15.2 随机事件的概率
第1课时 古典概型 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
1.概率的性质
(1)将事件记为A,用P(A)表示事件A发生的概率,则P(A)满足 .
(2)对于必然事件Ω和不可能事件 ,显然P(Ω)= ,P( )= .
2.等可能基本事件
在一次试验中,每个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的 都相同,这时也称这些基本事件为等可能基本事件.
3.古典概型
如果一个随机试验满足:(1)样本空间Ω只含有 样本点;(2)每个基本事件的发生都是 ,那么,我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
4.古典概型的概率
在古典概型中,如果样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是 .如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含 个样本点,那么事件A发生的概率为P(A)=,即P(A)== .
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
(2)若试验不是古典概型,则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同,样本点的个数可能也不同,因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上,否则会引起混淆并导致错误.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点. ( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. ( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. ( )
(4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点,此点小于2”的概率. ( )
2.下列试验中,属于古典概型的是 ( )
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d
C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 ( )
A. B.
C. D.1
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)下列是古典概型的有 ( )
A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
听课记录:
|思|维|建|模|
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果.
②判断所有结果(样本点)是否有限.
③判断有限个结果是否等可能出现,这需要有日常生活的经验.另外,题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言.
[针对训练]
1.下列问题中是古典概型的是 ( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
题型(二) 简单的古典概型的概率计算
[例2] 袋中有6个大小质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
(2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.
听课记录:
|思|维|建|模| 求解古典概型的概率“四步”法
[针对训练]
2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率.
题型(三) 较复杂的古典概型的概率计算
[例3] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率;
(2)求掷出两个4点的概率;
(3)求点数之和能被3整除的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.
[针对训练]
4.有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上.现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
第1课时 古典概型
课前预知教材
1.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 0
2.可能性 3.(1)有限个 (2)等可能的
4. m
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.C
3.选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中的情况有2种,
故甲被选中的概率为P=.
课堂题点研究
[例1] 选ABD 古典概型的特征:①试验中所有可能发生的样本点只有有限个;②每个样本点发生的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征,所以A、B、D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.
[针对训练]
1.选D A、B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.
[例2] 解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)因为A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},
所以n(A)=6,从而P(A)===.
(2)因为B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},所以n(B)=8,从而P(B)==.
[针对训练]
2.选D 记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P==,故选D.
3.解:合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作:a,b,只要检测的2听有1听不合格的,就表示检测出了不合格产品.依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),
(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).其中含有不合格产品的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),
(b,a),共18种;
所以检测出不合格产品的概率为P==0.6.
[例3] 解:如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.
(1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个,分别为(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)==.
(2)记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),
故P(B)=.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6),故P(C)==.
[针对训练]
4.解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.
由图可知,所有的等可能样本点共有24个.
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点,所以P(N)==.
(3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点,所以P(S)==.(共51张PPT)
15.2
随机事件的概率
古典概型
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解古典概型的概念及特点.
2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.概率的性质
(1)将事件记为A,用P(A)表示事件A发生的概率,则P(A)满足___________.
(2)对于必然事件Ω和不可能事件 ,显然P(Ω)=___,P( )=___.
2.等可能基本事件
在一次试验中,每个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的_______都相同,这时也称这些基本事件为等可能基本事件.
3.古典概型
如果一个随机试验满足:(1)样本空间Ω只含有_______样本点;(2)每个基本事件的发生都是_________,那么,我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
0≤P(A)≤1
1
0
可能性
有限个
等可能的
4.古典概型的概率
在古典概型中,如果样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}(其中,n为样本点的个数),
那么每一个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是____.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含____个样本点,那么事件A发生的概率为P(A)=,即P(A)==____________________.
m
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
(2)若试验不是古典概型,则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同,样本点的个数可能也不同,因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上,否则会引起混淆并导致错误.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点. ( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. ( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. ( )
(4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点,此点小于2”的概率.
( )
×
√
√
×
2.下列试验中,属于古典概型的是 ( )
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d
C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
√
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 ( )
A. B. C. D.1
解析:从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)下列是古典概型的有 ( )
A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
√
√
√
解析:古典概型的特征:①试验中所有可能发生的样本点只有有限个;②每个样本点发生的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征,所以A、B、D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.
|思|维|建|模|
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征
——有限性和等可能性,二者缺一不可.
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果.
②判断所有结果(样本点)是否有限.
③判断有限个结果是否等可能出现,这需要有日常生活的经验.另外,题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言.
针对训练
1.下列问题中是古典概型的是 ( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
解析:A、B两项中的样本点的出现不是等可能的;
C项中样本点的个数是无限多个;
D项中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.
√
题型(二) 简单的古典概型的概率计算
[例2] 袋中有6个大小质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)因为A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},
所以n(A)=6,从而P(A)===.
(2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.
解:因为B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},
所以n(B)=8,
从而P(B)==.
|思|维|建|模|
求解古典概型的概率“四步”法
针对训练
2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1,a2),(a1,b1),
(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P==,故选D.
