第3课时 频率与概率 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性,理解概率的含义.
2.理解频率与概率的区别与联系.
题型(一) 频率与概率的关系
[例1] 下列关于概率和频率的叙述正确的有 (填序号).
①随机事件的频率就是概率;②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值;③频率是客观存在的,与试验次数无关;④概率是随机的,在试验前不能确定;⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.
[针对训练]
1.下列说法正确的是 ( )
A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
题型(二) 用频率估计概率
[例2] 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并做如下规定:顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.
下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数m 13 19 24 62 100 120
落在区域“1”的频率
(1)计算并完成表格(精确到0.01);
(2)当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近多少
(3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少
听课记录:
|思|维|建|模|
1.用频率估计概率
如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验的次数n很大时,可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值.
2.用频率估计概率的步骤
(1)确定随机事件A的频数nA;
(2)由fn(A)=计算频率fn(A)(n为试验的总次数);
(3)由频率fn(A)估计概率P(A).
[针对训练]
2.某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟 的次数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟 的频率
(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01);
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)
题型(三) 用频率估计概率的应用
[例3] 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验,按在同一条件下的试验结果,10 000个鱼卵能孵化出8 520尾鱼苗.
(1)求这种鱼卵孵化的频率(经验概率);
(2)估计30 000个这种鱼卵能孵化出多少尾鱼苗
(3)若要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备多少个鱼卵
听课记录:
|思|维|建|模|
由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情做出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
[针对训练]
3.从某高校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的样本数据,整理得到样本数据的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14].
(1)求这100名学生中该周课外阅读时间在[8,10)范围内的学生人数;
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.
第3课时 频率与概率
[例1] 解析:随机事件的频率是概率的近似值,频率不是概率,故①错误;随机事件的频率不是一个固定的数值,而概率是一个确定的数值,故②正确;频率是随机的,它与试验条件、次数等有关,而概率是确定的值,与试验次数无关,故③④错误;由频率与概率的关系可知⑤正确.
答案:②⑤
[针对训练]
1.选D 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
[例2] 解:(1)落在区域“1”的频率如下表
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数m 13 19 24 62 100 120
落在区域“1”的频率 0.13 0.13 0.12 0.12 0.13 0.12
(2)由(1)中计算的频率,可判断当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)由(1)(2)及频率与概率的关系可知,获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
[针对训练]
2.解:(1)表中由左至右,依次填入的数据是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于频率稳定在常数0.80附近,所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.
[例3] 解:(1)由题意可知,这种鱼卵孵化的频率为=0.852.
(2)由(1)可知,这种鱼卵孵化的频率为0.852,
所以估计30 000个这种鱼卵能孵化出0.852×30 000=25 560尾鱼苗.
(3)设要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备x个鱼卵.
由0.852x=5 000,可得x=≈5 869.
故要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备5 869个鱼卵.
[针对训练]
3. 解:(1)由题图易知,该周课外阅读时间在[8,10)的频率为1-2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+
0.025)=0.200,
∴这100名学生中该周课外阅读时间在[8,10)范围内的学生人数为100×0.200=20人.
(2)每周课外阅读时间超过6小时的频率为2×=0.7,
∴估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.7.(共50张PPT)
频率与概率
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第3课时
课时目标
1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性,理解概率的含义.
2.理解频率与概率的区别与联系.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 频率与概率的关系
题型(二) 用频率估计概率
题型(三) 用频率估计概率的应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 频率与概率的关系
01
[例1] 下列关于概率和频率的叙述正确的有 (填序号).
①随机事件的频率就是概率;②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值;③频率是客观存在的,与试验次数无关;④概率是随机的,在试验前不能确定;⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.
②⑤
解析:随机事件的频率是概率的近似值,频率不是概率,故①错误;随机事件的频率不是一个固定的数值,而概率是一个确定的数值,故②正确;频率是随机的,它与试验条件、次数等有关,而概率是确定的值,与试验次数无关,故③④错误;由频率与概率的关系可知⑤正确.
|思|维|建|模|
概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.
