15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解互斥事件、对立事件的概念及概率的基本性质.
2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.
1.互斥事件的定义
在一次随机试验中,事件A与B .这时,我们称A,B为互斥事件.
2.概率的加法公式
如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)= ,
这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式).
3.概率加法公式的推广
如果事件A1,A2,…,An(n∈N,n>2)中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)= .
4.对立事件
若互斥事件A,C中必有一个发生.这时,我们称A,C为对立事件,记作 .对立事件A与必有一个发生,故A+是 .
5.随机事件概率的常用性质
(1)P()= ;
(2)当A B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
|微|点|助|解|
(1)设样本空间Ω包含有n个样本点,当事件A与事件B互斥时,A与B不含有相同的样本点,此时n(A∪B)=n(A)+n(B),结合古典概型的概率公式即可得P(A∪B)==P(A)+P(B).
(2)当一个事件的概率不易求解,但其对立事件的概率易求时,我们常利用对立事件的概率公式,使用间接法求解.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若A与B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( )
(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件. ( )
(3)某班统计同学们的数学测试成绩,事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”. ( )
(4)A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B). ( )
2.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A+B)=0.5,则P(B)等于 ( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
3.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2,若不出现平局,那么乙获胜的概率为 ( )
A.0.2 B.0.8
C.0.4 D.0.1
4.若P(A+B)=0.7,P(A)=0.4,P(B)=0.6,则P(AB)= .
题型(一) 互斥事件与对立事件的判断
[例1] (1)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 ( )
A.2个小球恰有1个红球
B.2个小球不全为黑球
C.2个小球至少有1个黑球
D.2个小球都为黑球
(2)某人射击一次,设事件A:“击中环数小于8”;事件B:“击中环数大于8”;事件C:“击中环数不小于8”,事件D:“击中环数不大于9”,则下列关系正确的是 ( )
A.A和B为对立事件 B.B和C为互斥事件
C.A和C为对立事件 D.B和D为互斥事件
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)互斥事件、对立事件的判定方法
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)判断事件之间的关系,主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
[针对训练]
1.2023年某省新高考实行了“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B ( )
A.是互斥事件,不是对立事件
B.既是互斥事件,也是对立事件
C.既不是对立事件,也不是互斥事件
D.无法判断
2.抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件,为什么
(1)事件A与事件AB;
(2)事件B与事件A.
题型(二) 互斥事件概率公式的应用
[例2] (1)抛掷一枚骰子,观察出现的点,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=,求出现1点或2点的概率.
(2)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,求这3个球中既有红球又有白球的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥.
(2)求各事件分别发生的概率,再求其和.
[提醒] (1)是公式使用的前提条件,不符合这点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
[针对训练]
3.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:
年最高水位 (单位:m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率:
(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18].
题型(三) 对立事件概率公式的应用
[例3] 甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求:
(1)甲获胜的概率;
(2)甲不输的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
[针对训练]
4.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,命中不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
题型(四) 概率性质的综合应用
[例4] 袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;
(2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
[针对训练]
5.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是.
(1)求任取一张,中一等奖的概率;
(2)若中一等奖或二等奖的概率是,求任取一张,中三等奖的概率.
第1课时 互斥事件
课前预知教材
1.不可能同时发生 2.P(A)+P(B)
3.P(A1)+P(A2)+…+P(An) 4.C=或A= 必然事件 5.(1)1-P(A)
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.选A ∵A,B是互斥事件,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5.∵P(A)=0.2,∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A.
3.选B 乙获胜的概率为1-0.2=0.8.
4.解析:因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.4+0.6-0.7=0.3.
答案:0.3
课堂题点研究
[例1] 解析:(1)由题意,知一次任意取出2个小球,这2个球可能为2个红球,2个黑球,1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选AD.
(2)由题意设事件A:“击中环数小于8”与事件B:“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件,故A选项错误;事件B:“击中环数大于8” 与事件C:“击中环数不小于8”,能同时发生,所以不是互斥事件,故B选项错误;事件A:“击中环数小于8”与事件C:“击中环数不小于8”是对立事件,故C选项正确;事件B:“击中环数大于8”与事件D:“击中环数不大于9”能同时发生,不是互斥事件,故D选项错误.
答案:(1)AD (2)C
[针对训练]
1.选A ∵事件A和事件B不能同时发生,∴事件A和事件B是互斥事件;∵该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择,∴事件A和事件B不是对立事件.综上所述,事件A和事件B是互斥事件,不是对立事件.
2.解:由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)},其中样本点中第一个数为1号骰子出现的点数,第二个数为2号骰子出现的点数.
