第4节 生活中的抛体运动
(赋能课—精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
1.体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。2.能分析生产生活中的抛体运动。 学考层级 1.掌握抛体运动的概念。2.知道斜抛运动的特点是初速度方向斜向上(或斜向下)，只受重力作用，其运动轨迹是抛物线。3.了解日常生活和生产中的斜抛运动，能用运动的合成与分解的方法解决实际问题。
选考层级 1.知道斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合成。2.了解初速度和抛射角的改变对射程和射高的影响。
一、抛体运动
1．抛体运动的概念：以一定的初速度将物体抛出，物体仅在________作用下所做的运动。
2．抛体运动的分类：根据抛出物体的初速度方向，抛体运动可分为____________、竖直上抛运动、竖直下抛运动和____________。
3．运动的分解
(1)水平方向以初速度v0x做__________运动，v0x＝________________。
(2)竖直方向以初速度v0y做__________运动，v0y＝____________。
[微点拨]
1．抛体运动的初速度可以水平、竖直、斜向上或斜向下。
2．抛体运动只受重力作用。
[情境思考]
体育运动中有很多项目可以看作是斜上抛运动。以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
二、射高和射程
1．定义
(1)射高：在斜抛运动中，物体能到达的____________。
(2)射程：物体从抛出点到落地点的____________。
2．射高和射程与初速度和抛射角的关系
(1)射高和射程与初速度的关系：抛射角一定，初速度增大时，射高和射程都________。
(2)射高和射程与抛射角的关系：初速度大小一定，当抛射角为45°时，射程________，当抛射角为________时，射高最大。
[微点拨]
1．在空气中斜抛出的物体，当空气阻力与重力相比可以忽略不计时，可按斜抛运动处理。
2．做斜上抛运动的物体到达最高点时竖直方向的速度为零，水平方向速度不等于零，加速度为重力加速度，故斜抛运动在最高点的速度不为零。
3．平抛运动的速度逐渐增大，斜上抛运动的速度先减小后增大，斜下抛运动的速度逐渐增大。
[情境思考]
结合以下图片中的情境思考：
(1)如图甲所示，水流方向不变， 初速度越大，射程和射高如何变化？
(2)如图乙所示，水流的初速度大小不变， 方向变化，射程和射高的变化有何规律？
强化点(一) 抛体运动的特点
任务驱动
观察下列图片，推出的铅球、甩出的链球、掷出的标枪，它们的初速度有什么共同特点？若忽略空气阻力，它们的受力情况如何？它们做什么运动？
[要点释解明]
1．受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2．运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3．速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化量大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化量相同，即Δv＝gΔt。
4．对称性特点
速度对称 相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向(如图所示)
时间对称 相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的
轨迹对称 其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称
[题点全练清]
1．下列说法正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
C．做变速直线运动的物体，若加速度方向与运动方向相同，当加速度减小时，它的速度也减小
D．无论是平抛运动还是斜抛运动，在任意相等的时间内速度的变化量都相等
2．(2024·济南高一检测)甲、乙两位同学玩相互抛接球的游戏，其中一位同学将球从A点抛出后，另一同学总能在等高处某点B快速接住，如图所示。假设甲同学出手瞬间球的速度大小为v，方向与水平面成θ角，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．球在空中相同时间内速度变化量不相同
B．球到达B点时的速度与A点时的速度相同
C．球在空中上升的最大高度为
D．保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越短
3．做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，若以向上为正方向，则描述竖直方向上物体运动的速度—时间图像为( )
强化点(二) 抛体运动的规律及应用
[要点释解明]
1．斜抛运动的规律
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝。
(2)位移规律
水平位移：x＝vxt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
2．射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝＝。
(3)射程：s＝v0cos θ·t＝＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
[典例] 一座炮台置于距地面60 m高的山崖边，以与水平面成45°角斜向上的方向发射一颗炮弹，炮弹离开炮口时的速度为120 m/s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)炮弹所达到的最大高度。
(2)炮弹落到地面时的时间和速度大小。
(3)炮弹的水平射程。
尝试解答：
[思维建模]
斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜抛运动的对称性
时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。
速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
[题点全练清]
