2.1.1 倾斜角与斜率 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2.1.1倾斜角与斜率
我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来。
几何的基本元素：点
代数的基本对象：数
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的
对应
几何问题
代数问题
几何图形的性质
代数方法
转化
研究
背景引入
解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑。
思考
确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
两个点
一点和一个方向

归结
问题
问题1：这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．
因此，这些直线的区别是它们的方向不同．
问题2：如何表示这些直线的方向
可以看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
新知
1.倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．
l2
0
x
y
.P
l1
l3
l'
α3
α'
α2
α1
注意: (1)直线向上方向;
(2)x轴的正方向.
当直线l与x轴平行或重合时，
我们规定它的倾斜角为0°
注意：直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°
问题
问题3：任何一条直线都有倾斜角吗？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 以及它的 .
定点
倾斜角
两者缺一不可
小试牛刀
1.下列图中表示直线倾斜角为(　　)
C
2.给出下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角;
②若α是直线l的倾斜角，且 ,则α=450 ；
③倾斜角为 的直线只有一条，即x轴；
④一条直线的倾斜角可以为-300.
其中真命题的序号是_____.
①
3.直线x=1的倾斜角α= .
90°
探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
(1)已知直线l经过O(0,0),P( ,1),α与O、P的坐标有
什么关系？
·
探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
(1)已知直线l经过O(0,0),P( ,1),α与O、P的坐标有什么关系？
(2)类似的,如果直线l经过P1(-1,1),P2( ,0),α与P1、P2的坐标有什么关系？
0
x
y
. P1(-1,1)
l

α
α
P
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2，α与P1、P2的坐标有什么关系？
探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2，α与P1、P2的坐标有什么关系？
探究
思考
当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成
立吗？为什么？
0
x
y
. P1(x1,y1)
. P2(x2,y2)
l
成立
新知
2.斜率
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope).斜率常用小写字母k表示,即k=tanα
注：倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的
直线都有斜率.
倾斜角α=30°时，这条直线的斜率
k=tan30°= ；
倾斜角α=120°时，这条直线的斜率
k=tan120°= .
问题
问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？
k=tanα
0°≤α<180°
k=0
k>0
k<0
90°
问题
问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？
①当α∈[0°,90°)时,倾斜角越大,斜率越大;
②当α∈(90°,180°)时,倾斜角越大,斜率越大.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
新知
2.斜率
如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2，
则斜率为
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度
思考
（1）已知直线上的两点 ， ，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点的顺序有关吗？
无关
（2）当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
不适用
小试牛刀
×
×
×
√
450
问题
问题5：直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y)则
若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).
经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为（1,k),求k的值
小试牛刀
例题剖析
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
x
y
A
C
B
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
由kAB>0及kCA>0知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．
直线CA的斜率
练习
1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：
（1）α=30°；（2）α=45°； （3）α= ；（4）α= .
2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：
（1）k=0 ；（2）k= ；（3）k= ；（4）k= .
3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角：
课堂小结
1.确定直线位置关系的要素
2.刻画直线倾斜程度的量
倾斜角、 斜率
3. 数形结合、分类讨论、从特殊到一般的数学思想.
直线
倾斜角
斜率
点坐标
方向向量
形
数
数
数、形
数形结合
化归转化
课堂小结
谢 谢！