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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十四讲 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点梳理
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
1.二次函数y=a(x-h) +k的图像特征:
a>0,开口向上,a<0,开口向下;
对称轴直线x=h;
顶点坐标:(h,k)
2.要点诠释:
函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位,再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。
★简记为:上下平移,常数项上加下减;左右平移,自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y=a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h>0,k<0 h<0,k>0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h,k),抛物线最低点 (h,k),抛物线最高点
最值 当x=h 时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
增减性 当x<h时,y随x增大而减小;当x>h 时,y随x增大而增大. 当x>h时,y随x增大而增大;当x<h 时,y随x增大而减小.
要点诠释:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的,a>0开口向上,a<0开口向下,对称轴直线x=h;a>0,x>h时,y随x增大而增大,xh时,y随x增大而减小,x<0时,y随x增大而增大。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起,借助它的图象性质,运用数形结合、函数、方程思想解决问题。
题型1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象性质
【例1】.已知函数.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(2)当取何值时,随的增大而增大?
(3)当取何值时,函数取得最值?求出这个最值.
针对训练1
1.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.对于抛物线,下列判断正确的是( )
A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是
C.对称轴为直线 D.当时,
3.若二次函数的图象如图所示,则点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知抛物线的顶点为,、、、是抛物线上的四点,且线段、都垂直于抛物线的对称轴.如果,,那么的值等于 .
5.通过配方变形,将二次函数化为的形式,并指出顶点坐标及取何值时,随的增大而减小.
题型2 比较y=a(x-h)2+k函数值的大小
【例2】.已知抛物线 .
(1)若此抛物线的顶点在直线 上,求的值;
(2)若点 与点在此抛物线上,且直接写出的取值范围.
针对训练2
1.已知点在抛物线上,且,则 .(填“”或“”或“”)
2.已知二次函数的图象上有三点,,则的大小关系为 .
3.已知点,是抛物线上的两点,则,的大小关系为 .
4.1.已知抛物线经过,两点.若,是抛物线上的两点,且,则的值可以是 .(写出一个即可)
5.已知二次函数(h为常数),当自变量x的值满足时,与其对应的函数值y的最大值为,则h的值为 .
题型3 确定函数y=a(x-h)2+k经过的象限
【例3】.已知抛物线,请确定此抛物线的顶点在第几象限.
针对训练3
1.若抛物线(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若直线经过一、二、四象限,则抛物线顶点必在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若直线经过第一、三、四象限,则二次函数的图象顶点必在第 象限.
4.已知二次函数y=﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5,﹣4),那么一次函数y=mx+n的图象经过第 象限.
5.已知,则的顶点在第 象限.
题型4 二次函数y=a(x-h)2+k的平移、对称问题
【例4】.已知二次函数y=-x2+2mx-2m2-3(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该二次函数图像与x轴没有公共点;
(2)如果把该函数图像沿y轴向上平移4个单位后,得到的函数图像与x轴只有一个公共点,试求m的值.
针对训练4
1.将二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
2.将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.若点在抛物线()上,则下列各点在抛物线上的是( )
A. B.
C. D.
4.抛物线过两点,将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M,设抛物线M的顶点为C.若是以为斜边的直角三角形,则点C的坐标为 .
5.已知函数y=﹣(x+1)2﹣2
(1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标为
(2)当x 时,y随x的增大而增大
(3)怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣(x+1)2﹣2
题型5 求二次函数y=a(x-h)2+k最值问题
【例5】.设二次函数,当时,函数有最小值,则的值为 .
针对训练5
1.已知抛物线,当时,函数的最大值为( )
A. B. C. D.
2.已知二次函数,当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知二次函数的图象与x轴交于点和点,其中a为常数,则该二次函数的最大值为( )
A.1 B. C. D.
4.已知二次函数,当时,函数y的最小值是( )
A.1 B. C. D.
