湖南省2025年初中学业水平模拟考试模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·湖南模拟）下列实数中，最小的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴；
∴最小的是；
故答案为：A．
【分析】首先利用估算无理数大小的方法判断出，进而根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值小的反而大，进行判断即可．
2．（2025·湖南模拟）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025·湖南模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式(首平方，尾平方，积的2倍放中央)，可判断D选项.
4．（2025·湖南模拟）下列说法正确的是（ ）
A．“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是不可能事件
B．“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是必然事件
C．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适宜采用全面调查的方式
D．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A、“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，适宜采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意；
D、神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，是非常重要的事情，应采用全面检查，原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A、B选项；调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此可判断C、D选项.
5．（2025·湖南模拟）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=90°，∠ABC=45°，
又∵∠2=155°，
∴∠AGH=∠2-∠A=65°，
∵a∥b，
∴∠ABD=∠AGH=65°，
∴∠1=∠ABD-∠ABC=20°.
故答案为：C．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠AGH=∠2-∠A=65°，然后又二直线平行，同位角相等得∠ABD=∠AGH=65°，最后根据∠1=∠ABD-∠ABC算出答案.
6．（2025·湖南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集在数轴上表示为：
．
故答案为：D.
【分析】根据解不等式的步骤：先去括号，再移项合并同类项，进而系数化为1，求出不等式的解；最后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式解集在数轴上表示出来即可.
7．（2025·湖南模拟）正九边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形的每一个外角的度数是，
正九边形的每一个内角的度数是.
故答案为：B．
【分析】由于正n多边形的外角都相等，且外角和都是360°，故正n多边形的每一个外角的度数为，再根据正n边形的一个内角与之相邻的外角互补，可求出内角的度数.
8．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点处，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：，，，，……
各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环，
∴的横坐标为，
∵，
∴的纵坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：D．
【分析】观察前几个点的坐标可知：各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环；则点A1023的横坐标为2026；而1013÷4=253……1，故点A1023的纵坐标与A1点的纵坐标相同为2，从而可得答案.
9．（2025·湖南模拟）如图，是的直径，切于点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由等边对等角得，再利用角的和差，由可算出答案．
10．（2025·湖南模拟）年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示：
节目
演员人数
彩排时长
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A、按“”的顺序，候场时间之和为；
B、按“”的顺序，候场时间之和为；
C、按“”的顺序，候场时间之和为；
D、按“”的顺序，候场时间之和为；
因为，
所以按“”的顺序，这位演员的候场时间之和最小，
故答案为：C．
【分析】根据候场时间定义，结合有理数混合运算顺序将四种彩排的候场时间计算出来，进行比较找到最小值即可．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·湖南模拟）计算：a2-4b2= .
【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．（2025·湖南模拟）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”得到，解出的取值范围即可．
13．（2025·湖南模拟）我国古代数学名著记载：“今有牛十、羊四，直金三十八两；牛四、羊六，直金二十四两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【分析】根据单价乘以数量等于总价及“10头牛的总价+四只羊的总价=38、4头牛的总价+6只羊的总价=24”列出方程组即可.
14．（2025·湖南模拟）在某校举办的2024年秋季田径运动会上，参加初二女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：，，，，，，．这组数据的中位数是 ．
【答案】1.35
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大进行排序得，，，，，，，
∴中位数应为排序后的第四个数1.35.
故答案为：1.35.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
15．（2025·湖南模拟）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若，，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由平移的性质得到：，，
∴
∵
∴
设，则
∴
∵，
∴，
解得：
∴
故答案为：6．
【分析】由平移的性质得到AD=BE=CF，AD∥EC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△CEG∽△ADG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，结合，即可求解．
16．（2025·湖南模拟）如图，在已知的中，按如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点；
②作直线，交于点，连接．
若，则的度数为 ．
【答案】93°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线，
则，
∴，
∴．
故答案为：93°．
【分析】根据等角对等边及三角形的内角和定理可得∠ADC=58°，由题中作图方法可知，MN为线段BC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CD=BD，再由等边对等角及三角形外角性质可推出∠DCB=∠B=∠ADC=29°，最后根据角的构成，由∠ACB=∠ACD+∠BCD代值计算即可.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·湖南模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的性质“”、绝对值的代数意义及二次根式的性质分别化简，再计算二次根式的乘法及按括号法展开括号，最后合合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．（2025·湖南模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式“a+3”看成，然后按同分母分式减法法则计算括号内分式的减法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，进而将被除式的分子利用提取公因式法分解因式，根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法，约分化简，再将a的值代入化简结果计算可得答案.