1．如图所示，某同学将三个完全相同的物体从A点沿三条不同的路径抛出，最终落在与A点同高度的三个不同位置，三条路径的最高点是等高的，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．三个物体抛出时初速度的水平分量相等
B．沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长
C．该同学对三个物体做的功相等
D．三个物体落地时重力的瞬时功率一样大
2．(2024·山东高考)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
3.如图所示，某同学将质量为m＝5 kg的铅球以v0＝4 m/s的初速度，沿着与水平面45°的方向斜上方抛出，抛出点到地面的高度h＝1.7 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)铅球落地时的动能Ek1 ；
(2)铅球上升到最高点时的动能Ek2 和离地高度H。
第4节 生活中的抛体运动
一、1.重力 2.平抛运动 斜抛运动 3.(1)匀速直线 v0cos θ (2)竖直上抛 v0sin θ
[情境思考]
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
二、1.(1)最大高度 (2)水平距离
2．(1)增大 (2)最大 90°
[情境思考]
提示：(1)初速度越大，射程和射高都越大。
(2)水流的初速度大小不变时，竖直向上射高最大；与水平方向夹角45°时射程最远。
强化点(一)
[任务驱动] 提示：初速度方向斜向上；仅受重力作用；做斜上抛运动。
[题点全练清]
1．选D 做斜抛运动和平抛运动的物体都只受到重力的作用，都是加速度恒为g的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动的速度一直增大，斜抛运动的速度如何变化，要看初速度方向与重力方向的夹角，若夹角为锐角，速度增大，若夹角为钝角，速度先减小后增大，故B错误；做变速直线运动的物体，加速度和运动方向相同时，物体做加速直线运动，当加速度减小时，物体仍然加速，故C错误；平抛运动和斜抛运动的加速度均为g，根据加速度的定义式知，在任意相等的时间内速度的变化量都相等，故D正确。
2．选C 球抛出后在空中只受重力作用，做匀变速曲线运动，所以球在空中相同时间内速度变化量相同，故A错误；球到达B点时的速度与A点时的速度大小相等，方向不同，故B错误；将球的初速度在竖直方向分解有vy＝vsin θ，根据竖直方向的运动规律有vy2＝2gh，解得球在空中上升的最大高度为h＝，故C正确；根据斜抛运动的对称性可知，球在空中运动的时间为t＝2·，可见保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越长，故D错误。
3．选C 在竖直方向上物体以某一初速度先减速上升再加速下降，而加速度恒为重力加速度，物体做匀变速直线运动，若以向上为正方向，其速度—时间图像应为题图C，则C正确，A、B、D错误。
强化点(二)
[典例] 解析：(1)竖直分速度
v0y＝v0sin 45°＝v0＝60 m/s，
所以h＝＝ m＝360 m，
故所达到的最大高度hmax＝h＋h0＝420 m。
(2)上升阶段所用时间t1＝＝ s＝6 s，
下降阶段所用时间t2＝ ＝ s＝2 s，
所以运动的总时间t＝t1＋t2＝(6＋2)s≈17.65 s；
落地时的水平速度vx＝v0x＝v0cos 45°＝60 m/s，
落地时的竖直速度vy＝，
合速度
v＝＝ m/s≈125 m/s。
(3)水平射程x＝vxt＝60×17.65 m≈1 498 m。
答案：(1)420 m (2)17.65 s 125 m/s (3)1 498 m
[题点全练清]
1．选D 根据斜抛的运动规律知，三条路径的最高点是等高的，故三个物体的竖直方向上分速度vy相同，其总的运动时间t＝也相同，水平位移大的水平分速度大，A、B错误；同学对物体做功，物体获得初动能，由于三个物体竖直方向分速度相同，第3个物体水平位移最大，则第3个物体水平分速度最大，故第3个物体合初速度最大，故第3个物体的初动能最大，人对它做功最多，C错误；由于斜抛的时候，竖直分初速度vy相同，落地时的竖直方向分速度也相同，均等于vy，所以落地时重力的瞬时功率PG＝mgvy一样大，D正确。
2．选BD 将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，在垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为t＝2·＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1 s，则从最高点到落点所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝gt22＝45 m，故D正确。
3．解析：(1)铅球飞行过程根据机械能守恒定律得：
mgh＋mv02＝Ek1 ，解得：Ek1＝125 J。
(2)设铅球在最高点时的瞬时速度为v，铅球在最高点时的瞬时速度为水平分速度则有：v＝v0cos 45°＝2 m/s
由动能公式可得：Ek2＝mv2＝20 J
整个过程机械能守恒，可得：mgH＋Ek2＝Ek1
解得：H＝2.1 m。
答案：(1)125 J (2)20 J 2.1 m
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生活中的抛体运动
(赋能课——精细培优科学思维)
第4节
课标要求 层级达标
1.体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。 2.能分析生产生活中的抛体运动。 学考层级 1.掌握抛体运动的概念。
2.知道斜抛运动的特点是初速度方向斜向上(或斜向下)，只受重力作用，其运动轨迹是抛物线。
3.了解日常生活和生产中的斜抛运动，能用运动的合成与分解的方法解决实际问题。
选考层级 1.知道斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合成。
2.了解初速度和抛射角的改变对射程和射高的影响。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、抛体运动
1.抛体运动的概念：以一定的初速度将物体抛出，物体仅在_____作用下所做的运动。
2.抛体运动的分类：根据抛出物体的初速度方向，抛体运动可分为__________、竖直上抛运动、竖直下抛运动和___________。
重力
平抛运动
斜抛运动
3.运动的分解