5.二次函数,当且时,y的最小值为,最大值为,则的值为( )
A. B.2 C. D.
题型6 二次函数y=a(x-h)2+k与几何问题
【例6】.如图,直线与轴、轴分别交于点、.抛物线经过、,并与轴交于另一点,其顶点为,
(1)求,的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点,使的周长最小?若存在,求的周长;若不存在,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点,使是以为斜边的直角三角形?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
针对训练6
1.如图,在中,点 D 为边上一个动点,以为边在的上方作正方形,当取得最小值时,的长为 .
2.如图,抛物线向右平移1个单位得到的抛物线.回答下列问题:
(1)抛物线的解析式是 ,顶点坐标为 ;
(2)阴影部分的面积 ;
(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线,则抛物线的解析式为 ,开口方向 ,顶点坐标为 .
3.已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点,且图象过点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求出该函数的最值,并说明是最大值还是最小值?
4.如图,点C为二次函数的顶点,直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上),与二次函数图象的对称轴交于点D.
(1)求m的值及点C坐标;
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出符合条件的Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,已知抛物线的顶点坐标为,且与轴交于点和点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点,当周长最小时,求点的坐标;
(3)如图,若点是抛物线第二象限内一点,连接,过点作交轴于点,连接,是否存在点,使得的面积存在最大值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升 创新拓展
1.已知二次函数的图象与直线y=x+m交于x轴上一点A(﹣1,0),二次函数图象的顶点C(1,﹣4),若二次函数的图象与x轴交于另一点B,与直线y=x+m交于另一点D,求点B与点D之间的距离.
2.已知二次函数y=﹣(x+1)2+2.
(1)填空:此函数图象的顶点坐标是 ;
(2)当x 时,函数y的值随x的增大而减小;
(3)设此函数图象与x轴的交于点A、B,与y轴交于点C,连接AC及BC,试求△ABC的面积.
3.已知抛物线
(1)填空:抛物线的顶点坐标是( , ),对称轴是 ;
(2)已知y轴上一点A(0,-2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点 N,使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十四讲 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(解析版)
知识点梳理
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
1.二次函数y=a(x-h) +k的图像特征:
a>0,开口向上,a<0,开口向下;
对称轴直线x=h;
顶点坐标:(h,k)
2.要点诠释:
函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位,再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。
★简记为:上下平移,常数项上加下减;左右平移,自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y=a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h>0,k<0 h<0,k>0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h,k),抛物线最低点 (h,k),抛物线最高点
最值 当x=h 时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k
增减性 当x<h时,y随x增大而减小;当x>h 时,y随x增大而增大. 当x>h时,y随x增大而增大;当x<h 时,y随x增大而减小.
要点诠释:
二次函数y=a(x-h)2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的,a>0开口向上,a<0开口向下,对称轴直线x=h;a>0,x>h时,y随x增大而增大,xh时,y随x增大而减小,x<0时,y随x增大而增大。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起,借助它的图象性质,运用数形结合、函数、方程思想解决问题。
题型1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象性质
【例1】.已知函数.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(2)当取何值时,随的增大而增大?
(3)当取何值时,函数取得最值?求出这个最值.
【答案】(1)开口方向向上,对称轴,顶点坐标为;
(2)当时,随的增大而增大;
(3)当时,有最小值为.
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
()依据题意,根据所给解析式可以得解;
()依据题意,根据二次函数的增减性可以判断得解;
()依据题意,由开口向上,函数有最小值,进而可以得解.
【详解】(1)解:由抛物线的解析式为,
∴开口方向向上,对称轴,顶点坐标为;
(2)解:∵抛物线开口向上,
∴当时,随的增大而增大;
(3)解:∵抛物线开口向上,
∴当时,有最小值为.
针对训练1
1.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质,根据顶点式的顶点坐标为求解即可.
【详解】解:二次函数的顶点坐标是,
故选:D.
2.对于抛物线,下列判断正确的是( )
A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是
C.对称轴为直线 D.当时,
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握的图象与性质是解题的关键.
根据的图象与性质判断即可.
