第2课时 独立事件(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.本课时的重点是理解相互独立事件的定义及意义,能够应用相互独立事件的概率公式解决问题.
2.本课时的难点是掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
1.相互独立事件的定义
一般地,对于两个随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称A,B为相互独立事件.
2.相互独立事件的概率公式
A,B相互独立 .
3.重要结论
(1)若A,B相互独立,则,B相互独立.
(2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,
那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
4.相互独立事件与互斥事件的关系
A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立
至少 一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P()
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 P( ) 1-[P(A)+P(B)] P()P()
恰有 一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B)
至多 一个发生 P(B+A+ ) 1 1-P(A)P(B)
题型(一) 相互独立事件的判断
[例1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
听课记录:
|思|维|建|模| 两种方法判断两事件是否具有独立性
定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响
公式法 检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立
[针对训练]
1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.
题型(二) 相互独立事件概率的计算
[例2] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
听课记录:
[变式拓展]
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少
|思|维|建|模|
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.
[针对训练]
2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率;
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率.
题型(三) 相互独立事件概率的综合应用
[例3] 为了庆祝“五四”青年节,某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛,由甲、乙两队参与竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
(2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率.
听课记录:
|思|维|建|模|
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
[针对训练]
3.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:在三门课程中,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c(a,b,c∈(0,1)),且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时,考试通过的概率;
(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.
第2课时 独立事件
2.P(AB)=P(A)P(B)
[例1] 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
[针对训练]
1.解:(1)∵二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件.
(2)样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},
∴P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件.
[例2] 解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
[变式拓展]
解:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,
法一 则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件,
所以P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.
法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件,
所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
[针对训练]
2.解:(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1,
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格,
则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2.
(2)分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则P(A)=0.5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,
P(C)=0.4×0.5=0.2,
所以P(F)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434.
[例3] 解:(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B,
甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=××=.
甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人回答错误,
其概率为P(B)=××+××+××=.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为,.
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D,
事件C即甲队有2人答对,其余1人答错,
则P(C)=××+××+××=.
事件D即乙队只有1人答对,其余2人答错,
则P(D)=××+××+××=.
由题得事件C与事件D相互独立,
所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=×=.
[针对训练]
3.解:记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(1)三门课程的考试,至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC,应聘者用方案一考试通过的概率P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=ab+bc+ac-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ac).
(2)因为a,b,c∈(0,1),所以P1-P2=(ab+bc+ac)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)]>0,故P1>P2,即采用方案一,该应聘者考试通过的概率大.(共49张PPT)
独立事件
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.本课时的重点是理解相互独立事件的定义及意义,能够应用相互独立事件的概率公式解决问题.
2.本课时的难点是掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
1.相互独立事件的定义
一般地,对于两个随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称A,B为相互独立事件.
2.相互独立事件的概率公式
A,B相互独立 ______________________.
3.重要结论
(1)若A,B相互独立,则,B相互独立.
(2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N,n>2).一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
P(AB)=P(A)P(B)
4.相互独立事件与互斥事件的关系
A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立
至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B)
同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不发生 1-[P(A)+P(B)]
恰有一个发生 P(A)+P(B)
至多一个发生 1 1-P(A)P(B)
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 相互独立事件的判断
题型(二) 相互独立事件概率的计算
题型(三) 相互独立事件概率
的综合应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 相互独立事件的判断
01
[例1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
解: “从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
|思|维|建|模|
两种方法判断两事件是否具有独立性
定义法 直接判定两个事件发生是否相互影响
公式法 检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立
针对训练
1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”;事件N:“出现的点数为偶数”.
解:∵二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件.
(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.
解:样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},
∴P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件.
题型(二) 相互独立事件概率的计算
02
[例2] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解:记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,
则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
变式拓展
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少
解:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,
法一 则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件,
所以P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+
0.5×0.6=0.8.
法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件,
所以P(E)=1-P( )=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
|思|维|建|模|
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件之间是相互独立的;
(2)确定这些事件可以同时发生;
(3)求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.
针对训练
2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率;
解:分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1,
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格,
则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2.
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率.
解:分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则P(A)=0.5×
0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2,
所以P(F)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3×0.7×0.8+0.7×
0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434.