19．（2025·湖南模拟）坐落于长沙望城区雷锋大道的雷锋双面雕塑，以雷锋的形象为艺术原型，突出表现雷锋舍己为人的伟大精神，为我们的城市增光添彩．某校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，，他们在处仰望雕塑的顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至处，测得仰角为．（参考数据：）
（1）求证：；
（2）若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度（结果精确到）．
【答案】（1）证明：由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
在中，，
，
该雕塑的高度约为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求得∠ADB=∠DAB=30°，从而根据等角对等边可得AB=DB；
（2）然后在Rt△BCD中，利用锐正弦函数的定义，由∠DBC的正弦函数可求CD的长.
（1）证明：由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
在中，，
，
该雕塑的高度约为．
20．（2025·湖南模拟）某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生一共有________人；
（2）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为________；
（3）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数；
（4）在选择“篮球”的3名学生中，有2名男生和1名女生，从这3名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（用画树状图或列表的方法解答）．
【答案】（1）4
（2）72°
（3）解：人，
∴全校选择“乒乓球”的学生人数275人；
（4）解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 女
男1
男2，男1 女，男1
男2 男1，男2
女，男2
女 男1，女 男2，女
一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
即本次调查的学生一共有40人；
故答案为：40；
（2）解：，
“排球”所在扇形圆心角的度数为；
故答案为：72°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择“足球”的人数除以其所占百分比即可求出本次调查的学生人数；
（2）用360度乘以选择“排球”的学生人数所占百分比，即可得到扇形统计图中“排球”所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘以样本中选择“乒乓球”的学生人数所占百分比，即可估计全校选择“乒乓球”的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格列举出所有等可能的结果数，由表可知一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，利用概率公式进行求解即可．
（1）解：人，
即本次调查的学生一共有40人；
故答案为：40
（2）解：，
“排球”所在扇形圆心角的度数为；
故答案为：
（3）解：人，
即全校选择“乒乓球”的学生人数275人；
（4）解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 女
男1
男2，男1 女，男1
男2 男1，男2
女，男2
女 男1，女 男2，女
一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
21．（2025·湖南模拟）如图，四边形是菱形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，四边形ABCD是菱形
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据菱形的四边相等可得AD=CD，从而利用AAS可判断出△AED≌△CDF，由全等三角形的对应边相等可得DE=DF，进而根据线段和差，由等量减去等量差相等可得结论；
（2）由菱形的对角相等得∠D=∠B=45°，由等腰直角三角形性质得DE=AE，AD=AE，由菱形的四边相等得AD=AB=2，从而得到，最后根据菱形的面积公式列式计算即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
22．（2025·湖南模拟）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率．
【答案】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根且符合题意，
故每张零售电影票的原定价为元；
（2）解：设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每张零售电影票的原定价为x元，则团体票价格为(x-18)元，根据总价除以单价等于数量及根据“按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元”列方程，即可求解；
（2）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根且符合题意，
故每张零售电影票的原定价为元．
（2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
23．（2025·湖南模拟）如图，是的直径，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
，
，∠COD=∠OCB，
，
平分；
（2）解：连接交于点，
，即，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠OBC=∠OCB，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠AOD=∠ABC，∠COD=∠OCB，则∠AOD=∠COD，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）连接AC交OD于点H，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△BCF，由相似三角形对应边成比例得，设，；由平行线分线段成比例定理得，根据三角形中位线定理得；由切线性质可得∠OBP=90°，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOH∽△POB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出符合题意的x的值，最后再根据勾股定理算出PB即可.