【详解】解:由解析式可得,抛物线的顶点坐标是,对称轴为直线,
故B错误,不符合题意;C正确,符合题意;
∵,
∴抛物线开口向下,故A错误,不符合题意;
当时,,故D错误,不符合题意,
故选:C.
3.若二次函数的图象如图所示,则点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质,掌握图象的开口,顶点坐标的位置是关键.
根据图象可得顶点的坐标为,由此得到,,结合象限的特点即可求解.
【详解】解:二次函数为,
顶点的坐标为,
又顶点在第三象限,
,,
,,
在第四象限.
故选:D.
4.已知抛物线的顶点为,、、、是抛物线上的四点,且线段、都垂直于抛物线的对称轴.如果,,那么的值等于 .
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质,以及几何图形中三角形面积的计算,解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义,进而确定点的坐标,计算面积比.
先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线,再根据对称轴性质设点坐标为,点坐标为,点坐标为,点坐标为,进而求得的纵坐标为:,的纵坐标为:,再利用底和高的关系,求出面积比.
【详解】解:∵抛物线方程为,
∴顶点为,对称轴为直线,
∵线段、都垂直于抛物线的对称轴,,,
∴线段、为水平方向,中点在对称轴上,
∴设点坐标为,点坐标为,点坐标为,点坐标为,
∴的纵坐标:,
的纵坐标为:,
∴的面积:底为,高为顶点到的垂直距离,面积为,
的面积:底为,高为顶点到的垂直距离,面积为,
∴面积比为,
故答案为:.
5.通过配方变形,将二次函数化为的形式,并指出顶点坐标及取何值时,随的增大而减小.
【答案】;顶点坐标为;当时,随的增大而减小.
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,利用配方法将二次函数化成顶点式,根据顶点式可得出顶点坐标,再根据二次函数的增减性质即可解答,掌握相关知识是解题的关键.
【详解】解:
,
∴顶点坐标为,
∵,
∴当时,随的增大而减小.
题型2 比较y=a(x-h)2+k函数值的大小
【例2】.已知抛物线 .
(1)若此抛物线的顶点在直线 上,求的值;
(2)若点 与点在此抛物线上,且直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】()根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为,再代入一次函数解析式解答即可求解;
()根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为,进而根据二次函数的性质解答即可求解;
本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数的顶点式,掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
【详解】(1)解:∵抛物线 ,
∴抛物线的顶点坐标为,
∵此抛物线的顶点在直线 上,
∴,
解得;
(2)解:∵抛物线的顶点坐标为,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴点关于抛物线对称轴的对称点为,
∵抛物线开口向上,
∴当时,.
针对训练2
1.已知点在抛物线上,且,则 .(填“”或“”或“”)
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质,依据题意,求出抛物线的对称轴,根据抛物线开口向上,故当时,y随x的增大而减小,进而判断得解.
【详解】解:由题意得抛物线的对称轴,
又∵,
∴抛物线开口向上.
∴当时y随x的增大而减小.
∴对于A、B当时,.
故答案为:.
2.已知二次函数的图象上有三点,,则的大小关系为 .
【答案】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性.根据函数顶点式的特点,确定其对称轴为,图象开口向上;利用二次函数的对称性和增减性即可判断.
【详解】解:∵二次函数,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线,
∴距离对称轴越近,函数值越小,
而,
∴,
故答案为:.
3.已知点,是抛物线上的两点,则,的大小关系为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
依据题意,由抛物线为,从而抛物线开口向上,对称轴是直线,故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小,结合,即可判断得解.
【详解】解:由题意,∵抛物线为,
∴抛物线开口向上,对称轴是直线.
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小.
,
,
故答案为:.
4.1.已知抛物线经过,两点.若,是抛物线上的两点,且,则的值可以是 .(写出一个即可)
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,利用抛物线的对称性质及开口方向,确定点,到对称轴的距离关系,从而比较大小即可,掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
【详解】解:∵抛物线经过,两点,
∴该抛物线的对称轴为直线,函数图象开口向上,
∴点关于直线,的对称点为,
∵,
∴或,
∴的值可以是,
故答案为:(答案不唯一).
