浙江省山海高中共富联盟2024-2025学年高一下学期阶段性联考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·浙江期末）复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：∵，∴复数所对应的点为.故答案为：B.
【分析】先利用复数的四则运算化简可得，再利用复数的几何意义即可求解.
2．（2025高一下·浙江期末）1班有学生45人，2班有学生27人，3班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出24人参加数学趣味活动，那么1班被抽取的人数是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样的比例计算可得（人）.
故答案为：B.
【分析】 根据分层抽样的比例计算，需要先算出三个班的总人数，再求出1班人数占总人数的比例，最后用该比例乘以抽取的总人数，得到1班被抽取的人数.
3．（2025高一下·浙江期末）现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（ ）
A．14 B．14.5 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列：12，12，13，14，15，18，19，20，由，
得这组数据得第55百分位数为第五个数，等于15.
故答案为：C.
【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义，通过计算数据个数与百分位的乘积，确定百分位数对应的位置，从而找到对应的数值.
4．（2025高一下·浙江期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、根据面面平行的判定定理，一个面内两条相交的直线与另一个平面平行，才能得到两平面平行，A错误；
B、由，可得或，B错误；
C、由，可得或，C错误；
D、因，即平面相交成直角，又，故平面与平面也成直角，即，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据面面平行的判定定理可判断A错误；根据线面平行判定定理可以判断B错误；根据线面平行判定定理判断C错误；根据两平面所成的角的概念，结合条件即可判断D正确；
5．（2025高一下·浙江期末）已知的方差为3，则的方差为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的方差为3，
所以的方差为.
故答案为：C.
【分析】依据方差的性质可得答案.
6．（2025高一下·浙江期末）若，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C．2 D．28
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用向量模长与向量数量积的关系，将转化为含有和模长及它们数量积的形式，再代入已知条件计算.
7．（2025高一下·浙江期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由圆台上下底面圆的半径分别为高为，
可求得母线长为.
则.
故答案为：D.
【分析】先明确圆台侧面积公式需要用到母线长，所以要先根据圆台上下底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算.
8．（2025高一下·浙江期末）如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：设，由，得，则 ，
中：根据正弦定理，，即
中：同理，，即
因（已知），且（邻补角），故
由正弦定理比例关系可得：
根据二倍角公式，化简得：
由，得
代入，则：
用二倍角余弦公式，代入：
故答案为：B．
【分析】1. 设角转化：通过设，将 表示为，简化角度关系.
2. 正弦定理应用：在两个三角形中列正弦定理，利用和（值相等 ），建立与的比例.
3. 向量与三角恒等变换：结合向量关系得，代入化简后用二倍角公式求 .
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·浙江期末）某新能源汽车4S店2024年6月到2025年3月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，19，24，25，25，27，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为16，19，24，25，25，27，32，35，37，40，
平均数为，
则极差为，众数为25，
由题意，所以这组数据的中位数为，ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先将数据排序，再分别依据极差（最大值与最小值的差 ）、平均数（所有数据之和除以数据个数 ）、众数（出现次数最多的数据 ）、中位数（排序后中间位置的数，若数据个数为偶数则是中间两个数的平均值 ）的定义，依次计算并判断选项 .
10．（2025高一下·浙江期末）如图，是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】A、根据平面向量的减法运算法则可得：，A正确；
B、因为，
所以，B不正确；
C、设正六边形的边长为，
因为，，
所以，C正确；
D、如图所示：
连接，
则.
因为，
所以在向量上的投影向量为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题围绕正六边形中的向量运算，考查向量的线性运算、数量积及投影向量，需结合正六边形的几何性质（边长相等、内角固定等 ），利用向量运算法则逐一分析选项：
A、运用向量减法的三角形法则判断.
B、借助正六边形对边平行且相等的性质，结合向量线性运算化简判断.
C、设边长为，利用向量数量积公式（，为夹角 ）计算判断.
D、依据投影向量的定义（投影向量 = ，为与夹角 ），结合正六边形内角分析判断.