(1)水平方向以初速度v0x做__________运动，v0x=_________。
(2)竖直方向以初速度v0y做___________运动，v0y=_________。
匀速直线
v0cos θ
竖直上抛
v0sin θ
[微点拨]
1.抛体运动的初速度可以水平、竖直、斜向上或斜向下。
2.抛体运动只受重力作用。
[情境思考]
体育运动中有很多项目可以看作是斜上抛运动。以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点
提示：不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)铅球在最高点的速度是零吗
提示：不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
二、射高和射程
1.定义
(1)射高：在斜抛运动中，物体能到达的__________。
(2)射程：物体从抛出点到落地点的___________。
最大高度
水平距离
2.射高和射程与初速度和抛射角的关系
(1)射高和射程与初速度的关系：抛射角一定，初速度增大时，射高和射程都______。
(2)射高和射程与抛射角的关系：初速度大小一定，当抛射角为45°时，射程_______，当抛射角为_____时，射高最大。
增大
最大
90°
[微点拨]
1.在空气中斜抛出的物体，当空气阻力与重力相比可以忽略不计时，可按斜抛运动处理。
2.做斜上抛运动的物体到达最高点时竖直方向的速度为零，水平方向速度不等于零，加速度为重力加速度，故斜抛运动在最高点的速度不为零。
3.平抛运动的速度逐渐增大，斜上抛运动的速度先减小后增大，斜下抛运动的速度逐渐增大。
[情境思考]
结合以下图片中的情境思考：
(1)如图甲所示，水流方向不变， 初速度越大，射程和射高如何变化
提示：初速度越大，射程和射高都越大。
(2)如图乙所示，水流的初速度大小不变， 方向变化，射程和射高的变化有何规律
提示：水流的初速度大小不变时，竖直向上射高最大；与水平方向夹角45°时射程最远。
课堂精析重难
观察下列图片，推出的铅球、甩出的链球、掷出的标枪，它们的初速度有什么共同特点 若忽略空气阻力，它们的受力情况如何 它们做什么运动
提示：初速度方向斜向上；仅受重力作用；做斜上抛运动。
强化点(一) 抛体运动的特点
任务驱动
1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3.速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化量大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化量相同，即Δv=gΔt。
要点释解明
4.对称性特点
速度对称 相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等
或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向
(如图所示)
时间对称 相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的
轨迹对称 其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称
1.下列说法正确的是 ( )
A.斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B.平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
C.做变速直线运动的物体，若加速度方向与运动方向相同，当加速度减小时，它的速度也减小
D.无论是平抛运动还是斜抛运动，在任意相等的时间内速度的变化量都相等
√
题点全练清
解析：做斜抛运动和平抛运动的物体都只受到重力的作用，都是加速度恒为g的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动的速度一直增大，斜抛运动的速度如何变化，要看初速度方向与重力方向的夹角，若夹角为锐角，速度增大，若夹角为钝角，速度先减小后增大，故B错误；做变速直线运动的物体，加速度和运动方向相同时，物体做加速直线运动，当加速度减小时，物体仍然加速，故C错误；平抛运动和斜抛运动的加速度均为g，根据加速度的定义式知，在任意相等的时间内速度的变化量都相等，故D正确。
2.(2024·济南高一检测)甲、乙两位同学玩相互抛接球的游戏，其中一位同学将球从A点抛出后，另一同学总能在等高处某点B快速接住，如图所示。假设甲同学出手瞬间球的速度大小为v，方向与水平面成θ角，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 ( )
A.球在空中相同时间内速度变化量不相同
B.球到达B点时的速度与A点时的速度相同
C.球在空中上升的最大高度为
D.保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越短
√
解析：球抛出后在空中只受重力作用，做匀变速曲线运动，所以球在空中相同时间内速度变化量相同，故A错误；球到达B点时的速度与A点时的速度大小相等，方向不同，故B错误；将球的初速度在竖直方向分解有vy=vsin θ，根据竖直方向的运动规律有=2gh，解得球在空中上升的最大高度为h=，故C正确；根据斜抛运动的对称性可知，球在空中运动的时间为t=2·，可见保持θ角不变，球的出手速度越大，球在空中运动的时间越长，故D错误。
3.做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，若以向上为正方向，则描述竖直方向上物体运动的速度—时间图像为 ( )
√
解析：在竖直方向上物体以某一初速度先减速上升再加速下降，而加速度恒为重力加速度，物体做匀变速直线运动，若以向上为正方向，其速度—时间图像应为题图C，则C正确，A、B、D错误。
1.斜抛运动的规律
(1)速度规律
水平速度：vx=v0cos θ。
竖直速度：vy=v0sin θ-gt。
t时刻的速度大小为v=。
强化点(二) 抛体运动的规律及应用
要点释解明
(2)位移规律
水平位移：x=vxt=v0tcos θ。
竖直位移：y=v0tsin θ-gt2。
t时间内的位移大小为s=，与水平方向成α角，且tan α=。
2.射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t==。
(2)射高：h==。
(3)射程：s=v0cos θ·t==，