针对训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,
则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
√
解析:一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;
中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;
10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
题型(二) 用频率估计概率
02
[例2] 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并做如下规定:顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.
下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数m 13 19 24 62 100 120
(1)计算并完成表格(精确到0.01);
解:落在区域“1”的频率如下表
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在区域“1”的频数m 13 19 24 62 100 120
0.13 0.13 0.12 0.12 0.13 0.12
(2)当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近多少
解:由(1)中计算的频率,可判断当n很大时,落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少
解:由(1)(2)及频率与概率的关系可知,获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
|思|维|建|模|
1.用频率估计概率
如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验的次数n很大时,可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值.
2.用频率估计概率的步骤
(1)确定随机事件A的频数nA;
(2)由fn(A)=计算频率fn(A)(n为试验的总次数);
(3)由频率fn(A)估计概率P(A).
针对训练
2.某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如右栏表所示.
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟 的次数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟 的频率
(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01);
解:表中由左至右,依次填入的数据是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)
解:由于频率稳定在常数0.80附近,所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.
题型(三) 用频率估计概率的应用
03
[例3] 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验,按在同一条件下的试验结果,10 000个鱼卵能孵化出8 520尾鱼苗.
(1)求这种鱼卵孵化的频率(经验概率);
解:由题意可知,这种鱼卵孵化的频率为=0.852.
(2)估计30 000个这种鱼卵能孵化出多少尾鱼苗
解:由(1)可知,这种鱼卵孵化的频率为0.852,
所以估计30 000个这种鱼卵能孵化出0.852×30 000=25 560尾鱼苗.
(3)若要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备多少个鱼卵
解:设要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备x个鱼卵.
由0.852x=5 000,可得x=≈5 869.
故要孵化出5 000尾鱼苗,估计需要准备5 869个鱼卵.
|思|维|建|模|
由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情做出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
针对训练
3.从某高校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的样本数据,整理得到样本数据的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14].
(1)求这100名学生中该周课外阅读时间在[8,10)范围内的学生人数;
解:由题图易知,该周课外阅读时间在[8,10)的频率为1-2×(0.025+
0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.200,
∴这100名学生中该周课外阅读时间在[8,10)范围内的学生人数为100×0.200=20人.
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.
解:每周课外阅读时间超过6小时的频率为2×=0.7,
∴估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.7.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币都是反面向上
解析:抛掷两枚硬币,其结果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四种情况,至少一枚硬币正面向上包括三种情况,其概率最大.
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2.(多选)下列命题正确的有 ( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此,出现正面的概率是
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药,则有明显疗效的可能性为76%
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是
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解析:次品率为0.05,只是反映次品在这批产品中的占比情况,从中任取200件,不一定有10件是次品,A错误;
做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,只能说正面的频率是,而概率是,B错误;
对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,可以说有明显疗效的可能性为76%,C正确;
抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,出现1点的频率是,D正确.
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3.一个盒子中有若干白色围棋子,为了估计其中围棋子的数目,小明将100颗黑色的围棋子放入其中,充分搅拌后随机取出了20颗,数得其中有5颗黑色的围棋子,根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为 ( )
A.200颗 B.300颗
C.400颗 D.500颗
解析:设白色围棋子的数目为 n,则由已知可得=,解得n=300,
即白色围棋子的数目大约有300颗.
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4.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )
A. B. C. D.
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解析:由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
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5.抛掷一枚图钉300次,出现216次“钉尖朝上”,则出现“钉尖朝上”的频率是 .
解析:出现“钉尖朝上”的频率为=0.72.
0.72
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6.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼.
解析:由题意可得,从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,所以所有池塘中有标记的鱼的概率为=.又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,所以可以估计该池塘内共有=30×50=1 500条鱼.
1 500
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7.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,20)或[25,30)内的为二等品,在区间[10,15)或[30,35]内的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则该件产品为二等品的概率为 .
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解析:设区间[25,30)对应矩形的高度为x,则由所有矩形面积之和为1,得(0.02+0.04+0.06+0.03+x)×5=1,解得x=0.05.所以该件产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.