11．（2025高一下·浙江期末）如图，棱长为2的正方体中中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．二面角平面角的正切值为
D．点到平面的距离为
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、连接，，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），
为等边三角形，，
即异面直线与所成角为，A正确；
B、连接，
平面，即为直线与平面所成角，
，，
，
，
，即直线与平面所成角不是，B错误；
C、连接，交于点，连接，，
四边形为正方形，，为，中点，
，
，
二面角的平面角为，
平面，平面，，
，，
，
，
即二面角的正切值为，C正确；
D、连接，，，
，
，，
又，，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题围绕正方体中的空间几何问题，涉及异面直线所成角、线面角、二面角及点面距离，需结合正方体的结构特征，运用几何定义与公式逐一分析：
A、通过找平行线，将异面直线所成角转化为相交直线夹角，利用等边三角形性质求解.
B、依据线面角定义，找出直线与平面所成角，通过直角三角形边角关系判断.
C、根据二面角平面角定义，确定二面角的平面角，结合直角三角形求正切值.
D、利用割补法求棱锥体积，再结合体积公式求点面距离.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·浙江期末）已知复数（为虚数单位），则 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先将复数z通过复数的除法运算化简为标准形式a + bi（a、b为实数 ），再根据复数模的计算公式进行计算.
13．（2025高一下·浙江期末）若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，
故圆锥的高为且底面半径为，
故体积为，
故答案为：.
【分析】先根据圆锥轴截面是等腰直角三角形及母线长，求出圆锥的高和底面半径，再代入圆锥体积公式（r为底面半径，h为高 ）计算.需要利用等腰直角三角形的性质（斜边与直角边的关系 ）来确定高和底面半径.
14．（2025高一下·浙江期末）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形的边长为4，为弧上的一个动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由已知，弧是以为圆心，4为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则由已知，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，
令，，
当时，，
，
，
存，使，即，
当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为坐标运算，利用三角函数的性质求解最小值.需要先确定各点坐标，设出动点P的坐标（用三角函数表示 ），再计算向量的坐标，进而得到数量积的表达式，最后结合三角函数的取值范围求最值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.15题13分，16，17题15分，18，19题17分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·浙江期末）已知向量、满足：，
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若向量与共线，求实数的值.
【答案】（1）
，，
，
（2）：，，，
.
（3）、不共线，
因为与共线，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先通过向量数乘与加法的坐标运算，得到的坐标，再用模长公式计算；
（2）利用向量数量积公式，分别计算、、后代入.
（3）依据向量共线定理，若两向量共线，则存在实数使，通过坐标对应关系列方程求解.
（1），，
，
（2），，，
.
（3）、不共线，
因为与共线，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
16．（2025高一下·浙江期末）如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
【答案】（1）证明：解法一：是正三棱柱，
平面，平面，
是正三角形，是中点，
因，平面，平面
平面
解法二：是正三棱柱，
平面平面，
是正三角形，是中点，
平面平面.平面
平面
（2）解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
即剩余部分的体积为：.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）需利用正三棱柱的性质（侧棱垂直底面、底面正三角形的中线与底边垂直 ），结合线面垂直的判定定理（直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面 ）证明.
（2）先分别计算正三棱柱体积和截去的棱锥体积，再用棱柱体积减去棱锥体积得到剩余体积，涉及柱体、锥体体积公式的应用.
（1）解法一：是正三棱柱，
平面，平面，
是正三角形，是中点，
因，平面，平面
平面
解法二：是正三棱柱，
平面平面，
是正三角形，是中点，
平面平面.平面
平面
（2）在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为
.
17．（2025高一下·浙江期末）第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）第70百分位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.
【答案】（1）解：解得：
（2）（i） 解：因为，
，
所以第70百分位数在12和16之间，
设第70百分位数是，
（ii）解：
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题围绕频率分布直方图的应用，涉及频率和、百分位数、平均值的计算，需依据频率分布直方图的性质及对应公式求解：
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积和为（即频率和为 ），结合组距为，列方程求解.
（2）（i）先计算前几组的频率和，确定百分位数所在区间，再根据百分位数定义列方程求解.
（ii）用每组区间的中间值乘以对应频率（频率 = 频率/组距×组距 ），再求和得到平均值.
（1），
所以；
（2）（i）因为，
，
所以第70百分位数在12和16之间，
设第70百分位数是，
（ii）
18．（2025高一下·浙江期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
是的中点.
