相似三角形的判定讲义(附答案)
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文档简介
相似三角形的判定
一、知识点讲解
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析
（一）运用判定定理判定三角形相似
例1
在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F。
（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF的长。
变式练习：
1、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似的三角形一共有（
）A、1对
B、2对
C、3对
D、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（
）A、有一个角是40°两个等腰三角形
B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100°的两个等腰三角形
D、两个等边三角形例2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD=,求AD的长。
变式练习：
1、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是（
）
A、∠AED=∠B
B、∠ADE=∠C
C、
D、2、已知，P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，求证：△ADM∽△MCP。
例3
如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（
）
变式练习：
1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（
）
A、△ABC与△A＇B＇C＇相似
B、AB与A＇B＇是对应边
C、相似比为2：1
D、AB与A＇C＇是对应边
2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
（二）判定定理的运用
例4
如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。当EF与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。
变式练习：
1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（
）
A、
B、
C、
D、
第1题
第2题
第3题
2、如图，∠ABD=∠C，AB=5，AD=3.5，则AC=
。
3、如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。求证：FD =FG·FE.
反馈练习
基础夯实
1、如图，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E交AD于点F，则图中与△AEF相似的三角形的个数是（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（
）
A、
B、
C、
D、2
3、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，则下列结论：①△ABC∽△BCD；②AB：BC=BC：CD；③BC =AC·CD；④AD：DC=AB：BC，其中正确的结论有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、如下图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（
）
A、∠ABD=∠ACB
B、∠ADB=∠ABC
C、AB =AD·AC
D、
5、如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC =AD·AB，则（
）
A、△ADC∽△ACB
B、△BDC∽△BCA
C、△ADC∽△CDB
D、无相似三角形
6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（
）
A、∠A=60°，AB=5cm，AC=10cm；∠A＇=60°,A＇B＇=3cm，A＇C＇=10cm
B、∠A=45°，AB=4cm，BC=6cm；∠D=45°,DE=2cm，DF=3cm
C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cm
D、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇
7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB=
。
8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形
。
第7题
第8题
第9题
第10题
第11题
9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为
。
10、如图，在△ABC中，D是ABA边上一点，连接CD，要使△ADC与△ACB相似，应添加的条件
是
。（写出一个即可）
11、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有
。
①∠A+∠B=90°；②AB =AC +BC ；③；④CD =AD·BD。
12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD=
时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4。（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长。
14、如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且。
（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小。
15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。球目前在点E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长。
16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。
能力提升
17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（
）
A、b =ac
B、b =ce
C、be=ac
D、bd=ae
第17题
第18题
第19题
18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A
出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（
）
A、3秒或4.8秒
B、3秒
C、4.5秒
D、4.5秒或4.8秒
19、如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF=（
）
A、
B、
C、
D、
20、如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则k的值为（
）
A、-4
B、4
C、-2
D、2
第20题
第21题
第22题
21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为
时，使得以点B、O、C为顶点的三角形与△AOB相似。
22、已知，如图，□ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上延长线上，且OE=OB，连接DE。
求证：（1）DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：△CED∽△DEB。
23、如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。
（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长。
24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足
，或
，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。
已知：如图，
。
求证：Rt△ABC∽Rt△A＇B＇C＇。
25、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。
思维拓展
26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P。
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；
②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a
cm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。
（1）若a=4cm，t=1s，则PM=
cm；
（2）连接PD、PB，若a=5cm，求运动时间t,命名△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。
参考答案
反馈练习
基础夯实
1、C
2、B
3、D
4、D
5、A
6、D
7、4
8、△DCF∽△EBF
9、7
10、
11、①②④
12、或
13、（1）略
（2）
14、（1）略
（2）90°
15、（1）略
（2）169
16、或
能力提高
17、A
18、A
19、
20、A
21、（-4，0）
（1，0）
（-1，0）
一、知识点讲解
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析
（一）运用判定定理判定三角形相似
例1
在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F。
（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF的长。
变式练习：
1、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似的三角形一共有（
）A、1对
B、2对
C、3对
D、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（
）A、有一个角是40°两个等腰三角形
B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100°的两个等腰三角形
D、两个等边三角形例2
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD=,求AD的长。
变式练习：
1、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是（
）
A、∠AED=∠B
B、∠ADE=∠C
C、
D、2、已知，P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，求证：△ADM∽△MCP。
例3
如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（
）
变式练习：
1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（
）
A、△ABC与△A＇B＇C＇相似
B、AB与A＇B＇是对应边
C、相似比为2：1
D、AB与A＇C＇是对应边
2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
（二）判定定理的运用
例4
如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。当EF与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。
变式练习：
1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（
）
A、
B、
C、
D、
第1题
第2题
第3题
2、如图，∠ABD=∠C，AB=5，AD=3.5，则AC=
。
3、如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。求证：FD =FG·FE.
反馈练习
基础夯实
1、如图，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E交AD于点F，则图中与△AEF相似的三角形的个数是（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（
）
A、
B、
C、
D、2
3、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，则下列结论：①△ABC∽△BCD；②AB：BC=BC：CD；③BC =AC·CD；④AD：DC=AB：BC，其中正确的结论有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、如下图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（
）
A、∠ABD=∠ACB
B、∠ADB=∠ABC
C、AB =AD·AC
D、
5、如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC =AD·AB，则（
）
A、△ADC∽△ACB
B、△BDC∽△BCA
C、△ADC∽△CDB
D、无相似三角形
6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（
）
A、∠A=60°，AB=5cm，AC=10cm；∠A＇=60°,A＇B＇=3cm，A＇C＇=10cm
B、∠A=45°，AB=4cm，BC=6cm；∠D=45°,DE=2cm，DF=3cm
C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cm
D、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇
7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB=
。
8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形
。
第7题
第8题
第9题
第10题
第11题
9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为
。
10、如图，在△ABC中，D是ABA边上一点，连接CD，要使△ADC与△ACB相似，应添加的条件
是
。（写出一个即可）
11、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有
。
①∠A+∠B=90°；②AB =AC +BC ；③；④CD =AD·BD。
12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD=
时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4。（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求AD的长。
14、如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且。
（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小。
15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。球目前在点E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长。
16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。
能力提升
17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（
）
A、b =ac
B、b =ce
C、be=ac
D、bd=ae
第17题
第18题
第19题
18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A
出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（
）
A、3秒或4.8秒
B、3秒
C、4.5秒
D、4.5秒或4.8秒
19、如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF=（
）
A、
B、
C、
D、
20、如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则k的值为（
）
A、-4
B、4
C、-2
D、2
第20题
第21题
第22题
21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B（0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为
时，使得以点B、O、C为顶点的三角形与△AOB相似。
22、已知，如图，□ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上延长线上，且OE=OB，连接DE。
求证：（1）DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：△CED∽△DEB。
23、如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。
（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长。
24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足
，或
，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。
已知：如图，
。
求证：Rt△ABC∽Rt△A＇B＇C＇。
25、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。
思维拓展
26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P。
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；
②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a
cm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。
（1）若a=4cm，t=1s，则PM=
cm；
（2）连接PD、PB，若a=5cm，求运动时间t,命名△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。
参考答案
反馈练习
基础夯实
1、C
2、B
3、D
4、D
5、A
6、D
7、4
8、△DCF∽△EBF
9、7
10、
11、①②④
12、或
13、（1）略
（2）
14、（1）略
（2）90°
15、（1）略
（2）169
16、或
能力提高
17、A
18、A
19、
20、A
21、（-4，0）
（1，0）
（-1，0）