题型(三) 相互独立事件概率
的综合应用
03
[例3] 为了庆祝“五四”青年节,某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛,由甲、乙两队参与竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;
解:记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B,
甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=××=.
甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人回答错误,
其概率为P(B)=××+××+×
×=.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为,.
(2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率.
解:记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D,
事件C即甲队有2人答对,其余1人答错,
则P(C)=××+××+××=.
事件D即乙队只有1人答对,其余2人答错,
则P(D)=××+××+××=.
由题得事件C与事件D相互独立,
所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=×=.
|思|维|建|模|
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
针对训练
3.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:在三门课程中,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a,b,c(a,b,c∈(0,1)),且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求应聘者用方案一和方案二时,考试通过的概率;
解:记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a,
P(B)=b,P(C)=c.
三门课程的考试,至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC,应聘者用方案一考试通过的概率
P1=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=ab+
bc+ac-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=(ab+bc+ac).
(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.
解:因为a,b,c∈(0,1),
所以P1-P2=(ab+bc+ac)-2abc=[ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)]>0,
故P1>P2,即采用方案一,该应聘者考试通过的概率大.
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A级——达标评价
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
解析:因为P()=,所以P(A)=.又P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选C.
√
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2.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 ( )
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
解析:设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,且P(AB)=
P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B.
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3.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=.
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4.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛,比赛采取三场两胜制
(当一个班获得两场胜利时,该班获胜,比赛结束),假设每场比赛甲班
获胜的概率为,每场比赛结果互不影响,则甲班最终获胜的概率为( )
A. B. C. D.
解析:甲班最终获胜有三种情况:①甲班前两场获胜;②甲班第1场和第3场获胜,第2场输;③甲班第1场输,第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜
的概率为+××+×=.
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5.(多选)已知A,B是一个随机试验中的两个随机事件,若P(AB)=,
P(A)=,P(B)=,则( )
A.事件A与B互为对立
B.事件A与B相互独立
C.P(A+B)=
D.P()=
√
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解析:因为P(AB)=≠0,所以事件A与B不互斥,所以事件A与B不互为对立,A错误;
因为P(A)P(B)=×=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立,B正确;
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,C正确;
P()=1-P(AB)=1-=,D错误.
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6.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为 .
解析:3人向目标各发1枪,由相互独立事件的概率计算公式,得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.
0.009
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7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 .
解析:加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.
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8.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,
0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 .
解析:由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24;
三人中至少有一人达标,概率为P'=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96.
0.24
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2
9.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”;
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”;
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
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(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
解:易知D=(A)+(B),则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=
0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
解:易知= ,则P()=P( )=P()P()=0.5×0.4=0.2.故P(E)=1-P()=0.8.
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10.(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,乙发球时甲得分的
概率为,各球的结果相互独立.已知在某局双方10∶10平后,甲先发球.
(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为,求p的值;
解:由题意可知,甲先发球,两人又打了2个球该局比赛结束,所对应的事件为A=“甲连赢两球或乙连赢两球”,所以P(A)=p×+(1-p)×=,
解得p=,即p的值为.
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(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
解:由题意可知,若两人又打了4个球且甲获胜,所对应的事件为B=
“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,因为甲发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,乙发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,所以P(B)=××=.
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B级——重点培优
11.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A.0.25 B.0.30
C.0.31 D.0.35
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解析:设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.6,
P(B)=P(C)=0.5,P(D)=0.4,恰好3人使用设备的概率P1=P(BCD+ACD+
ABD+ABC)=(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1-0.5)×0.5×0.4+0.6×
0.5×(1-0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25,4人使用设备的概率P2=P(ABCD)=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06,故所求概率P=P1+P2=0.25+
0.06=0.31.故选C.
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12.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为 ( )
A. B. C. D.
√
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解析:满足xy=4的所有可能为x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=×+×+×=.
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13.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于( )
A. B. C. D.
解析:由题意知,P()P()=,P()·P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y,
则即∴x2-2x+1=.∴x-1=-,
或x-1=(舍去).∴x=.
√
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14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为 .
解析:由已知条件知,第2个问题答错,第3,4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A,则P(A)=0.8,故P=P[(A+)AA]=[1-P(A)]·P(A)P(A)=0.128.