(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
(2)事件={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),
(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A={(2,1),
(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},
所以B∩A= ,所以事件B与事件A是互斥事件.
[例2] 解:(1)设事件C为“出现1点或2点”,
因为事件A,B是互斥事件,
由C=A+B可得P(C)=P(A)+P(B)
=+=,
所以出现1点或出现2点的概率是.
(2)因为A,B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.所以这3个球中既有红球又有白球的概率是.
[针对训练]
3.解:记该河流这一处的年最高水位(单位:m)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.
(1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
[例3] 解:(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1--=.即甲获胜的概率是.
(2)法一 设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=.
法二 设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-=.
即甲不输的概率是.
[针对训练]
4.解:记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A3,A4.由题意知,A2,A3,A4彼此互斥,
∴P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵A1与A2+A3+A4互为对立事件,
∴P(A1)=1-P(A2+A3+A4)=1-0.76=0.24.
∵A1与A2互斥,且A=A1+A2,
∴P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52.
[例4] 解:(1)从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥,则P(A)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=,P(C+D)=P(C)+P(D)=,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
则联立
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A+D,由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A+D)=P(A)+P(D)=+=,故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A+D)=1-=.
[针对训练]
5.解:设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=.
(1)由对立事件的概率公式知
P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1--=,所以任取一张,中一等奖的概率为.
(2)因为P(A+B)=P(A)+P(B)=,
所以P(B)=-=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=,所以P(C)=.所以任取一张,中三等奖的概率为.(共63张PPT)
15.3
互斥事件和独立事件
互斥事件
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解互斥事件、对立事件的概念及概率的基本性质.
2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.互斥事件的定义
在一次随机试验中,事件A与B_________________.这时,我们称A,B为互斥事件.
2.概率的加法公式
如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=__________,这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式).
不可能同时发生
P(A)+P(B)
3.概率加法公式的推广
如果事件A1,A2,…,An(n∈N,n>2)中任何两个事件都是互斥事件,
那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)=_____________________.
4.对立事件
若互斥事件A,C中必有一个发生.这时,我们称A,C为对立事件,记作
___________.对立事件A与必有一个发生,故A+是__________.
P(A1)+P(A2)+…+P(An)
C=或A=
必然事件
5.随机事件概率的常用性质
(1)P()=________;
(2)当A B时,P(A)≤P(B);
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
1-P(A)
|微|点|助|解|
(1)设样本空间Ω包含有n个样本点,当事件A与事件B互斥时,A与B不含有相同的样本点,此时n(A∪B)=n(A)+n(B),结合古典概型的概率公式即可得P(A∪B)==P(A)+P(B).
(2)当一个事件的概率不易求解,但其对立事件的概率易求时,我们常利用对立事件的概率公式,使用间接法求解.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若A与B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( )
(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件. ( )
(3)某班统计同学们的数学测试成绩,事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”. ( )
(4)A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B). ( )
×
×
×
×
2.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A+B)=0.5,则P(B)等于 ( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
解析:∵A,B是互斥事件,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5.∵P(A)=0.2,
∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A.
√
3.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2,若不出现平局,那么乙获胜的概率为 ( )
A.0.2 B.0.8
C.0.4 D.0.1
解析:乙获胜的概率为1-0.2=0.8.
√
4.若P(A+B)=0.7,P(A)=0.4,P(B)=0.6,则P(AB)= .
解析:因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.4+0.6-0.7=0.3.
0.3
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 互斥事件与对立事件的判断
[例1] (1)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 ( )
A.2个小球恰有1个红球
B.2个小球不全为黑球
C.2个小球至少有1个黑球
D.2个小球都为黑球
√
√
解析:由题意,知一次任意取出2个小球,这2个球可能为2个红球,2个黑球,
1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选AD.
(2)某人射击一次,设事件A:“击中环数小于8”;事件B:“击中环数大于8”;事件C:“击中环数不小于8”,事件D:“击中环数不大于9”,则下列关系正确的是 ( )
A.A和B为对立事件 B.B和C为互斥事件
C.A和C为对立事件 D.B和D为互斥事件
√
解析:由题意设事件A:“击中环数小于8”与事件B:“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件,故A选项错误;
事件B:“击中环数大于8” 与事件C:“击中环数不小于8”,能同时发生,所以不是互斥事件,故B选项错误;
事件A:“击中环数小于8”与事件C:“击中环数不小于8”是对立事件,故C选项正确;
事件B:“击中环数大于8”与事件D:“击中环数不大于9”能同时发生,不是互斥事件,故D选项错误.
|思|维|建|模|
(1)互斥事件、对立事件的判定方法
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)判断事件之间的关系,主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.