对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。
[典例] 一座炮台置于距地面60 m高的山崖边，以与水平面成45°角斜向上的方向发射一颗炮弹，炮弹离开炮口时的速度为120 m/s，忽略空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)炮弹所达到的最大高度。
[答案] (1)420 m
[解析] 竖直分速度
v0y=v0sin 45°=v0=60 m/s，
所以h== m=360 m，
故所达到的最大高度hmax=h+h0=420 m。
(2)炮弹落到地面时的时间和速度大小。
[答案] 17.65 s 125 m/s
[解析]上升阶段所用时间
t1== s=6 s，
下降阶段所用时间
t2== s=2 s，
所以运动的总时间
t=t1+t2=(6+2)s≈17.65 s；
落地时的水平速度
vx=v0x=v0cos 45°=60 m/s，
落地时的竖直速度vy=，
合速度v== m/s≈125 m/s。
(3)炮弹的水平射程。
[答案] 1 498 m
[解析] 水平射程x=vxt=60×17.65 m≈1 498 m。
[思维建模]
斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜抛运动的对称性
时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。
速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
1.如图所示，某同学将三个完全相同的物体从A点沿三条不同的路径抛出，最终落在与A点同高度的三个不同位置，三条路径的最高点是等高的，忽略空气阻力，下列说法正确的是 ( )
A.三个物体抛出时初速度的水平分量相等
B.沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长
C.该同学对三个物体做的功相等
D.三个物体落地时重力的瞬时功率一样大
题点全练清
√
解析：根据斜抛的运动规律知，三条路径的最高点是等高的，故三个物体的竖直方向上分速度vy相同，其总的运动时间t=也相同，水平位移大的水平分速度大，A、B错误；同学对物体做功，物体获得初动能，由于三个物体竖直方向分速度相同，第3个物体水平位移最大，则第3个物体水平分速度最大，故第3个物体合初速度最大，故第3个物体的初动能最大，人对它做功最多，C错误；由于斜抛的时候，竖直分初速度vy相同，落地时的竖直方向分速度也相同，均等于vy，所以落地时重力的瞬时功率PG=mgvy一样大，D正确。
2.(2024·山东高考)(多选)如图所示，工程队向峡谷对
岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的
夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为
30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是 ( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
√
√
解析：将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2，则有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2，则有a1=gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2，在垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为t=2·=4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m，故A、C错误；
重物落地时竖直分速度大小vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ===，可得θ=60°，故B正确；从抛出点到最高点所用时间为t1==1 s，则从最高点到落点所用时间为t2=t-t1=3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m，故D正确。
3.如图所示，某同学将质量为m=5 kg的铅球以
v0=4 m/s的初速度，沿着与水平面45°的方向斜上
方抛出，抛出点到地面的高度h=1.7 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)铅球落地时的动能Ek1 ；
答案：125 J
解析：铅球飞行过程根据机械能守恒定律得：
mgh+m=Ek1，解得：Ek1=125 J。
(2)铅球上升到最高点时的动能Ek2 和离地高度H。
答案：20 J 2.1 m
解析：设铅球在最高点时的瞬时速度为v，铅球在最高点时的瞬时速度为水平分速度则有：v=v0cos 45°=2 m/s
由动能公式可得：Ek2=mv2=20 J
整个过程机械能守恒，可得：mgH+Ek2=Ek1
解得：H=2.1 m。
课时跟踪检测
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10
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A级——学考达标
1.如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨
迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中
正确的是(不计空气阻力)( )
A.物体在C点的速度为零
B.物体在A点的速度与在B点的速度相同
C.物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D.物体在A、B两点的竖直分速度相同
√
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解析：斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。
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12
2.(2024·江苏高考)喷泉a、b形成如图所示的
形状，不计空气阻力，则喷泉a、b ( )
A.加速度相同
B.初速度相同
C.在最高点的速度相同
D.在空中的时间相同