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8.(10分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
解:设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率,得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,故所求概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
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(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解:设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”.由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24.由频率估计概率,得P(C)=0.24.
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B级——重点培优
9.(多选)下列说法正确的是( )
A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8
B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7
C.某人射击10次,击中靶心的频率是,则他击中靶心5次
D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心4次
√
√
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解析:A中,因为某人射击10次,击中靶心8次,所以他击中靶心的频率是=0.8;
B中,因为某人射击10次,击中靶心7次,所以他击不中靶心的频率是=0.3;
C中,因为某人射击10次,击中靶心的频率是,所以他击中靶心10×=5次;
D中,因为某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,所以他击不中靶心
10×(1-0.6)=4次.故选ACD.
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10.某射击选手积极备战某运动会,在一次训练中共射了72支箭,下表是命中环数的部分统计信息:
环数 <7 7 8 9 10
频数 0 3 a b 22
已知该次训练的平均环数为9.125环,据此水平,正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为 ( )
A.0.31 B.0.65
C.0.86 D.1
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解析:由题易知
化简得解得
所以训练中命中黄圈的频率为≈0.86.
故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为0.86.
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11.(多选)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出频率分布直方图如图所示.观察图形的信息,则 ( )
A.成绩在区间[90,100]上的人数为5
B.抽查学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75%
D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)为
√
√
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解析:依题意得,成绩在区间[90,100]上的人数为60×0.005×10=3,故A错误;
平均成绩为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=
71(分),故B正确;
60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.03+
0.025+0.005)×10=0.75,所以这次考试的及格率约为75%,故C正确;
成绩在[70,100]的人数是(0.03+0.025+0.005)×10×60=36,所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,选到第一名学生的概率为P=,故D错误.
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12.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗 ”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗 ”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为 .
3.33%
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解析:因为掷硬币出现正面向上的概率为,所以大约有150人回答第一个问题.又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,在回答第一个问题的150人中大约有一半人,即75人回答了“是”,另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.所以≈0.033 3,因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.
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13.(14分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100件进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;
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解:由题图,得甲品牌产品寿命小于200 h的频率为=.用频率估计概率,所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.
解:根据抽样结果,寿命大于200 h的产品共有75+70=145个,其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是=.用频率估计概率,所以估计已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率约为.
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14.(17分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会,一商店每天要订购相同数量的一种食品,每个该食品的进价为0.6元,售价为 1元,当天卖不完的食品按进价的半价退回,食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验,每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关,为了确定订购计划,统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下:
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
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(1)估计商业峰会期间,该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率;
解:由表中数据可知商业峰会期间30天内,该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5+6+8=19,所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
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(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位:元),当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时,写出Y的所有可能值,并估计Y不超过15 000元的概率.
解:当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时,
若到会人数位于区间(8 000,9 000]内,
则Y=400×100×(1-0.6)+150×100×(0.3-0.6)=11 500元,
若到会人数位于区间(9 000,10 000]内,
则Y=450×100×(1-0.6)+100×100×(0.3-0.6)=15 000元,
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若到会人数位于区间(10 000,11 000]内,
则Y=500×100×(1-0.6)+50×100×(0.3-0.6)=18 500元,
若到会人数超过11 000,
则Y=550×100×(1-0.6)=22 000元,
即Y的所有可能值为11 500,15 000,18 500,22 000,Y不超过15 000元,意味着到会人数不超过10 000,到会人数不超过10 000的频率为=,
所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.课时跟踪检测(五十八) 频率与概率
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大 ( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币都是反面向上
2.(多选)下列命题正确的有 ( )
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此,出现正面的概率是
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药,
则有明显疗效的可能性为76%
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是
3.一个盒子中有若干白色围棋子,为了估计其中围棋子的数目,小明将100颗黑色的围棋子放入其中,充分搅拌后随机取出了20颗,数得其中有5颗黑色的围棋子,根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为 ( )
A.200颗 B.300颗
C.400颗 D.500颗
4.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,
某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )
A. B.
C. D.
5.抛掷一枚图钉300次,出现216次“钉尖朝上”,则出现“钉尖朝上”的频率是 .