针对训练
1.2023年某省新高考实行了“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,
物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B ( )
A.是互斥事件,不是对立事件
B.既是互斥事件,也是对立事件
C.既不是对立事件,也不是互斥事件
D.无法判断
√
解析:∵事件A和事件B不能同时发生,∴事件A和事件B是互斥事件;
∵该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择,∴事件A和事件B不是对立事件.综上所述,事件A和事件B是互斥事件,不是对立事件.
2.抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,判断下列各题中的两个事件是否为互斥事件,为什么
(1)事件A与事件AB;
解:由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),
(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)},其中样本点中第一个数为1号骰子出现的点数,第二个数为2号骰子出现的点数.
事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
(2)事件B与事件A.
解:事件={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A={(2,1),
(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},
所以B∩A= ,所以事件B与事件A是互斥事件.
题型(二) 互斥事件概率公式的应用
[例2] (1)抛掷一枚骰子,观察出现的点,设事件A为“出现1点”,
B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=,求出现1点或2点的概率.
解:设事件C为“出现1点或2点”,
因为事件A,B是互斥事件,
由C=A+B可得P(C)=P(A)+P(B)
=+=,
所以出现1点或出现2点的概率是.
(2)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,求这3个球中既有红球又有白球的概率.
解:因为A,B是互斥事件,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
所以这3个球中既有红球又有白球的概率是.
|思|维|建|模|
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥.
(2)求各事件分别发生的概率,再求其和.
[提醒] (1)是公式使用的前提条件,不符合这点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
针对训练
3.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:
年最高水位 (单位:m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率:
(1)[10,16);.
解:记该河流这一处的年最高水位(单位:m)在[8,10),[10,12),[12,14),
[14,16),[16,18]分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.
P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.
(2)[8,12);
解:P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.
(3)[14,18].
解:P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.
题型(三) 对立事件概率公式的应用
[例3] 甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求:
(1)甲获胜的概率;
解:“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1--=.
即甲获胜的概率是.
(2)甲不输的概率.
解:法一 设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”
这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=.
法二 设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-=.
即甲不输的概率是.
|思|维|建|模|
对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
针对训练
4.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,命中不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
解:记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A3,A4.由题意知,A2,A3,A4彼此互斥,
∴P(A2+A3+A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵A1与A2+A3+A4互为对立事件,
∴P(A1)=1-P(A2+A3+A4)=1-0.76=0.24.
∵A1与A2互斥,且A=A1+A2,
∴P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52.
题型(四) 概率性质的综合应用
[例4] 袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率;
解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥,
则P(A)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=,
P(C+D)=P(C)+P(D)=,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
则联立
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,.
(2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率.
解:事件“得到红球或绿球”可表示为事件A+D,
由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A+D)=P(A)+P(D)=+=,
故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A+D)=1-=.
|思|维|建|模|
求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.
针对训练
5.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是.
(1)求任取一张,中一等奖的概率;
解:设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.
由条件可得P(D)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=.
由对立事件的概率公式知
P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1--=,所以任取一张,中一等奖的概率为.
(2)若中一等奖或二等奖的概率是,求任取一张,中三等奖的概率.
解:因为P(A+B)=P(A)+P(B)=,
所以P(B)=-=.
又P(B+C)=P(B)+P(C)=,
所以P(C)=.
所以任取一张,中三等奖的概率为.
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A级——达标评价
1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
解析:甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为+=.故选A.
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2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 ( )
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
解析:∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C.
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3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是 ( )
A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件
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解析:由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A+B+C+D)=
P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.
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4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是 ( )
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
解析:设“质量小于4.8 g”为事件A,“质量小于4.85 g”为事件B,“质量在4.8~4.85 g”为事件C,则A+C=B,且A,C为互斥事件,所以P(B)=P(A+C)=
P(A)+P(C),则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
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5.(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 ( )
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55
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解析:依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥,
P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=
P(B)+P(C)=0.45,于是A、B、C都正确,D不正确.故选ABC.
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6.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,
则P(A∪B)= .
解析:因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.
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7.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)= .
解析:因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.
又因为P(A)=2P(B),
所以P(A)+P(A)=,解得P(A)=.
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8.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是 .
解析:设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A+B+C)=
P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90,即P(D)=1-0.90=0.10.
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9.(8分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
解:设A=“派出2人及以下”,B=“3人”,C=“4人”,D=“5人”,E=“6人及以上”.
“有4人或5人外出家访”的事件为事件C或事件D,且C,D为互斥事件.