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√
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6
7
8
9
10
11
12
解析：不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，设喷泉最高的高度为h，根据对称性可知在空中运动的时间t=2，可知tb>ta，D错误；在最高点的速度等于水平方向的分速度vx=，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
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3.掷实心球是某市的中考体育加试项目之一，掷出
去的实心球从a处出手后，在空中运动的轨迹如图所示，
球最终停在水平地面e点处(不计空气阻力)。则实心球 ( )
A.上升过程中所受外力与下落过程中实心球所受外力的方向相反
B.出手后到落地前这段时间实心球所受的外力大小、方向恒定不变
C.实心球上升到最高点b时速度为0
D.实心球在出手后到落地前这段时间运动状态是不变的
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解析：掷出去的实心球，出手后不再受到推力的作用，若不计空气阻力，只受重力作用，重力方向始终竖直向下，故上升过程中所受外力与下落过程中实心球所受外力的方向相同，都竖直向下，故A错误，B正确；据图可知，实心球上升到最高点b时，球在水平方向上仍有速度，故C错误，实心球在出手后到落地前这段时间运动速度的大小和方向时刻在变化，故运动状态是变化，故D错误。
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4.(多选)有一张一个同学正在向篮筐中投篮球的图(如图甲)，可以简化为如图乙所示。若图中投球点M与篮筐N在同一水平面上，P为篮球运动的最高点，不计空气阻力，下列说法正确的是 ( )
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A.篮球在M点的速度方向与水平方向的夹角大于在N点的速度方向与水平方向的夹角
B.篮球在M点的动能与在N点的动能相等
C.篮球从M点运动到P点的时间与篮球从P点运动到N点的时间相等
D.篮球从M点运动到P点的过程中合外力做功与篮球从P点运动到N点的过程中合外力做功相同
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√
√
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解析：由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，则根据对称性可知，篮球在M点的速度方向与水平方向的夹角等于在N点的速度方向与水平方向的夹角，A错误；由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，则根据对称性可知，篮球在M点的速度与在N点的速度大小相等，则篮球在M点的动能与在N点的动能相等，B正确；
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由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，且P点为最高点，则篮球从M点运动到P点的时间与篮球从P点运动到N点的时间相等，C正确；篮球从M点运动到P点的过程中和从P点运动到N点的过程中合外力均为重力，但篮球从M点运动到P点的过程中重力做负功，篮球从P点运动到N点的过程中重力做正功，D错误。
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5.(多选)草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，重力加速度为g，下列结论正确的是 ( )
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A.水落地前瞬间的速率为v1=v0sin θ
B.水到达最高点时的速率为v2=0
C.水在空中飞行时间为t=
D.水的水平射程为x=
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解析：水落地前瞬间的速率仍为v0，A错误；将运动分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向做匀速运动，可知水到达最高点时的速率为v2=v0cos θ，B错误；水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy=v0sin θ，因此水在空中飞行时间为t==，C正确；水的水平射程为x=v2t=v0cos θ·=，D正确。
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6.农民在水田里把多棵秧苗同时斜向上抛出，
秧苗的初速度大小相等，方向不同，θ表示抛出速
度方向与水平地面的夹角。不计空气阻力，关于秧
苗的运动，正确的说法是 ( )
A.θ越大，秧苗被抛得越远
B.θ不同，抛秧的远近一定不同
C.θ越大，秧苗在空中的时间越长
D.θ越大，秧苗落到地面的速度越大
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解析：秧苗被抛出后做斜抛运动，设秧苗的初速度为v0，则水平方向的初速度为vx=v0cos θ，竖直方向的初速度为vy=v0sin θ，θ越大，竖直方向的初速度越大，由v0sin θ=gt1，(v0sin θ)2=2gh1，可知θ越大，竖直向上运动的时间越长，竖直上升高度越大，因此下落的时间也长，所以秧苗在空中的时间越长，故C正确；秧苗被抛的水平距离x=(v0cos θ)t，θ越大，v0cos θ越小，t越大，抛的不一定远，当θ=90°时vcos θ=0，抛出的距离为0，θ不同，抛出的距离可能相同，故A、B错误；由动能定理可知mgh=mv2-m，秧苗落地速度大小与θ大小无关，故D错误。
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7.小明在野外发现一只猞猁，它是我国二级保护动物。猞猁的弹跳能力非常惊人，在其跃过间距为5 m的河中两等高木桩时，小明抓拍到了猞猁恰好跳跃到最高点时的照片，如图所示。已知猞猁在最高点的位置到两木桩连线的高度为1 m，不考虑猞猁身长、身高、空气阻力等因素，g取10 m/s2。下列说法中正确的是 ( )