5.已知二次函数(h为常数),当自变量x的值满足时,与其对应的函数值y的最大值为,则h的值为 .
【答案】7或0
【分析】由解析式可知该函数在时取得最大值1;时,y随x的增大而增大、当时,y随x的增大而减小,根据时,函数的最大值为,可分如下两种情况:①若,时,y取得最大值;②若,当时,y取得最大值,分别列出关于h的方程求解即可.
【详解】解:∵,
则当时,y随x的增大而增大,当时,y随x的增大而减小,
∴①若,,时,y取得最大值,
可得:,
解得:0或4(舍);
②若,,当时,y取得最大值,
可得:,
解得:7或3(舍);
③当,时,最大值为1,不符合题意,
综上,h的值为7或0,
故答案为:7或0.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值,根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
题型3 确定函数y=a(x-h)2+k经过的象限
【例3】.已知抛物线,请确定此抛物线的顶点在第几象限.
【答案】第二象限
【分析】将抛物线化成顶点式:,判断顶点所在象限,即可求解.
【详解】解:
,
抛物线的顶点坐标为,
,,
此抛物线的顶点在第二象限.
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式,求顶点,点的象限判断,掌握将抛物线的一般式化为顶点式的方法是解题的关键.
针对训练3
1.若抛物线(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质;
将抛物线解析式化成顶点式,可得抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,然后根据题意得出关于m的不等式组,求解即可.
【详解】解:∵,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,
∵抛物线(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限,
∴,
∴,
故选:C.
2.若直线经过一、二、四象限,则抛物线顶点必在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质,直线经过一、二、四象限可判断的符号,再由抛物线求顶点坐标,判断象限,即可求解;熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键.
【详解】解:直线经过一、二、四象限,
∴,
∴抛物线的顶点必在第二象限,
故选:.
3.若直线经过第一、三、四象限,则二次函数的图象顶点必在第 象限.
【答案】二
【分析】先根据一次函数经过的象限得到,再由二次函数的图象顶点坐标为(m,1)即可得到答案.
【详解】解:∵直线经过第一、三、四象限,
∴,
∵二次函数的图象顶点坐标为(m,1),
∴二次函数的图象顶点在第二象限,
故答案为:二.
【点睛】本题主要考查了根据一次函数经过的象限求参数范围,二次函数的性质,每个象限内点的坐标特点,正确得到是解题的关键.
4.已知二次函数y=﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5,﹣4),那么一次函数y=mx+n的图象经过第 象限.
【答案】一、三、四
【分析】由二次函数y=-8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(-5,-4),得出m=5,n=-4,进一步利用一次函数的性质得出答案即可.
【详解】解:∵y=﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5,﹣4),
∴m=5,n=﹣4,
∴一次函数y=5x﹣4,
∴图象经过一、三、四象限.
故答案为:一、三、四.
【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质,关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值.
5.已知,则的顶点在第 象限.
【答案】二
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质,非负数的性质,判断点所在的象限,先由非负数的性质得到,则,再由二次函数的性质得到顶点坐标为,即,据此可得答案.
【详解】解;∵,,
∴,
∴,
∴,
∴的顶点坐标为,即,
∴的顶点在第二象限,
故答案为:二.
题型4 二次函数y=a(x-h)2+k的平移、对称问题
【例4】.已知二次函数y=-x2+2mx-2m2-3(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,该二次函数图像与x轴没有公共点;
(2)如果把该函数图像沿y轴向上平移4个单位后,得到的函数图像与x轴只有一个公共点,试求m的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)m =±1
【详解】(1)令y=0,-x2+2mx-2m2-3=0,………………1分
则a=-1,b=2m,c=-2m2-3.