，且，
底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，
且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
（2）解：取中点，连接，，
为中点，所以，
顶点在底面的射影是线段的中点，底面，
平面，，
，平面，
平面，
为二面角的平面角，
.
取中点，连接，
是等腰直角三角形
平面，
平面；
与平面所成的角为；
设正方形的边长为，则，
又，，
，，
平面，，
，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）通过构造辅助线，利用三角形中位线及正方形性质，证明线线平行，再依据线面平行判定定理证明.
（2）先找出二面角的平面角，确定线段长度关系，再找线面角，通过直角三角形边角关系计算正弦值，涉及线面垂直、二面角、线面角的定义及性质.
（1）取的中点，连接，，
是的中点.
，且，
底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，
且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
（2）取中点，连接，，
为中点，所以，
顶点在底面的射影是线段的中点，底面，
平面，，
，平面，
平面，
为二面角的平面角，
.
取中点，连接，
是等腰直角三角形
平面，
平面；
与平面所成的角为；
设正方形的边长为，则，
又，，
，，
平面，，
，
.
19．（2025高一下·浙江期末）在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求；
（3）若，点，在线段上，且，问当取何值时，的面积最小，并求出面积的最小值.
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，，
.
（2）解：，
其中，，
，，
，
由正弦定理，，
，则，
即.
（3）解：且，
为等边三角形
设，，，，
由正弦定理得，
，
由正弦定理，
，
，，
，
.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）求角的值：利用正弦定理将角化为边，再结合余弦定理求出，进而确定角.
（2）求的长度：先由求出，再利用三角形内角和及两角和的正弦公式求出，最后通过正弦定理求解.
（3）求面积最小时的值及最小面积：先判断为等边三角形，设，用正弦定理表示、，结合面积公式化简，再根据三角函数性质求最值.
（1），
由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，，；
（2），
其中，，
，，
，
由正弦定理，，
，则，
即；
（3）且，
为等边三角形
设，，，，
由正弦定理得，
，
由正弦定理，
，
，，
当，
.
1 / 1浙江省山海高中共富联盟2024-2025学年高一下学期阶段性联考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·浙江期末）复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一下·浙江期末）1班有学生45人，2班有学生27人，3班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出24人参加数学趣味活动，那么1班被抽取的人数是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．以上都不正确
3．（2025高一下·浙江期末）现有一组数据12，13，15，14，12，20，18，19，则这组数据的第55百分位数为（ ）
A．14 B．14.5 C．15 D．18
4．（2025高一下·浙江期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．（2025高一下·浙江期末）已知的方差为3，则的方差为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．18
6．（2025高一下·浙江期末）若，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C．2 D．28
7．（2025高一下·浙江期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·浙江期末）如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·浙江期末）某新能源汽车4S店2024年6月到2025年3月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：16，19，24，25，25，27，32，37，35，40，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．极差为24 B．平均数为28 C．众数为25 D．中位数为25
10．（2025高一下·浙江期末）如图，是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
11．（2025高一下·浙江期末）如图，棱长为2的正方体中中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与平面所成的角为
C．二面角平面角的正切值为
D．点到平面的距离为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·浙江期末）已知复数（为虚数单位），则 ．
13．（2025高一下·浙江期末）若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 ．
14．（2025高一下·浙江期末）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形的边长为4，为弧上的一个动点，则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.15题13分，16，17题15分，18，19题17分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·浙江期末）已知向量、满足：，
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若向量与共线，求实数的值.
16．（2025高一下·浙江期末）如图，在正三棱柱中，已知，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
17．（2025高一下·浙江期末）第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）第70百分位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.
18．（2025高一下·浙江期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
19．（2025高一下·浙江期末）在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求；
（3）若，点，在线段上，且，问当取何值时，的面积最小，并求出面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：∵，∴复数所对应的点为.故答案为：B.
【分析】先利用复数的四则运算化简可得，再利用复数的几何意义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样的比例计算可得（人）.
故答案为：B.
【分析】 根据分层抽样的比例计算，需要先算出三个班的总人数，再求出1班人数占总人数的比例，最后用该比例乘以抽取的总人数，得到1班被抽取的人数.
3．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：从小到大排列：12，12，13，14，15，18，19，20，由，
得这组数据得第55百分位数为第五个数，等于15.
故答案为：C.