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A.猞猁在空中的时间为 s
B.猞猁在最高点的速度大小为5 m/s
C.猞猁从木桩上跳起速度方向与水平方向的夹角的正切值为0.8
D.图中猞猁比较模糊，可能是由于紧张拍摄时相机发生了抖动
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解析：猞猁做斜抛运动，在最高点时的速度为水平方向，从最高点到木桩的过程做平抛运动，竖直方向有h=gt2，解得t== s= s，根据对称性可知，猞猁在空中的时间为t总=2t= s，A错误；猞猁在水平方向做匀速直线运动，其水平速度为vx== m/s= m/s，可知猞猁在最高点的速度大小为 m/s，B错误；
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猞猁从木桩上跳起的竖直分速度为vy=gt=10× m/s=2 m/s，猞猁从木桩上跳起速度方向与水平方向的夹角的正切值为tan θ===0.8，C正确；图中猞猁比较模糊，是因为拍摄时有一定的曝光时间，运动的猞猁会有一定的拖影，D错误。
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8.(多选)运动员在同一位置分别沿与水平地
面成30°和60°角的方向踢出一只橄榄球，两
次球落在同一地点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则橄榄球 ( )
A.两次运动的位移相等
B.沿轨迹①运动的时间长
C.在最高点时沿轨迹②运动的速度小
D.两次的最高点位置一定在同一竖直线上
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√
√
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解析：位移是从起点到终点的有向线段，所以橄榄球两次运动的位移相等，A正确；橄榄球在竖直方向做竖直上抛运动，上升到最大高度时竖直方向的分速度等于零，橄榄球在最高点之后的过程可看成平抛运动，根据t=可知，沿轨迹①运动的时间长，B正确；橄榄球在最高点时，其水平位移相等，又知橄榄球沿轨迹①运动的时间长，所以在最高点时沿轨迹①运动的速度小，C错误；因上升和下落两个过程具有时间、速度、位移的对称性，根据对称性可知，两次的最高点位置一定在同一竖直线上，D正确。
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9.(10分)如图，做斜上抛运动的物体到达最高点
时，速度v=24 m/s，落地时速度vt=30 m/s，g取10 m/s2。
求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
答案：30 m/s 与水平方向夹角为 37°
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解析：根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0=vt=30 m/s，
设初速度与水平方向夹角为θ，则cos θ==，
故θ=37°。
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(2)物体在空中的飞行时间t。
答案：3.6 s
解析：竖直方向的初速度为
v0y== m/s=18 m/s
故飞行时间t==2× s=3.6 s。
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B级——选考进阶
10.(2023·浙江1月选考)如图所示，在考虑空气阻力的
情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是
最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A.O点最大 B.P点最大
C.Q点最大 D.整个运动过程保持不变
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解析：在O→P的过程中，根据牛顿第二定律得竖直方向上：mg+kvy=ma1y，因为该过程为减速过程，所以在O点时其竖直分速度vy最大，竖直方向分运动的加速度最大；在P→Q的过程中，在竖直方向上有mg-kvy=ma2y，因为该过程为加速过程，在P点时其竖直分速度最小，竖直方向加速度最大，故A正确，B、C、D错误。
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11.(多选)如图所示，甲、乙两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，篮球A以速度v1被斜向上抛出，篮球B以速度v2被竖直向上抛出，当篮球A到达最高点时恰与篮球B相遇。不计空气阻力，篮球A、B的质量相等且均可视为质点，则下列说法错误的是 ( )
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A.相遇时篮球A的速度不为零
B.v1C.相遇时篮球B克服重力做功的功率不一定为零
D.从抛出到相遇的过程中，篮球A克服重力做功的功率等于篮球B克服重力做功的功率
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解析：将篮球A的运动分解为竖直方向的匀减速直线运动与水平方向的匀速直线运动，相遇时篮球A达到最高点，则其竖直方向的速度为零，水平方向速度不变，合速度不为0，故A正确；设v1与水平方向的夹角为θ，篮球A在竖直方向的分速度为vy=v1sin θ，则相遇时vyt-gt2=v2t-gt2，解得v2=vy=v1sin θ，所以v1>v2，故B错误；相遇时，篮球B的速度为零，则相遇时篮球B克服重力做功的功率一定为零，故C错误；从抛出到相遇的过程中，篮球A和篮球B的运动时间相同，重力做功相同，则篮球A克服重力做功的功率等于篮球B克服重力做功的功率，故D正确。
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12.(16分)中国选手在北京冬奥会自由
式滑雪女子大跳台比赛中以绝对优势夺得