（1）证明：，
，
，
，
又，
，
平分；
（2）解：连接交于点，
，即，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，，
．
24．（2025·湖南模拟）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”．
（1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式；
（2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积；
（3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值．
【答案】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，且过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵线段的“共弦抛物线”和，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点距线段线段的距离为，
∴点距线段的距离为，
∴抛物线的顶点为或，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
∴的值为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=4，则顶点坐标N为(4，-6），然后利用顶点式可求出抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求得E、F的坐标，根据三角形面积计算公式由S△EFN=求解即可；
（3）易得抛物线C1与C2的对称轴为直线x=-h，抛物线C1的顶点坐标为P(-h，k)，由抛物线的对称性及“ 共弦抛物线 ”定义得A(-h-3，18+k)，B(-h+3，18+k)，则抛物线C1的顶点P距线段AB的距离为|18+k-k|=18，点Q距线段AB的距离为3，从而得到抛物线C2的顶点Q为或，然后分当顶点Q为时，当顶点Q为时两种情况分析即可．
（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，且过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵线段的“共弦抛物线”和，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点距线段线段的距离为，
∴点距线段的距离为，
∴抛物线的顶点为或，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
∴的值为或．
25．（2025·湖南模拟）如图1，将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，在轴上，点，点在第一象限，且．
（1）如图1，点的坐标为_______，点的坐标为_______．
（2）如图2，若为轴的正半轴上的一个动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①若直线与边相交于点，将纸片折叠，当四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）解：①；
②如图：过点C作，
由（1）得出，
∴，，
∴，
当时，，
∴，开口向上，对称轴直线，
∴在时，随着的增大而增大，
∴；
当时，如图：
∴，随着的增大而增大，
∴在时；在时；
∴当时，
∵当时，过点E作，如图：
∵由①得出是等边三角形，，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值为，
∴在时，，
∴，
则在时，；
当时，如图，
∴，随着的增大而减小，
∴在时，则把分别代入，
得出，，
∴在时，，
综上：．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：如图：过点C作
∵A（6，0），
∴OA=6，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∵
∴，
∴；
（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴；
当与点重合时，
此时与的交点为E与A重合，，
如图：当与点B重合时，
此时与的交点为E与B重合，，
∴的取值范围为；
【分析】（1）过点C作CH⊥OA，根据平行四边形的对边相等，对角相等，得出OC=AB=4，CB=OA=6，∠B=∠AOC=60°，由含30°角直角三角形的性质得OH=2，利用勾股定理算出CH的长，进而根据点的坐标与图形性质可求出点B的坐标；
（2）①由折叠得∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP，则OO'=2OP=2t，AO'=2t-6，由平行四边形的性质得AB=OC=4，AB∥OC，∠O'AB=∠AOC=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△EO'A是等边三角形；运用线段的和差关系列式化简得BE=10-2t；分当O'与点A重合时与当C'与点B重合时，分别作图，得出t的取值范围；
②过点C作CH⊥OA，根据①的结论，由∠AOC的正切函数求出，再分别以 时， 时， ， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
（1）解：如图：过点C作
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∵
∴，
∴；
（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴；
当与点重合时，
此时与的交点为E与A重合，，
如图：当与点B重合时，
此时与的交点为E与B重合，，
∴的取值范围为；
②如图：过点C作，
由（1）得出，
∴，，
∴，
当时，，
∴，开口向上，对称轴直线，
∴在时，随着的增大而增大，
∴；
当时，如图：
∴，随着的增大而增大，
∴在时；在时；
∴当时，
∵当时，过点E作，如图：
∵由①得出是等边三角形，，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值为，
∴在时，，
∴，
则在时，；
当时，如图，
∴，随着的增大而减小，
∴在时，则把分别代入，
得出，，
∴在时，，
综上：．
1 / 1湖南省2025年初中学业水平模拟考试模拟预测数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·湖南模拟）下列实数中，最小的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2025·湖南模拟）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖南模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·湖南模拟）下列说法正确的是（ ）
A．“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是不可能事件
B．“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是必然事件
C．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适宜采用全面调查的方式
D．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查
5．（2025·湖南模拟）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南模拟）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·湖南模拟）正九边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点处，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南模拟）如图，是的直径，切于点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖南模拟）年某单位举行春节联欢会，其中有四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表所示：
节目
演员人数
彩排时长
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这位演员的候场时间之和最小，则节目彩排的先后顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·湖南模拟）计算：a2-4b2= .
