位数.
8.如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的10百分位数为 ,日最低气温的80百分位数为 .
9.(13分)某省教育厅为了了解2024年高考考生的实际答卷情况,随机抽取了100名考生的数学成绩(单位:分),
将数据分成了11组,制成了如下的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)估计样本中考生数学成绩的60百分位数和80百分位数;
(2)估计2024年高考考生的数学成绩的90百分位数.(结果保留整数)
B级——重点培优
10.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示,6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽取100名学生,测量他们的体重(单位:千克),根据测量数据,按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据,估计该地中学生体重的75百分位数是 ( )
A.55 B.57.25
C.58.75 D.60
11.(多选)在秋季运动会的跳远比赛中,张明是选手中跳得最远的,李华是选手中跳得最近的,总共有20名选手,则下列描述正确的有 ( )
A.张明跳远成绩的百分位数约为100
B.张明跳远成绩的百分位数约为20
C.李华跳远成绩的百分位数约为0
D.李华跳远成绩的百分位数约为6
12.(多选)为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位:分钟),分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的80百分位数与60百分位数的差为3,则x的值可能为 ( )
A.58 B.59
C.62 D.64
13.(多选)某机构随机调查了18位观众对2024年春晚节目的满意度评分情况,得到如下数据:a,60,70,70,72,
73,74,74,75,76,77,79,80,83,85,87,93,100.若a恰好是这组数据的75百分位数,则a的值可能为 ( )
A.83 B.84
C.85 D.87
14.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:[13,14),
[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为 秒.
15.(17分)某种产品的质量以其质量指标值m衡量,并按照质量指标值m划分等级如表:
质量指标值m m<85 85≤m<105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本,检验其质量指标值m,得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值,不含最大值).
(1)求75百分位数(精确到0.1);
(2)在样本中,按照产品等级用比例分配的分层抽样的方法抽取8件产品,则这8件产品中,一等品的件数是多少.
课时跟踪检测(五十四)
1．选A 把这组数据按照由小到大排列，可得2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25百分位数．
2．选B 由1 200×80%＝960人，所以小于103分的学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1 200－960＝240人．
3．选B 从题图中可以看出，12级分的有2.5%左右，13级分的有3%左右，14级分的有1%左右，15级分的有1.5%左右，∴高于11级分的有8%左右，其人数约为12万的8%，即120 000×0.08＝9 600人．选项B最接近．
4．选B 把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80百分位数是＝90.5.
5．选B 将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项．由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.
6．解析：因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以30百分位数为n＝28,80百分位数为m＝48，所以＝＝.
答案：
7．解析：因为分数位于[20,40)，[40,60)的频率之和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的30百分位数．
答案：30
8．解析：由题图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24,24.5,24.5,25,26,26,27，因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7.不是整数，所以这7天日最高气温的10百分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12,12,13,14,15,16,17，因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6.不是整数，所以这7天日最低气温的80百分位数是第6个数据，为16 ℃.
答案：24 ℃ 16 ℃
9．解：(1)从频率分布表，得前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92，所以样本中的考生数学成绩的60百分位数为110分．
样本数据的80百分位数一定在[115,120)内，因为115＋5×≈119，所以估计样本中的考生数学成绩的80百分位数为119分．
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，所以90百分位数一定在[120,125)内．因为120＋5×≈124，所以估计2024年高考考生的数学成绩的90百分位数为124分．
10．选C 因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75,0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，所以该地中学生体重的75百分位数在[55,60)内．设75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.
11．选AC 由百分位数的定义知，一组数据从小到大排序，p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个数，至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．跳远成绩从小到大排序，因为张明是选手中跳得最远的，即至少有100%的数据小于或等于张明的成绩，至少有0%的数据大于或等于这个值，所以张明跳远成绩的百分位数约为100，故A正确，B不正确；跳远成绩从小到大排序，因为李华是选手中跳得最近的，即有至少0%的数据小于或等于李华的成绩，至少有100%的数据大于或等于这个值，所以李华跳远成绩的百分位数约为0，故C正确，D不正确．故选AC.
12．选AD 将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79，若x≤57，则这组数据的80百分位数与60百分位数分别为61和57，它们的差为4，不符合条件．若x≥79，则这组数据的80百分位数与60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件，若5713．选ABC 由于18×75%＝13.5，将这些数据按照从小到大排列后，第14个数为75百分位数，所以a应该是18个数据从小到大排列后的第14个数，显然a不是最小的数．而除去a后，从小到大排列得到的第13个数为83，第14个数为85，所以83≤a≤85.
14．解析：设成绩的70%分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.
答案：16.5
15．解：(1)由题意可得，(0.002 5×2＋0.009 0＋0.010 0＋0.020 0＋0.026 0＋x)×10＝1，解得x＝0.030，所以[65,105)的频率为0.625，[105,115)的频率为0.26.则75百分位数在[105,115)内，所以75百分位数为105＋10×≈109.8.
(2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.002 5＋0.010 0)×10＝0.125，
(0.020 0＋0.030 0)×10＝0.5，
(0.026 0＋0.009 0＋0.002 5)×10＝0.375，
所以在样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25,100,75.所以按照产品等级用比例分配的分层抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数为3件．