金牌。现将某段比赛过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为α=30°的斜面顶端O点以v0飞出，已知v0=20 m/s，且与斜面夹角为θ=60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g=10 m/s2。求：
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(1)小球从O运动到A点所用时间t；
答案：2 s
解析：垂直斜面方向v1=v0sin θ，a1=gcos α，t=，解得t=2 s。
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12
(2)小球离斜面最远的距离L；
答案：10 m
解析：垂直斜面方向v1匀减速至0时有L=
代入数据得L=10 m。
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12
(3)O、C两点间距离x。
答案：40 m
解析：解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向a2=gsin α，xOB=v2·2t+a2(2t)2。
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x=xOB，
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代入数据解得x=40 m。
解法2：小球在水平方向做匀速直线运动
xOA=v0cos(θ-α)t
由几何关系可得x=，解得x=40 m。
2
3
4??课时跟踪检测(十三) 生活中的抛体运动
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1.如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
2．(2024·江苏高考)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b( )
A．加速度相同
B．初速度相同
C．在最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
3．掷实心球是某市的中考体育加试项目之一，掷出去的实心球从a处出手后，在空中运动的轨迹如图所示，球最终停在水平地面e点处(不计空气阻力)。则实心球( )
A．上升过程中所受外力与下落过程中实心球所受外力的方向相反
B．出手后到落地前这段时间实心球所受的外力大小、方向恒定不变
C．实心球上升到最高点b时速度为0
D．实心球在出手后到落地前这段时间运动状态是不变的
4．(多选)有一张一个同学正在向篮筐中投篮球的图(如图甲)，可以简化为如图乙所示。若图中投球点M与篮筐N在同一水平面上，P为篮球运动的最高点，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．篮球在M点的速度方向与水平方向的夹角大于在N点的速度方向与水平方向的夹角
B．篮球在M点的动能与在N点的动能相等
C．篮球从M点运动到P点的时间与篮球从P点运动到N点的时间相等
D．篮球从M点运动到P点的过程中合外力做功与篮球从P点运动到N点的过程中合外力做功相同
5．(多选)草坪洒水器工作的画面如图所示，若水流离开洒水器喷口时与水平面夹角θ不变，速率均为v0，在不计空气的阻力和洒水器喷口离地面的高度的情况下，重力加速度为g，下列结论正确的是( )
A．水落地前瞬间的速率为v1＝v0sin θ
B．水到达最高点时的速率为v2＝0
C．水在空中飞行时间为t＝
D．水的水平射程为x＝
6．农民在水田里把多棵秧苗同时斜向上抛出，秧苗的初速度大小相等，方向不同，θ表示抛出速度方向与水平地面的夹角。不计空气阻力，关于秧苗的运动，正确的说法是( )
A．θ越大，秧苗被抛得越远
B．θ不同，抛秧的远近一定不同
C．θ越大，秧苗在空中的时间越长
D．θ越大，秧苗落到地面的速度越大
7．小明在野外发现一只猞猁，它是我国二级保护动物。猞猁的弹跳能力非常惊人，在其跃过间距为5 m的河中两等高木桩时，小明抓拍到了猞猁恰好跳跃到最高点时的照片，如图所示。已知猞猁在最高点的位置到两木桩连线的高度为1 m，不考虑猞猁身长、身高、空气阻力等因素，g取10 m/s2。下列说法中正确的是( )
A．猞猁在空中的时间为 s
B．猞猁在最高点的速度大小为5 m/s
C．猞猁从木桩上跳起速度方向与水平方向的夹角的正切值为0.8
D．图中猞猁比较模糊，可能是由于紧张拍摄时相机发生了抖动
8．(多选)运动员在同一位置分别沿与水平地面成30°和60°角的方向踢出一只橄榄球，两次球落在同一地点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则橄榄球( )
A．两次运动的位移相等
B．沿轨迹①运动的时间长
C．在最高点时沿轨迹②运动的速度小
D．两次的最高点位置一定在同一竖直线上
9．(10分)如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
B级——选考进阶
10．(2023·浙江1月选考)如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹OPQ运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A．O点最大 B．P点最大
C．Q点最大 D．整个运动过程保持不变
11.(多选)如图所示，甲、乙两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，篮球A以速度v1被斜向上抛出，篮球B以速度v2被竖直向上抛出，当篮球A到达最高点时恰与篮球B相遇。不计空气阻力，篮球A、B的质量相等且均可视为质点，则下列说法错误的是( )
A．相遇时篮球A的速度不为零
B．v1C．相遇时篮球B克服重力做功的功率不一定为零
D．从抛出到相遇的过程中，篮球A克服重力做功的功率等于篮球B克服重力做功的功率
12．(16分)中国选手在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台比赛中以绝对优势夺得金牌。现将某段比赛过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O运动到A点所用时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间距离x。
课时跟踪检测(十三)