12．（2025·湖南模拟）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
13．（2025·湖南模拟）我国古代数学名著记载：“今有牛十、羊四，直金三十八两；牛四、羊六，直金二十四两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：头牛、只羊共两银子；头牛、只羊共两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设头牛两银子，只羊两银子，则可列方程组为 ．
14．（2025·湖南模拟）在某校举办的2024年秋季田径运动会上，参加初二女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：，，，，，，．这组数据的中位数是 ．
15．（2025·湖南模拟）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若，，则的值为 ．
16．（2025·湖南模拟）如图，在已知的中，按如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点；
②作直线，交于点，连接．
若，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·湖南模拟）计算：．
18．（2025·湖南模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·湖南模拟）坐落于长沙望城区雷锋大道的雷锋双面雕塑，以雷锋的形象为艺术原型，突出表现雷锋舍己为人的伟大精神，为我们的城市增光添彩．某校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，，他们在处仰望雕塑的顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至处，测得仰角为．（参考数据：）
（1）求证：；
（2）若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度（结果精确到）．
20．（2025·湖南模拟）某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生一共有________人；
（2）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为________；
（3）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数；
（4）在选择“篮球”的3名学生中，有2名男生和1名女生，从这3名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（用画树状图或列表的方法解答）．
21．（2025·湖南模拟）如图，四边形是菱形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，求菱形的面积．
22．（2025·湖南模拟）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率．
23．（2025·湖南模拟）如图，是的直径，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点，若，求的长．
24．（2025·湖南模拟）定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”．
（1）若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式；
（2）在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积；
（3）若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值．
25．（2025·湖南模拟）如图1，将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，在轴上，点，点在第一象限，且．
（1）如图1，点的坐标为_______，点的坐标为_______．
（2）如图2，若为轴的正半轴上的一个动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①若直线与边相交于点，将纸片折叠，当四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴；
∴最小的是；
故答案为：A．
【分析】首先利用估算无理数大小的方法判断出，进而根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值小的反而大，进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式(首平方，尾平方，积的2倍放中央)，可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A、“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，适宜采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意；
D、神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，是非常重要的事情，应采用全面检查，原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A、B选项；调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此可判断C、D选项.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=90°，∠ABC=45°，
又∵∠2=155°，
∴∠AGH=∠2-∠A=65°，
∵a∥b，
∴∠ABD=∠AGH=65°，
∴∠1=∠ABD-∠ABC=20°.
故答案为：C．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠AGH=∠2-∠A=65°，然后又二直线平行，同位角相等得∠ABD=∠AGH=65°，最后根据∠1=∠ABD-∠ABC算出答案.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集在数轴上表示为：
．
故答案为：D.
【分析】根据解不等式的步骤：先去括号，再移项合并同类项，进而系数化为1，求出不等式的解；最后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式解集在数轴上表示出来即可.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正九边形的每一个外角的度数是，
正九边形的每一个内角的度数是.
故答案为：B．
【分析】由于正n多边形的外角都相等，且外角和都是360°，故正n多边形的每一个外角的度数为，再根据正n边形的一个内角与之相邻的外角互补，可求出内角的度数.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：，，，，……
各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环，
∴的横坐标为，
∵，
∴的纵坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：D．
【分析】观察前几个点的坐标可知：各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为，，，，且每4个点一循环；则点A1023的横坐标为2026；而1013÷4=253……1，故点A1023的纵坐标与A1点的纵坐标相同为2，从而可得答案.
