2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：3.1.3.2函数奇偶性的应用（含解析）

3.1.3.1函数奇偶性的应用
一、选择题
1．已知f (x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么(　　)
A．f (2)＝－2
B．f (2)＝2
C．f (2)<－2
D．f (2)>－2
2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝－x2＋2x－3　 B．f (x)＝－x2－2x－3
C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3
3．若函数f (x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f (x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
4．(多选)设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　)
A．|f (x)|－g(x)是奇函数
B．|f (x)|＋g(x)是偶函数
C．f (x)－|g(x)|是奇函数
D．f (x)＋|g(x)|是偶函数
5．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)A． B．
C． D．
6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，f (3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，则不等式(x－1)f (x＋1)≥0的解集是(　　)
A．(－∞，1]∪[2，＋∞)
B．[－4，－1]∪[0，1]
C．[－4，－1]∪[1，2]
D．[－4，－1]∪[2，＋∞)
7．(多选)已知函数f (x)＝＋|x－2a|，其中a>0，则(　　)
A．f (x)≥2
B．f (x)图象的对称轴是直线x＝a＋
C．f (x)图象在直线y＝x的上方
D．当f (3)<5时，二、填空题
8．函数f (x)在R上为偶函数，且x＞0时，f (x)＝＋1，则当x＜0时，f (x)＝________．
9．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
10．已知奇函数g(x)是R上的减函数，且f (x)＝g(x)＋2．若f (m)＋f (m－2)＞4，则实数m的取值范围是________．
11．如果函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝________．
12．若函数f (x)满足在定义域内存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)，则称函数f (x)为“有偶函数”．若函数f (x)＝是在R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝x2＋2ax－1．
(1)若f (1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f (x)的最小值；
(2)若f (x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f (x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
14．设函数y＝f (x)(x∈R且x≠0)，对任意实数x1，x2满足f (x1)＋f (x2)＝f (x1x2)．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)求证：y＝f (x)为偶函数；
(3)若y＝f (x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f (2x－1)>f (1)的x的取值范围．
15．给出关于函数f (x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上是减函数；②在(－∞，0)上是增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f (0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面的问题中：
定义在R上的函数f (x)，若满足________(填写你选定条件的序号)，且f (－1)＝0，求不等式f (x－1)>0的解集．
(1)若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；
(2)若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号(不必说明理由)；
(3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集．
答案解析
1．D　[由题图可知f (－2)<2，
因为函数是奇函数，
所以f (－2)＝－f (2)，即－f (2)<2，
所以f (2)>－2．故选D．]
2．B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝－f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．]
3．A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f (x)＝－2x2＋1，所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．故选A．]
4．ABC　[根据题意有f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋|g(－x)|＝f (x)＋|－g(x)|＝f (x)＋|g(x)|，所以f (x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．]
5．A　[由题意得|2x－1|< －<2x－1< <2x< 6．C　[由f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，可知f (x)图象关于点(0，0)对称，
即函数f (x)是定义在R上的奇函数，
由<0可知f (x)在(－∞，0)上单调递减，f (3)＝0，所以f (x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f (－3)＝0，f (0)＝0，
所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x)>0；
当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)<0，
所以由(x－1)f (x＋1)≥0，可得或或x－1＝0，
解得－4≤x≤－1或者1≤x≤2，即不等式的解集为[－4，－1]∪[1，2]．故选C．]
7．AC　[当x≤－时，f (x)＝－2x－＋2a；
当－当x≥2a时，f (x)＝2x＋－2a，函数图象如图，
当－即f (x)min＝2a＋≥2，当且仅当a＝时取等号，
故f (x)≥2，A正确．
函数对称轴为x＝＝a－，B错误．
当x＝2a时，y＝x＝2a，且a>0，
所以2a＋>2a，
所以f (x)图象在直线y＝x的上方，C正确．
当3<2a时，即a>时，
f (3)＝＋2a<5，解得故当3≥2a时，即0f (3)＝6＋－2a<5，
解得a>1或a<－，
故1综上，18．＋1　[∵f (x)为偶函数，x＞0时，f (x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，f (x)＝f (－x)＝＋1，
即x＜0时，f (x)＝＋1．]
9．{x|－33}　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f (3)＝f (－3)＝0．
当x>0时，令f (x)<0，解得x>3；
当x<0时，令f (x)>0，解得－3∴<0的解集为{x|－33}．]
10．(－∞，1)　[由题知f (x)＝g(x)＋2，
若f (m)＋f (m－2)＞4，
即g(m)＋2＋g(m－2)＋2＞4，
则有g(m)＞－g(m－2)．
又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)＞g(2－m)，则m＜2－m，解得m＜1，即m的取值范围为(－∞，1)．]
11．2x＋3　[当x<0时，－x>0，
故g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3，
所以f (x)＝2x＋3．]
12．　[因为f (x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)．若x<0，则－x>0，故方程－x－1＝ax2－x有解，即a＝－在(－∞，0)上有解．而y＝－＝－＋，又<0，故y＝－的值域为，即a≤．若x>0，则－x<0，故方程x－1＝ax2＋x有解，即a＝在(0，＋∞)上有解．而y＝＝－＋，又>0，故y＝的值域为，即a≤．综上，实数a的取值范围是．]
13．解：　(1)由题意可知，f (1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，
此时函数f (x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f (x)min＝－2．
(2)若f (x)为偶函数，则对任意x∈R，
f (－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f (x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0．
(3)函数f (x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f (x)在(－∞，4]上单调递减，
所以4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4]．
14．解：　(1)当x1＝x2＝1时，f (1)＋f (1)＝f (1)，
得f (1)＝0，当x1＝x2＝－1时，
f (－1)＋f (－1)＝f (－1×(－1))＝f (1)＝0，
所以2f (－1)＝0，所以f (－1)＝0．
(2)证明：当x2＝－1时，
f (x1)＋f (－1)＝f (－x1)，
又f (－1)＝0，
所以f (x1)＝f (－x1)，
又x∈R且x≠0，f (x)的定义域关于原点对称，
所以f (x)是偶函数．
(3)因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x)是偶函数，
所以f (x)在(－∞，0)上为增函数，
又f (2x－1)>f (1)，
即0<|2x－1|<1，
解得x∈．
15．解：　(1)若不等式f (x－1)>0的解集为空集，即f (x－1)≤0恒成立．因为f (－1)＝0，所以函数f (x)不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选．选③④时，f (x)的表达式为f (x)＝0，不等式f (x－1)>0的解集为空集．所以选③④．
(2)若不等式f (x－1)>0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤．
(3)若选择①③．由f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．
又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是减函数，因为f (x－1)>0，则x－1<－1或00的解集为(－∞，0)∪(1，2)．
若选择①④⑤．由f (x)是偶函数，及f (－1)＝0，得f (1)＝0．
又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是增函数．
由f (x－1)>0，得－10的解集为(0，1)∪(1，2)．
若选择②③．因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是增函数．由f (x－1)>0，得－11，解得02，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．
若选择②④⑤．因为f (x)是偶函数，f (－1)＝0，则f (1)＝0．
又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是减函数．由f (x－1)>0，得－1解得0所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)．
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