0.128
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15.(14分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,每轮比赛甲、乙各射击一次,已知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响,求下列事件的概率:
(1)第一轮射击中恰好有一人中靶;
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解:记每轮比赛中,“甲中靶”为事件A,“乙中靶”为事件B,
则P(A)=,P()=1-=,P(B)=,
P()=1-=,
记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件M,
则包含事件甲中靶乙不中靶,或甲不中靶乙中靶,
所以P(M)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=,
所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为.
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(2)经过两轮射击,两人共中靶3次.
解:记“经过两轮射击,两人共中靶3次”为事件N,
则P(N)=P(BAB)+P(AAB)+P(ABB)+P(ABA)=P()P(B)P(A)P(B)+
P(A)·P()P(A)P(B)+P(A)P(B)P()P(B)+P(A)P(B)P(A)P()
=2[P()P(B)P(A)P(B)+P(A)P()P(A)P(B)]
=2×=,
所以经过两轮射击,两人共中靶3次的概率为.课时跟踪检测(六十) 独立事件
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
2.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是 ( )
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
3.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,
某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛,比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时,该班获胜,
比赛结束),假设每场比赛甲班获胜的概率为,每场比赛结果互不影响,则甲班最终获胜的概率为 ( )
A. B.
C. D.
5.(多选)已知A,B是一个随机试验中的两个随机事件,若P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则 ( )
A.事件A与B互为对立
B.事件A与B相互独立
C.P(A+B)=
D.P()=
6.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为 .
7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,
则加工出来的零件的次品率为 .
8.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 .
9.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
10.(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立.已知在某局双方10∶10平后,甲先发球.
(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为,求p的值;
(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
B级——重点培优
11.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为 ( )
A.0.25 B.0.30
C.0.31 D.0.35
12.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为 ( )
A. B.
C. D.
13.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于 ( )
A. B.
C. D.
14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为 .
15.(14分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,每轮比赛甲、乙各射击一次,已知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响,求下列事件的概率:
(1)第一轮射击中恰好有一人中靶;
(2)经过两轮射击,两人共中靶3次.
课时跟踪检测(六十)
1．选C 因为P()＝，所以P(A)＝.又P(B)＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.
2．选B 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，且P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.
3．选C 由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.
4．选D 甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为2＋××＋×2＝.
5．选BC 因为P(AB)＝≠0，所以事件A与B不互斥，所以事件A与B不互为对立，A错误；因为P(A)P(B)＝×＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．所以事件A与B相互独立，B正确；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，C正确；P()＝1－P(AB)＝1－＝，D错误．
6．解析：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009.
答案：0.009
7．解析：加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
答案：
8．解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标，概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24 0.96
9．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A)＋(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8.
10．解：(1)由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A＝“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以P(A)＝p×＋(1－p)×＝，解得p＝，即p的值为.
(2)由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B＝“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为1－＝，乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为1－＝，所以P(B)＝××＝.
11．选C 设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD＋ACD＋ABD＋ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.
12．选C 满足xy＝4的所有可能为x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.∴所求事件的概率为P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝.
13．选D 由题意知，P()P()＝，P()P(B)＝P(A)P()．设P(A)＝x，P(B)＝y，
则
即∴x2－2x＋1＝.∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)．
∴x＝.
14．解析：由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]P(A)P(A)＝0.128.
答案：0.128
15．解：(1)记每轮比赛中，“甲中靶”为事件A，“乙中靶”为事件B，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝，P()＝1－＝，
记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件M，
则包含事件甲中靶乙不中靶，或甲不中靶乙中靶，
所以P(M)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝，所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为.
(2)记“经过两轮射击，两人共中靶3次”为事件N，则P(N)＝P(BAB)＋P(AAB)＋P(ABB)＋P(ABA)＝P()P(B)P(A)·P(B)＋P(A)P()P(A)P(B)＋P(A)P(B)P()P(B)＋P(A)P(B)P(A)P()＝2[P()P(B)P(A)P(B)＋P(A)P()P(A)P(B)]＝2×＝，所以经过两轮射击，两人共中靶3次的概率为.