9．【答案】A
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由等边对等角得，再利用角的和差，由可算出答案．
10．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A、按“”的顺序，候场时间之和为；
B、按“”的顺序，候场时间之和为；
C、按“”的顺序，候场时间之和为；
D、按“”的顺序，候场时间之和为；
因为，
所以按“”的顺序，这位演员的候场时间之和最小，
故答案为：C．
【分析】根据候场时间定义，结合有理数混合运算顺序将四种彩排的候场时间计算出来，进行比较找到最小值即可．
11．【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”得到，解出的取值范围即可．
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【分析】根据单价乘以数量等于总价及“10头牛的总价+四只羊的总价=38、4头牛的总价+6只羊的总价=24”列出方程组即可.
14．【答案】1.35
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据由小到大进行排序得，，，，，，，
∴中位数应为排序后的第四个数1.35.
故答案为：1.35.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
15．【答案】6
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由平移的性质得到：，，
∴
∵
∴
设，则
∴
∵，
∴，
解得：
∴
故答案为：6．
【分析】由平移的性质得到AD=BE=CF，AD∥EC，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△CEG∽△ADG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，结合，即可求解．
16．【答案】93°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线，
则，
∴，
∴．
故答案为：93°．
【分析】根据等角对等边及三角形的内角和定理可得∠ADC=58°，由题中作图方法可知，MN为线段BC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CD=BD，再由等边对等角及三角形外角性质可推出∠DCB=∠B=∠ADC=29°，最后根据角的构成，由∠ACB=∠ACD+∠BCD代值计算即可.
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的性质“”、绝对值的代数意义及二次根式的性质分别化简，再计算二次根式的乘法及按括号法展开括号，最后合合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：，
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号内的整式“a+3”看成，然后按同分母分式减法法则计算括号内分式的减法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，进而将被除式的分子利用提取公因式法分解因式，根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法，约分化简，再将a的值代入化简结果计算可得答案.
19．【答案】（1）证明：由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
在中，，
，
该雕塑的高度约为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求得∠ADB=∠DAB=30°，从而根据等角对等边可得AB=DB；
（2）然后在Rt△BCD中，利用锐正弦函数的定义，由∠DBC的正弦函数可求CD的长.
（1）证明：由题意得：，，
是的一个外角，
，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
在中，，
，
该雕塑的高度约为．
20．【答案】（1）4
（2）72°
（3）解：人，
∴全校选择“乒乓球”的学生人数275人；
（4）解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 女
男1
男2，男1 女，男1
男2 男1，男2
女，男2
女 男1，女 男2，女
一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
即本次调查的学生一共有40人；
故答案为：40；
（2）解：，
“排球”所在扇形圆心角的度数为；
故答案为：72°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择“足球”的人数除以其所占百分比即可求出本次调查的学生人数；
（2）用360度乘以选择“排球”的学生人数所占百分比，即可得到扇形统计图中“排球”所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘以样本中选择“乒乓球”的学生人数所占百分比，即可估计全校选择“乒乓球”的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格列举出所有等可能的结果数，由表可知一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，利用概率公式进行求解即可．
（1）解：人，
即本次调查的学生一共有40人；
故答案为：40
（2）解：，
“排球”所在扇形圆心角的度数为；
故答案为：
（3）解：人，
即全校选择“乒乓球”的学生人数275人；
（4）解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 女
男1
男2，男1 女，男1
男2 男1，男2
女，男2
女 男1，女 男2，女
一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，四边形ABCD是菱形
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据菱形的四边相等可得AD=CD，从而利用AAS可判断出△AED≌△CDF，由全等三角形的对应边相等可得DE=DF，进而根据线段和差，由等量减去等量差相等可得结论；
（2）由菱形的对角相等得∠D=∠B=45°，由等腰直角三角形性质得DE=AE，AD=AE，由菱形的四边相等得AD=AB=2，从而得到，最后根据菱形的面积公式列式计算即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
22．【答案】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根且符合题意，
故每张零售电影票的原定价为元；
（2）解：设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每张零售电影票的原定价为x元，则团体票价格为(x-18)元，根据总价除以单价等于数量及根据“按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元”列方程，即可求解；
（2）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根且符合题意，
故每张零售电影票的原定价为元．
（2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
23．【答案】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
，
，∠COD=∠OCB，
，
平分；
（2）解：连接交于点，
，即，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠OBC=∠OCB，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠AOD=∠ABC，∠COD=∠OCB，则∠AOD=∠COD，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）连接AC交OD于点H，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△BCF，由相似三角形对应边成比例得，设，；由平行线分线段成比例定理得，根据三角形中位线定理得；由切线性质可得∠OBP=90°，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOH∽△POB，由相似三角形对应边成比例建立方程求出符合题意的x的值，最后再根据勾股定理算出PB即可.