∴b 2-4ac=(2m)2-4(-1)(-2m2-3)=-4m2-12且,…2分
∵-4m2≤0,∴-4m2-12<0,即b 2-4ac<0
∴一元二次方程-x2+2mx-2m2-3=0没有实数根, ………3分
∴不论m为何值,该二次函数图像与x轴没有公共点.…………4分
(2)将二次函数y=-x2+2mx-2m2-3配方得:
y =-(x- m)2-m 2-3,………………5分
∴该二次函数图像的顶点坐标为( m,-m 2-3),………………6分
∵将函数图像沿y轴向上平移4个单位后,得到的函数图像与x轴只有一个公共点,
∴-m 2-3+4=0, …………7分
解得m =±1
针对训练4
1.将二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题,先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标,再根据“上加下减,左减右加”的平移规律求解即可.
【详解】解:∵平移前二次函数解析式为,
∴平移前的二次函数的顶点坐标为,
∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为,即,
故选:B.
2.将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象平移后所得函数图象的顶点坐标,二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即,即可得出答案.
【详解】解:二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即,
故顶点坐标为,
故选:C.
3.若点在抛物线()上,则下列各点在抛物线上的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查函数图象与点的平移,通过函数解析式得到平移方式是解题的关键.观察抛物线和抛物线可以发现,它们通过平移得到,故点通过相同的平移落在抛物线上,从而得到结论.
【详解】∵抛物线是抛物线()向右平移2个单位长度,再向上平移3个长度单位得到,
∴抛物线上点向右平移2个单位长度,再向上平移3个长度单位,会落在抛物线上,
∴点在抛物线上,
故选:D
4.抛物线过两点,将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M,设抛物线M的顶点为C.若是以为斜边的直角三角形,则点C的坐标为 .
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,二次函数图象的平移,勾股定理等.由抛物线的对称性求出点B的坐标,由抛物线的平移表示出点C的坐标,再根据勾股定理列方程即可求解.
【详解】解:抛物线L的解析式为,
抛物线L的对称轴为直线,顶点坐标为,
抛物线L过两点,
,
,
,,
抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M,
设抛物线M的顶点,
,,
是以为斜边的直角三角形,
,
,
整理得,
解得,,
点C的坐标为或
故答案为:或.
5.已知函数y=﹣(x+1)2﹣2
(1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标为
(2)当x 时,y随x的增大而增大
(3)怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣(x+1)2﹣2
【答案】(1)开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为(-1,-2);(2) ;(3)向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度.
【分析】(1)利用二次根式的性质确定出开口方向,顶点坐标以及对称轴即可;
(2)由对称轴和开口方向得出增减性;
(3)根据平移规律回答问题.
【详解】(1)∵a=- <0,
∴抛物线开口向下,
顶点坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-1;
故答案是:开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为(-1,-2);
(2)∵对称轴x=-1,
∴当x<-1时,y随x的增大而减大.
故答案是: ;
(3)向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-2.
【点睛】本题考查了顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性以及平移规律,掌握顶点式的性质是解题的关键.
题型5 求二次函数y=a(x-h)2+k最值问题
【例5】.设二次函数,当时,函数有最小值,则的值为 .
【答案】
【分析】先将二次函数化成顶点式,于是可得其对称轴为直线,由可得抛物线开口向上,然后分三种情况讨论:①当时;②当时;③当时;分别求解并验证结果是否符合题意即可.
【详解】解:,
二次函数的对称轴为直线,
,
抛物线开口向上,
分三种情况讨论:
①当时,
即时,此时时,函数有最小值,
将代入,得:
,
解得:,
与相矛盾,不符合题意,故舍去;
②当时,
即时,顶点处取最小值,
,
解得:或(不符合题意,故舍去),
;
③当时,
即时,此时时,函数有最小值,
将代入,得:
,
解得:,
与相矛盾,不符合题意,故舍去;
综上,的值为,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值,把化成顶点式,的图象与性质,二次函数的图象与系数的关系,因式分解法解一元二次方程,解一元一次方程等知识点,熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键.
针对训练5
1.已知抛物线,当时,函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式,从而可得抛物线开口向上,对称轴是,根据二次函数的性质可知当时,函数的最大值为.