【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义，通过计算数据个数与百分位的乘积，确定百分位数对应的位置，从而找到对应的数值.
4．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、根据面面平行的判定定理，一个面内两条相交的直线与另一个平面平行，才能得到两平面平行，A错误；
B、由，可得或，B错误；
C、由，可得或，C错误；
D、因，即平面相交成直角，又，故平面与平面也成直角，即，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据面面平行的判定定理可判断A错误；根据线面平行判定定理可以判断B错误；根据线面平行判定定理判断C错误；根据两平面所成的角的概念，结合条件即可判断D正确；
5．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的方差为3，
所以的方差为.
故答案为：C.
【分析】依据方差的性质可得答案.
6．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用向量模长与向量数量积的关系，将转化为含有和模长及它们数量积的形式，再代入已知条件计算.
7．【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由圆台上下底面圆的半径分别为高为，
可求得母线长为.
则.
故答案为：D.
【分析】先明确圆台侧面积公式需要用到母线长，所以要先根据圆台上下底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算.
8．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：设，由，得，则 ，
中：根据正弦定理，，即
中：同理，，即
因（已知），且（邻补角），故
由正弦定理比例关系可得：
根据二倍角公式，化简得：
由，得
代入，则：
用二倍角余弦公式，代入：
故答案为：B．
【分析】1. 设角转化：通过设，将 表示为，简化角度关系.
2. 正弦定理应用：在两个三角形中列正弦定理，利用和（值相等 ），建立与的比例.
3. 向量与三角恒等变换：结合向量关系得，代入化简后用二倍角公式求 .
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为16，19，24，25，25，27，32，35，37，40，
平均数为，
则极差为，众数为25，
由题意，所以这组数据的中位数为，ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先将数据排序，再分别依据极差（最大值与最小值的差 ）、平均数（所有数据之和除以数据个数 ）、众数（出现次数最多的数据 ）、中位数（排序后中间位置的数，若数据个数为偶数则是中间两个数的平均值 ）的定义，依次计算并判断选项 .
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】A、根据平面向量的减法运算法则可得：，A正确；
B、因为，
所以，B不正确；
C、设正六边形的边长为，
因为，，
所以，C正确；
D、如图所示：
连接，
则.
因为，
所以在向量上的投影向量为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题围绕正六边形中的向量运算，考查向量的线性运算、数量积及投影向量，需结合正六边形的几何性质（边长相等、内角固定等 ），利用向量运算法则逐一分析选项：
A、运用向量减法的三角形法则判断.
B、借助正六边形对边平行且相等的性质，结合向量线性运算化简判断.
C、设边长为，利用向量数量积公式（，为夹角 ）计算判断.
D、依据投影向量的定义（投影向量 = ，为与夹角 ），结合正六边形内角分析判断.
11．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、连接，，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），
为等边三角形，，
即异面直线与所成角为，A正确；
B、连接，
平面，即为直线与平面所成角，
，，
，
，
，即直线与平面所成角不是，B错误；
C、连接，交于点，连接，，
四边形为正方形，，为，中点，
，
，
二面角的平面角为，
平面，平面，，
，，
，
，
即二面角的正切值为，C正确；
D、连接，，，
，
，，
又，，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题围绕正方体中的空间几何问题，涉及异面直线所成角、线面角、二面角及点面距离，需结合正方体的结构特征，运用几何定义与公式逐一分析：
A、通过找平行线，将异面直线所成角转化为相交直线夹角，利用等边三角形性质求解.
B、依据线面角定义，找出直线与平面所成角，通过直角三角形边角关系判断.
C、根据二面角平面角定义，确定二面角的平面角，结合直角三角形求正切值.
D、利用割补法求棱锥体积，再结合体积公式求点面距离.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先将复数z通过复数的除法运算化简为标准形式a + bi（a、b为实数 ），再根据复数模的计算公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，
故圆锥的高为且底面半径为，
故体积为，
故答案为：.
【分析】先根据圆锥轴截面是等腰直角三角形及母线长，求出圆锥的高和底面半径，再代入圆锥体积公式（r为底面半径，h为高 ）计算.需要利用等腰直角三角形的性质（斜边与直角边的关系 ）来确定高和底面半径.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由已知，弧是以为圆心，4为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则由已知，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，
令，，
当时，，
，
，
存，使，即，
当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为坐标运算，利用三角函数的性质求解最小值.需要先确定各点坐标，设出动点P的坐标（用三角函数表示 ），再计算向量的坐标，进而得到数量积的表达式，最后结合三角函数的取值范围求最值.