1．选C 斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。
2．选A 不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，设喷泉最高的高度为h，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；在最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
3．选B 掷出去的实心球，出手后不再受到推力的作用，若不计空气阻力，只受重力作用，重力方向始终竖直向下，故上升过程中所受外力与下落过程中实心球所受外力的方向相同，都竖直向下，故A错误，B正确；据图可知，实心球上升到最高点b时，球在水平方向上仍有速度，故C错误，实心球在出手后到落地前这段时间运动速度的大小和方向时刻在变化，故运动状态是变化，故D错误。
4．选BC 由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，则根据对称性可知，篮球在M点的速度方向与水平方向的夹角等于在N点的速度方向与水平方向的夹角，A错误；由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，则根据对称性可知，篮球在M点的速度与在N点的速度大小相等，则篮球在M点的动能与在N点的动能相等，B正确；由题知投球点M与篮筐N在同一水平面上，且P点为最高点，则篮球从M点运动到P点的时间与篮球从P点运动到N点的时间相等，C正确；篮球从M点运动到P点的过程中和从P点运动到N点的过程中合外力均为重力，但篮球从M点运动到P点的过程中重力做负功，篮球从P点运动到N点的过程中重力做正功，D错误。
5．选CD 水落地前瞬间的速率仍为v0，A错误；将运动分解到水平方向和竖直方向，由于水平方向做匀速运动，可知水到达最高点时的速率为v2＝v0cos θ，B错误；水离开洒水器喷口时的竖直分速度vy＝v0sin θ，因此水在空中飞行时间为t＝＝，C正确；水的水平射程为x＝v2t＝v0cos θ·＝，D正确。
6．选C 秧苗被抛出后做斜抛运动，设秧苗的初速度为v0，则水平方向的初速度为vx＝v0cos θ，竖直方向的初速度为vy＝v0sin θ，θ越大，竖直方向的初速度越大，由v0sin θ＝gt1，(v0sin θ)2＝2gh1，可知θ越大，竖直向上运动的时间越长，竖直上升高度越大，因此下落的时间也长，所以秧苗在空中的时间越长，故C正确；秧苗被抛的水平距离x＝(v0cos θ)t，θ越大，v0cos θ越小，t越大，抛的不一定远，当θ＝90°时vcos θ＝0，抛出的距离为0，θ不同，抛出的距离可能相同，故A、B错误；由动能定理可知mgh＝mv2－mv02，秧苗落地速度大小与θ大小无关，故D错误。
7．选C 猞猁做斜抛运动，在最高点时的速度为水平方向，从最高点到木桩的过程做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得t＝ ＝ s＝ s，根据对称性可知，猞猁在空中的时间为t总＝2t＝ s，A错误；猞猁在水平方向做匀速直线运动，其水平速度为vx＝＝ m/s＝ m/s，可知猞猁在最高点的速度大小为 m/s，B错误；猞猁从木桩上跳起的竖直分速度为vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，猞猁从木桩上跳起速度方向与水平方向的夹角的正切值为tan θ＝＝＝0.8，C正确；图中猞猁比较模糊，是因为拍摄时有一定的曝光时间，运动的猞猁会有一定的拖影，D错误。
8．选ABD 位移是从起点到终点的有向线段，所以橄榄球两次运动的位移相等，A正确；橄榄球在竖直方向做竖直上抛运动，上升到最大高度时竖直方向的分速度等于零，橄榄球在最高点之后的过程可看成平抛运动，根据t＝ 可知，沿轨迹①运动的时间长，B正确；橄榄球在最高点时，其水平位移相等，又知橄榄球沿轨迹①运动的时间长，所以在最高点时沿轨迹①运动的速度小，C错误；因上升和下落两个过程具有时间、速度、位移的对称性，根据对称性可知，两次的最高点位置一定在同一竖直线上，D正确。
9．解析：(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，
设初速度与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝，
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝＝ m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝＝2× s＝3.6 s。
答案：(1)30 m/s 与水平方向夹角为 37° (2)3.6 s
10．选A 在O→P的过程中，根据牛顿第二定律得竖直方向上：mg＋kvy＝ma1y，因为该过程为减速过程，所以在O点时其竖直分速度vy最大，竖直方向分运动的加速度最大；在P→Q的过程中，在竖直方向上有mg－kvy＝ma2y，因为该过程为加速过程，在P点时其竖直分速度最小，竖直方向加速度最大，故A正确，B、C、D错误。
11．选BC 将篮球A的运动分解为竖直方向的匀减速直线运动与水平方向的匀速直线运动，相遇时篮球A达到最高点，则其竖直方向的速度为零，水平方向速度不变，合速度不为0，故A正确；设v1与水平方向的夹角为θ，篮球A在竖直方向的分速度为vy＝v1sin θ，则相遇时vyt－gt2＝v2t－gt2，解得v2＝vy＝v1sin θ，所以v1>v2，故B错误；相遇时，篮球B的速度为零，则相遇时篮球B克服重力做功的功率一定为零，故C错误；从抛出到相遇的过程中，篮球A和篮球B的运动时间相同，重力做功相同，则篮球A克服重力做功的功率等于篮球B克服重力做功的功率，故D正确。
12．解析：(1)垂直斜面方向v1＝v0sin θ，a1＝gcos α，t＝，解得t＝2 s。
(2)垂直斜面方向v1匀减速至0时有L＝，代入数据得L＝10 m。
(3)解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向a2＝gsin α，xOB＝v2·2t＋a2(2t)2。
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x＝xOB，
代入数据解得x＝40 m。
解法2：小球在水平方向做匀速直线运动
xOA＝v0cos(θ－α)t
由几何关系可得x＝，解得x＝40 m。
答案：(1)2 s (2)10 m (3)40 m
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