【详解】解:整理:,
可得:,
抛物线开口向上,对称轴是,
当时,随的增大而减小,
当时,随的增大而增大,
当时,,
当时,,
当时,函数的最大值为.
故选:A.
2.已知二次函数,当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
根据题意,结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题.
【详解】解:∵,
∴对称轴为直线,对称轴上的点离对称轴越远,函数值越大,
∵,当时,函数取得最大值,当时,函数取得最小值,
∴,
∴,
故选:A.
3.已知二次函数的图象与x轴交于点和点,其中a为常数,则该二次函数的最大值为( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质;根据题意得到展开整理成顶点式即可求出.
【详解】解:根据题意得,
当时,有最大值;
故选:C.
4.已知二次函数,当时,函数y的最小值是( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根据题意得二次函数的对称轴为直线,进而可根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】解:由题意得:二次函数的对称轴为直线,
∵,
∴当时,y随x的增大而减小,
∵,
∴当时,二次函数有最小值,即为:.
故选:D.
5.二次函数,当且时,y的最小值为,最大值为,则的值为( )
A. B.2 C. D.
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的最值,结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可.
【详解】二次函数 的大致图象如下:
①当时,
当时,取最小值,即,
解得:(正数舍去),
当时,取最大值,即,
解得:或(均不合题意,舍去);
②当时,
当时,取最小值,即,
解得:(正数舍去),
当时,取最大值,即,
解得:
或时,取最小值, 时取最大值,
,
,
,
∴此种情形不合题意,
所以,
故选:D.
题型6 二次函数y=a(x-h)2+k与几何问题
【例6】.如图,直线与轴、轴分别交于点、.抛物线经过、,并与轴交于另一点,其顶点为,
(1)求,的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点,使的周长最小?若存在,求的周长;若不存在,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点,使是以为斜边的直角三角形?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
(2)存在,的周长最小为
(3)或
【分析】(1)根据直线与轴、轴分别交于点、,进行计算得,,根据抛物线经过点、得,计算求出,的值即可;
(2)由、关于对称轴对称,连接交对称轴于点,连接,,根据两点之间线段最短,即为使的周长最小的点,计算、,求出的最小周长即可;
(3)设,根据,,得,,,当是以为斜边的直角三角形时,由勾股定理得,,代入计算即可得出点的坐标.
【详解】(1)∵直线与轴、轴分别交于点、,
∴,
,解得:,
∴,.
∵抛物线经过、,
∴把,代入抛物线,得:,
解得:;
(2)∵抛物线,
∴对称轴为,
∴,
∴.
如下图,连接交对称轴于点,连接,
∵、两点关于对称轴对称,
∴,
∴.
∵两点之间线段最短,
∴最小,
∴周长最小,
∵,,
∴设直线解析式为,把代入得:,
解得:,
∴直线解析式为,当时,,
∴;
∴存在满足条件的点,此时,且,
∴的周长最小为;
(3)设,
∵,,
∴,
,
,
当是以为斜边的直角三角形时,由勾股定理得:,
,
,
,
,
,,
∴或.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题,熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键.
针对训练6
1.如图,在中,点 D 为边上一个动点,以为边在的上方作正方形,当取得最小值时,的长为 .
【答案】
【分析】过点作于,由四边形是正方形,得,,可证明,即有,,从而,而,根据二次函数性质可得取得最小值时,,即可得到答案.
【详解】解:过点作于,如图所示:
四边形是正方形,
,,
,,
,且,,
,
,,
,
,
,
当时,最小,则也最小,
此时,
故答案为:.
【点睛】本题考查正方形中的动点问题,涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图像与性质等知识,熟记二次函数表图像与性质,用含的代数式表示是解决问题的关键..
2.如图,抛物线向右平移1个单位得到的抛物线.回答下列问题:
(1)抛物线的解析式是 ,顶点坐标为 ;
(2)阴影部分的面积 ;
(3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线,则抛物线的解析式为 ,开口方向 ,顶点坐标为 .
【答案】 2 向上
【分析】此题考查了二次函数的图像与几何变化,用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标,关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换.