（1）证明：，
，
，
，
又，
，
平分；
（2）解：连接交于点，
，即，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，，
．
24．【答案】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，且过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵线段的“共弦抛物线”和，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点距线段线段的距离为，
∴点距线段的距离为，
∴抛物线的顶点为或，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
∴的值为或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=4，则顶点坐标N为(4，-6），然后利用顶点式可求出抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求得E、F的坐标，根据三角形面积计算公式由S△EFN=求解即可；
（3）易得抛物线C1与C2的对称轴为直线x=-h，抛物线C1的顶点坐标为P(-h，k)，由抛物线的对称性及“ 共弦抛物线 ”定义得A(-h-3，18+k)，B(-h+3，18+k)，则抛物线C1的顶点P距线段AB的距离为|18+k-k|=18，点Q距线段AB的距离为3，从而得到抛物线C2的顶点Q为或，然后分当顶点Q为时，当顶点Q为时两种情况分析即可．
（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，且过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵线段的“共弦抛物线”和，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点距线段线段的距离为，
∴点距线段的距离为，
∴抛物线的顶点为或，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
∴的值为或．
25．【答案】（1），
（2）解：①；
②如图：过点C作，
由（1）得出，
∴，，
∴，
当时，，
∴，开口向上，对称轴直线，
∴在时，随着的增大而增大，
∴；
当时，如图：
∴，随着的增大而增大，
∴在时；在时；
∴当时，
∵当时，过点E作，如图：
∵由①得出是等边三角形，，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值为，
∴在时，，
∴，
则在时，；
当时，如图，
∴，随着的增大而减小，
∴在时，则把分别代入，
得出，，
∴在时，，
综上：．
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：如图：过点C作
∵A（6，0），
∴OA=6，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∵
∴，
∴；
（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴；
当与点重合时，
此时与的交点为E与A重合，，
如图：当与点B重合时，
此时与的交点为E与B重合，，
∴的取值范围为；
【分析】（1）过点C作CH⊥OA，根据平行四边形的对边相等，对角相等，得出OC=AB=4，CB=OA=6，∠B=∠AOC=60°，由含30°角直角三角形的性质得OH=2，利用勾股定理算出CH的长，进而根据点的坐标与图形性质可求出点B的坐标；
（2）①由折叠得∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP，则OO'=2OP=2t，AO'=2t-6，由平行四边形的性质得AB=OC=4，AB∥OC，∠O'AB=∠AOC=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△EO'A是等边三角形；运用线段的和差关系列式化简得BE=10-2t；分当O'与点A重合时与当C'与点B重合时，分别作图，得出t的取值范围；
②过点C作CH⊥OA，根据①的结论，由∠AOC的正切函数求出，再分别以 时， 时， ， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
（1）解：如图：过点C作
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∵
∴，
∴；
（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴；
当与点重合时，
此时与的交点为E与A重合，，
如图：当与点B重合时，
此时与的交点为E与B重合，，
∴的取值范围为；
②如图：过点C作，
由（1）得出，
∴，，
∴，
当时，，
∴，开口向上，对称轴直线，
∴在时，随着的增大而增大，
∴；
当时，如图：
∴，随着的增大而增大，
∴在时；在时；
∴当时，
∵当时，过点E作，如图：
∵由①得出是等边三角形，，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值为，
∴在时，，
∴，
则在时，；
当时，如图，
∴，随着的增大而减小，
∴在时，则把分别代入，
得出，，
∴在时，，
综上：．
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