6.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼.
7.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,20)或[25,30)内的为二等品,在区间[10,15)或[30,35]内的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则该件产品为二等品的概率为 .
8.(10分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,
估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
B级——重点培优
9.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8
B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7
C.某人射击10次,击中靶心的频率是,则他击中靶心5次
D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心4次
10.某射击选手积极备战某运动会,在一次训练中共射了72支箭,下表是命中环数的部分统计信息:
环数 <7 7 8 9 10
频数 0 3 a b 22
已知该次训练的平均环数为9.125环,据此水平,正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为 ( )
A.0.31 B.0.65
C.0.86 D.1
11.(多选)某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出频率分布直方图如图所示.观察图形的信息,则 ( )
A.成绩在区间[90,100]上的人数为5
B.抽查学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75%
D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)为
12.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗 ”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗 ”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为 .
13.(14分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100件进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.
14.(17分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会,一商店每天要订购相同数量的一种食品,每个该食品的进价为0.6元,售价为 1元,当天卖不完的食品按进价的半价退回,食品按每箱100个包装.根据往年的销售经验,每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关,为了确定订购计划,统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下:
到会 人数/人 (8 000, 9 000] (9 000, 10 000] (10 000, 11 000] (11 000, 12 000] (12 000, 13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
到会 人数/人 (8 000, 9 000] (9 000, 10 000] (10 000, 11 000] (11 000, 12 000] (12 000, 13 000]
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率.
(1)估计商业峰会期间,该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率;
(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位:元),当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时,写出Y的所有可能值,并估计Y不超过15 000元的概率.
课时跟踪检测(五十八)
1．选A 抛掷两枚硬币，其结果有“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”四种情况，至少一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大．
2．选CD 次品率为0.05，只是反映次品在这批产品中的占比情况，从中任取200件，不一定有10件是次品，A错误；做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，只能说正面的频率是，而概率是，B错误；对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，可以说有明显疗效的可能性为76%，C正确；抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，出现1点的频率是，D正确．
3．选B 设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗．
4．选C 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
5．解析：出现“钉尖朝上”的频率为＝0.72.
答案：0.72
6．解析：由题意可得，从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以所有池塘中有标记的鱼的概率为＝.又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，所以可以估计该池塘内共有＝30×50＝1 500条鱼．
答案：1 500
7．解析：设区间[25,30)对应矩形的高度为x，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.
答案：0.45
8．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24.由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
9．选ACD A中，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8；B中，因为某人射击10次,击中靶心7次,所以他击不中靶心的频率是＝0.3；C中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是，所以他击中靶心10×＝5次；D中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，所以他击不中靶心10×(1－0.6)＝4次．故选ACD.
10．选C 由题易知
化简得解得
所以训练中命中黄圈的频率为≈0.86.故正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈(不小于9环)的频率约为0.86.
11．选BC 依题意得，成绩在区间[90,100]上的人数为60×0.005×10＝3，故A错误；平均成绩为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分),故B正确；60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以这次考试的及格率约为75%，故C正确；成绩在[70,100]的人数是(0.03＋0.025＋0.005)×10×60＝36，所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，选到第一名学生的概率为P＝，故D错误．
12．解析：因为掷硬币出现正面向上的概率为，所以大约有150人回答第一个问题．又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂．所以≈0.033 3，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．
答案：3.33%
13．解：(1)由题图，得甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝.用频率估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝.用频率估计概率，所以估计已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率约为.
14．解：(1)由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
(2)当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时,若到会人数位于区间(8 000，9 000]内，则Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500元，若到会人数位于区间(9 000,
10 000]内，则Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000元，若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，则Y＝500×100×(1－0.6)＋50×100×(0.3－0.6)＝18 500元，若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×(1－0.6)＝22 000元，即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500,22 000，Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，到会人数不超过10 000的频率为＝，所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.