(1)根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式,再根据的解析式求出顶点坐标即可;
(2)根据平移的性质知,阴影部分的面积等于底高,列式计算即可;
(3)先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标,从而得出抛物线的解析式.
【详解】解:(1)∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线,
∴抛物线的解析式是,顶点坐标为.
故答案为:,;
(2)阴影部分的面积是:.
故答案为:2;
(3)∵将抛物线绕原点O旋转后,得到抛物线的顶点坐标为:,
∴抛物线的解析式为,开口方向向上.
故答案为:,向上,.
3.已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点,且图象过点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求出该函数的最值,并说明是最大值还是最小值?
【答案】(1)
(2)最值为4,为最大值
【分析】本题考查二次函数的知识,解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,二次函数交点式,顶点式的性质,进行解答,即可.
(1)根据二次函数与轴的两个交点的坐标,设出二次函数交点式解析式,然后把点的坐标代入计算,求出的值,即可得到二次函数解析式;
(2)把(1)中的解析式配成顶点式得到,然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】(1)解:∵二次函数的图象交轴于,
∴设该二次函数的解析式为:
∵二次函数图象过点
∴将代入,得,
解得,
∴抛物线的解析式为,
即.
(2)解:∵,
∴这个函数的图象的开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为,
∴最值为4,为最大值.
4.如图,点C为二次函数的顶点,直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上),与二次函数图象的对称轴交于点D.
(1)求m的值及点C坐标;
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出符合条件的Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
(2)存在,或或或.
【分析】(1)将点坐标代入解析式可求的值,利用待定系数法可求抛物线解析式;
(2)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质求解.
本题是二次函数综合题,考查了待定系数法,等腰三角形的性质,两点距离公式,勾股定理等知识,利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
【详解】(1)解: 直线过点,
,
,
,
,
二次函数解析式为,
顶点坐标为;
(2)解:存在点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形.
顶点坐标为,
对称轴为直线,
过点作于点,
在中,.
①当时,设,
在中,
解之得
;
②当时,根据等腰三角形三线合一得:,
,
;
③当时,,
,.
综上所述:点的坐标为或或或.
5.如图,已知抛物线的顶点坐标为,且与轴交于点和点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和点的坐标;
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点,当周长最小时,求点的坐标;
(3)如图,若点是抛物线第二象限内一点,连接,过点作交轴于点,连接,是否存在点,使得的面积存在最大值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
(2)
(3)存在,
【分析】(1)已知抛物线的顶点坐标为,因此可设抛物线的解析式为,由于抛物线与轴交于点,因而可利用待定系数法求出该二次函数的解析式,进而可求出该抛物线与轴的交点坐标,即点的坐标;
(2)连接,作点关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点,则点即为所求,由于已知点和点的坐标,根据轴对称的性质可求得点和点的坐标,设直线的解析式为,将点和点的坐标代入,利用待定系数法即可求出直线的解析式,进而可求出当周长最小时点的坐标;
(3)连接、,过点作轴交轴于点,交直线于点,由且平行线之间的距离处处相等可得,然后利用待定系数法可求出直线的解析式,设点的坐标为,则点的坐标为,于是可得,进而可推出,据此即可求出取得最大值时的值以及此时点的坐标.
【详解】(1)解:抛物线的顶点坐标为,
可设抛物线的解析式为,
抛物线与轴交于点,
,
解得:,
抛物线的解析式为,
令,
则,
点的坐标为;
(2)解:如图,连接,作点关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点,则点即为所求,
由(1)可知:,
由轴对称的性质可得:,
,
,
由轴对称的性质可得:,
,
设直线的解析式为,
将,代入,得:
,
解得:,
直线的解析式为,
当时,,
当周长最小时,点的坐标为;
(3)解:存在,点的坐标为,
理由如下:
如图,连接、,过点作轴交轴于点,交直线于点,
由(1)可得:抛物线解析式为,
平行线与之间的距离,
平行线与之间的距离,
又,且平行线之间的距离处处相等,
,
设直线的解析式为,
将,代入,得:
,
解得:,
直线的解析式为,
设点的坐标为,
则点的坐标为,
,
,
,
当时,取得最大值,即取得最大值,
此时,点的纵坐标为,
点的坐标为.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质,待定系数法求二次函数解析式,解一元一次方程,求抛物线与轴的交点坐标,轴对称的性质,待定系数法求一次函数解析式,解二元一次方程组,轴对称中的光线反射问题,求一次函数的函数值,三角形的面积公式,利用平行线间距离解决问题,已知两点坐标求两点距离,把化成顶点式,求二次函数的函数值等知识点,熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键.