3.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次不放回从某箱中
随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率.
解:合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作:a,b,只要检测的2听有
1听不合格的,就表示检测出了不合格产品.依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),
(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).其中含有不合格产品的情况有(1,a),(1,b),
(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a),共18种;
所以检测出不合格产品的概率为P==0.6.
题型(三) 较复杂的古典概型的概率计算
[例3] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率;
解:如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.
(1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个,分别为(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),
故P(A)==.
(2)求掷出两个4点的概率;
解:记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),
故P(B)=.
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解:记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),
(5,4),(6,6),
故P(C)==.
|思|维|建|模|
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.
针对训练
4.有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上.现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.
由图可知,所有的等可能样本点共有24个.
设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
解:设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点,所以P(N)==.
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
解:设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点,所以P(S)==.
课时跟踪检测
1
3
4
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2
A级——达标评价
1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是故事书的概率为( )
A. B. C. D.
解析:样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点,
所以其概率为.
√
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2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析:试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有4个样本点,所以所求概率为.
√
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3.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( )
A. B. C. D.
√
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3
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2
解析:如图:
样本点的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个,故所求概率P==.故选A.
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4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),
(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10个样本点,其中勾股数为(3,4,5),所以概率为.
√
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5.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙不在同一个小组的概率为 ( )
A. B. C. D.
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解析:由题意,另3位棋手分别记为丙、丁、戊,则这5位棋手的分组情况有
(甲乙丙,丁戊),(甲乙丁,丙戊),(甲乙戊,丙丁),(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),
(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),(丙丁戊,甲乙),共10种,其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为(甲丙丁,乙戊),(甲丙戊,乙丁),(甲丁戊,乙丙),(乙丙丁,甲戊),(乙丙戊,甲丁),(乙丁戊,甲丙),共有6种,所以甲和乙不在同一个小组的概率为P==.
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6.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为 .
解析:我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4个样本点,因此体育课不排在第一节的概率为.
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7.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率为 .
解析:从1,2,3,4中一次随机地取两个数,此试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),
(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点.其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2),(2,4)两种.故所求概率为=.
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3
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8.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率为 .
解析:用A,B,C分别表示三名男同学,用a,b,c分别表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,
Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种.其中2名都是女同学的选法为ab,ac,bc,共3种.故所求的概率为=.
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9.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球一个,标号为1的小球一个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取一个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
解:依题意,袋子中共有n+2个小球,于是得=,解得n=2,所以n的值是2.
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(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b,记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
解:由(1)记标号为2的两个小球为21,22,从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(21,0),(22,0),(1,21),(1,22),
(21,1),(22,1),(21,22),(22,21),共有12个,它们等可能,事件A含有的结果有(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个结果,则P(A)==,所以事件A的概率是.
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10.(13分)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
解:甲校的2名男教师分别用a1,a2表示,1名女教师用b表示,乙校的1名男教师用A表示,2名女教师分别用B1,B2表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果有(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),
(b,A),(b,B1),(b,B2),共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有(a1,A),(a2,A),(b,B1),(b,B2),共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率P=.
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(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解:从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果有(a1,a2),(a1,b),(a1,A),(a1,B1),(a1,B2),(a2,b),
(a2,A),(a2,B1),(a2,B2),(b,A),(b,B1),(b,B2),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共15种.从中选出的2名教师来自同一所学校的结果有(a1,a2),(a1,b),(a2,b),(A,B1),(A,B2),(B1,B2),共6种.所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P==.
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B级——重点培优
11.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A. B. C. D.
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解析:设6个主题分别为A,B,C,D,E,F,甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表:
乙 甲 A B C D E F
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (A,F)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (B,E) (B,F)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) (C,E) (C,F)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (D,E) (D,F)
E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) (E,E) (E,F)
F (F,A) (F,B) (F,C) (F,D) (F,E) (F,F)
共36种情况.其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种,故抽到不同主题的概率为=,故选A.
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12.(多选)如图,圆O的半径为1,六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形,从A,B,C,D,E,F六点中任意取两点,并连接成线段,则下列结论正确的是 ( )
A.线段的长为1的概率是0.4
B.线段的长为2的概率是0.5
C.线段的长为的概率是0.4
D.线段的长为的概率是0.8
√
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解析:在A,B,C,D,E,F中任取两点的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),
(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),
(D,F),(E,F)},共15个样本点.线段长为1的样本点有(A,B),(A,F),(B,C),
(C,D),(D,E),(E,F),共有6个,所以线段长为1的概率P1==0.4,故A正确;
线段长为2的样本点有(A,D),(B,E),(C,F),共有3个,所以线段长为2的概率P2==0.2,故B错误;
线段长为的样本点有(A,C),(A,E),(B,D),(B,F),(C,E),(D,F),共有6个,所以线段长为的概率P3==0.4,故C正确;D错误.