根据互斥事件概率的加法
P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
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(2)求至少有3人外出家访的概率.
解: “至少有3人外出家访”的对立事件为“2人及以下”,所以由对立事件的概率,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
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10.(10分)根据某省的高考改革方案,考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料,1位同学选择生物的概率为0.5,选择物理但不选择生物的概率为0.2,考生选择各门学科是相互独立的.
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率;
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解:记A表示事件:考生选择生物学科;
B表示事件:考生选择物理但不选择生物学科;
C表示事件:考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科;
D表示事件:选择生物但不选择物理;
E表示事件:同时选择生物、物理两门学科.
因为P(A)=0.5,P(B)=0.2,C=A+B,AB= ,
所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7.
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(2)某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
解:由某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,可知P(D)=0.35.
因为D+E=A,
所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15.
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B级——重点培优
11.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 ( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
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解析:任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别为A',B',C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=
0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'+D',根据概率的加法公式,得P(B'+D')=P(B')+P(D')=0.29+
0.35=0.64,A正确;
B型血的人能为B型,AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;
由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;
由任何人的血都可以输给AB型血的人,D正确.故选AD.
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12.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有 人.
解析:可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,
“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.再由题意得n-n=12,解得n=120.
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13.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,
炸中第二、三军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,军火库爆炸的概率为 .
解析:设A,B,C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,
D表示军火库爆炸,则P(A)=0.025,P(B)=0.1,P(C)=0.1,其中A,B,C互斥,故P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
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14.(10分)某班选派5人参加学校举办的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:
获奖人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;
解:记事件“在竞赛中,有k人获奖”为Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥.
∵获奖人数不超过2人的概率为0.56,
∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3.
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(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.
解:由获奖人数最多4人的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+
0.04=0.44.解得y=0.2.
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15.(14分)在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个,
其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”,事件B为“取出的球为黑球”,事件C为“取出的球为白球”,事件D为“取出的球为绿球”.求:
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;
解:由题意可知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件,
故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
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(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
解:易知,“取出的球为红球”、“取出的球为黑球”与“取出的球为白球”两两互斥,
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.课时跟踪检测(五十九) 互斥事件
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和,
则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 ( )
A.0.42 B.0.28
C.0.3 D.0.7
3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是 ( )
A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件
4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是 ( )
A.0.62 B.0.38
C.0.02 D.0.68
5.(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 ( )
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55
6.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)= .
7.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)= .
8.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是 .
9.(8分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
10.(10分)根据某省的高考改革方案,考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、
政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料,1位同学选择生物的概率为0.5,
选择物理但不选择生物的概率为0.2,考生选择各门学科是相互独立的.
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率;
(2)某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
B级——重点培优
11.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,
其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 ( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
12.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有 人.
13.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,军火库爆炸的概率为 .
14.(10分)某班选派5人参加学校举办的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:
获奖人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值;
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.
15.(14分)在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”,事件B为“取出的球为黑球”,事件C为“取出的球为白球”,事件D为“取出的球为绿球”.求:
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
课时跟踪检测(五十九)
1．选A 甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.故选A.
2．选C ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.
3.选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确．
4．选C 设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
5．选ABC 依题意，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是A、B、C都正确，D不正确．故选ABC.
6．解析：因为P(C)＝0.6，事件B与C对立，所以P(B)＝0.4，又P(A)＝0.3，A与B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7.
答案：0.7
7．解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，解得P(A)＝.
答案：
8．解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90，即P(D)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
9．解：设A＝“派出2人及以下”，B＝“3人”，C＝“4人”，D＝“5人”，E＝“6人及以上”．
(1)“有4人或5人外出家访”的事件为事件C或事件D，且C，D为互斥事件．
根据互斥事件概率的加法P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“2人及以下”，所以由对立事件的概率，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
10．解：记A表示事件：考生选择生物学科；
B表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科；D表示事件：选择生物但不选择物理；
E表示事件：同时选择生物、物理两门学科．
(1)因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，C＝A＋B，AB＝ ，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.
(2)由某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)＝0.35.因为D＋E＝A，所以P(E)＝P(A)－P(D)＝0.5－0.35＝0.15.
11．选AD 任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据概率的加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正确；B型血的人能为B型，AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何人的血都可以输给AB型血的人，D正确．故选AD.
12．解析：可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意得n－n＝12，解得n＝120.
答案：120
13．解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
答案：0.225
14．解：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.
15．解：(1)由题意可知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，
故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)易知，“取出的球为红球”、“取出的球为黑球”与“取出的球为白球”两两互斥，
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