能力提升 创新拓展
1.已知二次函数的图象与直线y=x+m交于x轴上一点A(﹣1,0),二次函数图象的顶点C(1,﹣4),若二次函数的图象与x轴交于另一点B,与直线y=x+m交于另一点D,求点B与点D之间的距离.
【答案】
【分析】将二次函数的解析式设为顶点式,再把点A的坐标代入可求得二次函数的解析式,令,解方程求出B点的坐标,把A的坐标代入求出直线的解析式,联立二次函数与直线的解析式求出D点坐标,最后根据勾股定理求得点B与点D之间的距离.
【详解】如图,因二次函数的顶点为,故设二次函数的解析式为
把代入上式得:
解得:
则这个二次函数的解析式为:,即;
令,即
解得:
则点B的坐标为
把代入得:
解得:
则直线的解析式为:
将直线与二次函数的解析式联立得方程组:
解得:或
则点D的坐标为
由勾股定理得:
故点B与点D之间的距离为.
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的结合,利用待定系数法求出两个函数的解析式是解题关键.
2.已知二次函数y=﹣(x+1)2+2.
(1)填空:此函数图象的顶点坐标是 ;
(2)当x 时,函数y的值随x的增大而减小;
(3)设此函数图象与x轴的交于点A、B,与y轴交于点C,连接AC及BC,试求△ABC的面积.
【答案】(1)(﹣1,2);(2)x>﹣1(或x≥﹣1);(3)3.
【分析】(1)根据二次函数顶点式的形式解答即可;(2)根据二次函数的性质,图像的开口方向及对称轴解答即可;(3)先求出A、B、C三点坐标,再求出AB的距离,即可求出△ABC的面积;
【详解】(1)二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是(﹣1,2).
故答案是:(﹣1,2);
(2)因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下,且对称轴是直线x=﹣1,
所以当x>﹣1(或x≥﹣1)时,函数y的值随x的增大而减小.
故答案是:x>﹣1(或x≥﹣1);
(3)令x=0时,易求: y=,
∴点C的坐标为(0,)即:OC=
令y=0时,易求:x1=1,x2=﹣3
易求:AB=4.
∴=3.
【点睛】本题考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.
3.已知抛物线
(1)填空:抛物线的顶点坐标是( , ),对称轴是 ;
(2)已知y轴上一点A(0,-2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点 N,使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)、顶点(0,-1),对称轴:y轴;(2)、P1() P2();(3)、当点P的坐标为() 时:N1() N2(-),N3();当点P的坐标为()时,N4(), N5() , N6()
【详解】试题分析:(1)根据解析式可求得顶点坐标和对称轴;(2)根据等边三角形的性质来进行求解,本题可以首先设出点P的坐标,然后求出PA、PB、AB的长度,然后根据等边三角形的性质进行计算;(3)分两种情况根据菱形的性质求出点N的坐标.
试题解析:(1)顶点(0,-1),对称轴: y轴(或直线 x = 0)
(2)P1() P2()
(3)当点P的坐标为() 时:N1() N2(-),N3();当点P的坐标为()时,N4(),N5() , N6().
考点:二次函数的应用、等边三角形的性质.
典例精讲 1
典例精讲2
典例精讲
典例精讲3
典例精讲5
典例精讲6
典例精讲 1
典例精讲2
典例精讲
典例精讲3
典例精讲5
典例精讲6
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