15．【答案】（1）
，，
，
（2）：，，，
.
（3）、不共线，
因为与共线，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先通过向量数乘与加法的坐标运算，得到的坐标，再用模长公式计算；
（2）利用向量数量积公式，分别计算、、后代入.
（3）依据向量共线定理，若两向量共线，则存在实数使，通过坐标对应关系列方程求解.
（1），，
，
（2），，，
.
（3）、不共线，
因为与共线，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
16．【答案】（1）证明：解法一：是正三棱柱，
平面，平面，
是正三角形，是中点，
因，平面，平面
平面
解法二：是正三棱柱，
平面平面，
是正三角形，是中点，
平面平面.平面
平面
（2）解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
即剩余部分的体积为：.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）需利用正三棱柱的性质（侧棱垂直底面、底面正三角形的中线与底边垂直 ），结合线面垂直的判定定理（直线垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面 ）证明.
（2）先分别计算正三棱柱体积和截去的棱锥体积，再用棱柱体积减去棱锥体积得到剩余体积，涉及柱体、锥体体积公式的应用.
（1）解法一：是正三棱柱，
平面，平面，
是正三角形，是中点，
因，平面，平面
平面
解法二：是正三棱柱，
平面平面，
是正三角形，是中点，
平面平面.平面
平面
（2）在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为
.
17．【答案】（1）解：解得：
（2）（i） 解：因为，
，
所以第70百分位数在12和16之间，
设第70百分位数是，
（ii）解：
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题围绕频率分布直方图的应用，涉及频率和、百分位数、平均值的计算，需依据频率分布直方图的性质及对应公式求解：
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积和为（即频率和为 ），结合组距为，列方程求解.
（2）（i）先计算前几组的频率和，确定百分位数所在区间，再根据百分位数定义列方程求解.
（ii）用每组区间的中间值乘以对应频率（频率 = 频率/组距×组距 ），再求和得到平均值.
（1），
所以；
（2）（i）因为，
，
所以第70百分位数在12和16之间，
设第70百分位数是，
（ii）
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
是的中点.
，且，
底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，
且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
（2）解：取中点，连接，，
为中点，所以，
顶点在底面的射影是线段的中点，底面，
平面，，
，平面，
平面，
为二面角的平面角，
.
取中点，连接，
是等腰直角三角形
平面，
平面；
与平面所成的角为；
设正方形的边长为，则，
又，，
，，
平面，，
，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）通过构造辅助线，利用三角形中位线及正方形性质，证明线线平行，再依据线面平行判定定理证明.
（2）先找出二面角的平面角，确定线段长度关系，再找线面角，通过直角三角形边角关系计算正弦值，涉及线面垂直、二面角、线面角的定义及性质.
（1）取的中点，连接，，
是的中点.
，且，
底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，
且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
（2）取中点，连接，，
为中点，所以，
顶点在底面的射影是线段的中点，底面，
平面，，
，平面，
平面，
为二面角的平面角，
.
取中点，连接，
是等腰直角三角形
平面，
平面；
与平面所成的角为；
设正方形的边长为，则，
又，，
，，
平面，，
，
.
19．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，，
.
（2）解：，
其中，，
，，
，
由正弦定理，，
，则，
即.
（3）解：且，
为等边三角形
设，，，，
由正弦定理得，
，
由正弦定理，
，
，，
，
.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）求角的值：利用正弦定理将角化为边，再结合余弦定理求出，进而确定角.
（2）求的长度：先由求出，再利用三角形内角和及两角和的正弦公式求出，最后通过正弦定理求解.
（3）求面积最小时的值及最小面积：先判断为等边三角形，设，用正弦定理表示、，结合面积公式化简，再根据三角函数性质求最值.
（1），
由正弦定理得，即，即，
即，
由余弦定理得，，；
（2），
其中，，
，，
，
由正弦定理，，
，则，
即；
（3）且，
为等边三角形
设，，，，
由正弦定理得，
，
由正弦定理，
，
，，
当，
.
1 / 1