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13.如图所示,现有一只迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次只能进入3处;若它在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是 ( )
A. B.
C. D.
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解析:由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1),
(3→1→3→2),(3→1→3→4),(3→1→3→5),(3→2→3→2),(3→2→3→1),(3→2→3→4),(3→2→3→5),(3→4→3→4),(3→4→3→1),(3→4→3→2),(3→4→3→5),(3→5→3→5),(3→5→3→1),(3→5→3→2),(3→5→3→4),共16个,
满足题意的样本点为(3→1→3→5),(3→2→3→5),(3→4→3→5),共3个.
由古典概型的概率计算公式可得,小青蛙在第三次跳动后,首次进入5处的概率是.
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14.(17分)某县有特级教师6人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为A1,A2,乙校教师记为B1,B2,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.
(1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点;
解:从6名教师代表中选出3名教师组成评审团,组成人员的全部样本点分别为(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),(A1,B2,D),(A1,C,D),
(A2,B1,C),(A2,B1,D),(A2,B2,C),(A2,B2,D),(A2,C,D),(B1,C,D),
(B2,C,D).
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(2)求教师A1被选中的概率;
解:在组成人员的全部样本点中,A1被选中的样本点有(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),(A1,B2,D),(A1,C,D),共5个,
所以教师A1被选中的概率为P=.
(3)求评审团中没有乙校教师代表的概率.
解:评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1,C,D),(A2,C,D),共2个,
所以评审团中没有乙校教师代表的概率为P==.课时跟踪检测(五十六) 古典概型
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是故事书的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
3.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
5.围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙不在同一个小组的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为 .
7.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率为 .
8.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率为 .
9.(12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球一个,标号为1的小球一个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取一个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b,记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
10.(13分)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
B级——重点培优
11.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 ( )
A. B.
C. D.
12.(多选)如图,圆O的半径为1,六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形,从A,B,C,D,E,F六点中任意取两点,并连接成线段,则下列结论正确的是 ( )
A.线段的长为1的概率是0.4
B.线段的长为2的概率是0.5
C.线段的长为的概率是0.4
D.线段的长为的概率是0.8
13.如图所示,现有一只迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次只能进入3处;若它在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是 ( )
A. B.
C. D.
14.(17分)某县有特级教师6人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为A1,A2,乙校教师记为B1,B2,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.
(1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点;
(2)求教师A1被选中的概率;
(3)求评审团中没有乙校教师代表的概率.
课时跟踪检测(五十六)
1．选B 样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.
2．选C 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.
3．选A 如图：
样本点的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个，故所求概率P＝＝.故选A.
4．选A 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3，5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点，其中勾股数为(3,4,5)，所以概率为.
5．选C 由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有(甲乙丙，丁戊)，(甲乙丁，丙戊)，(甲乙戊，丙丁)，(甲丙丁，乙戊)，(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙丙)，(乙丙丁，甲戊)，(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，(丙丁戊，甲乙)，共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为(甲丙丁，乙戊)，(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙丙)，(乙丙丁，甲戊)，(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率为P＝＝.
6．解析：我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.
答案：
7．解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点．其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．故所求概率为＝.
答案：
8．解析：用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种．其中2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种．故所求的概率为＝.
答案：
9．解：(1)依题意，袋子中共有n＋2个小球，于是得＝，解得n＝2，所以n的值是2.
(2)由(1)记标号为2的两个小球为21,22，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(21,0)，(22,0)，(1,21)，(1,22)，(21,1)，(22,1)，(21,22)，(22,21)，共有12个，它们等可能，事件A含有的结果有(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个结果，则P(A)＝＝，所以事件A的概率是.
10．解：甲校的2名男教师分别用a1，a2表示，1名女教师用b表示，乙校的1名男教师用A表示，2名女教师分别用B1，B2表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果有(a1，A)，(a1，B1)，(a1，B2)，(a2，A)，(a2，B1)，(a2，B2)，(b，A)，(b，B1)，(b，B2)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有(a1，A)，(a2，A)，(b，B1)，(b，B2)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率P＝.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，A)，(a1，B1)，(a1，B2)，(a2，b)，(a2，A)，(a2，B1)，(a2，B2)，(b，A)，(b，B1)，(b，B2)，(A，B1)，(A，B2)，(B1，B2)，共15种．从中选出的2名教师来自同一所学校的结果有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(A，B1)，(A，B2)，(B1，B2)，共6种．所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P＝＝.
11．选A 设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
乙 甲 A B C D E F
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F)
F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F)
共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为＝，故选A.
12．选AC 在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．线段长为1的样本点有(A，B)，(A，F)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，共有6个，所以线段长为1的概率P1＝＝0.4，故A正确；线段长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个，所以线段长为2的概率P2＝＝0.2，故B错误；线段长为的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共有6个，所以线段长为的概率P3＝＝0.4，故C正确；D错误．
13．选A 由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16个，满足题意的样本点为(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3个．
由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.
14．解：(1)从6名教师代表中选出3名教师组成评审团，组成人员的全部样本点分别为
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D)．
(2)在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，
所以教师A1被选中的概率为P＝.
(3)评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，所以评审团中没有乙校教师代表的概率为P＝＝.
