综合·融通(一) 小船渡河和关联速度问题
(融会课—主题串知综合应用)
小船渡河问题和关联速度问题是运动的合成与分解原理在实际问题中的应用。通过本节课的学习，要学会分析过河时间最短和渡河位移最短问题，掌握通过细绳连接或细杆连接的两个物体间速度关系分析方法。
主题(一) 小船渡河问题
[知能融会通]
1．明确两个分运动
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行，速度大小等于水流速度。
2．区别三个速度
(1)分速度v水：水流的速度；
(2)分速度v船：船在静水中的速度；
(3)合速度v：表示船的实际航行的速度。
3．掌握两类最值问题
类型 矢量图解 过河方法
渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin=
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船[典例] 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此过程位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
尝试解答：
[变式拓展] 对应[典例]中的情境，如果水流速度变为v1＝6.25 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？此时最短航程为多少？(sin 37°＝0.6)
[题点全练清]
1．(2023·广东1月学考)如图所示，一巡逻船需渡江到对岸执行任务。已知两岸平行，江水的流动速度v1恒定，船相对于静水的速度v2大小不变，且v2>v1。下列说法正确的是( )
A．船头斜向上游方向行驶，过江时间最短
B．船头斜向下游方向行驶，过江时间最短
C．船头垂直江岸方向行驶，过江时间最短
D．船头垂直江岸方向行驶，过江航程最短
2．(多选)如图所示，一条两岸平直宽为L＝120 m的小河，河水流速的大小处处相等，一人驾驶小船由渡口A驶向渡口B，船头始终朝向河对岸，已知船在静水中航速恒定，且船在静水中的速度与河水的流速之比为2∶1，若该船到达对岸需要60 s。若以地面为参考系，则下列说法正确的是( )
A．河水流速为2 m/s
B．船的速度为 m/s
C．船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角为60°
D．船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角大于60°
主题(二) 关联速度问题
[知能融会通]
1．“关联”速度
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，与绳的两端点相连的物体或者杆两端的物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度。
2．关联速度的特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
3．常见的模型
(1)只分解一端的速度(如图甲、乙)
(2)分解两端的速度(如图丙、丁)
4．常用的解题思路和方法
(1)确定合运动的方向，即物体实际运动的方向。
(2)分析这个合运动所产生的效果(一方面使绳或杆伸缩，另一方面使绳或杆转动)，以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度)。
(3)作出速度分解的示意图，即根据平行四边形定则，作出合速度与分速度的平行四边形，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个方向的分量。
[典例] (多选)如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA＞vB
B．vA＜vB
C．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
听课记录：
[题点全练清]
1.如图所示，在粗糙水平滑杆上套着一个小环，小环与细绳的一端相连，细绳的另一端吊着一重物。若使小环匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，重物的速度( )
A．不变 B．变大
C．变小 D．先变小后变大
2．甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻杆连接，乙球处于水平地面上，甲球紧靠在竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，如图所示，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
综合·融通(一) 小船渡河和关联速度问题
主题(一)
[典例] 解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，
合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为
v2＝5 m/s，
最短时间为t＝＝＝ s＝36 s
合速度大小为v合＝＝ m/s
位移s＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。
如图乙所示，由v2sin α＝v1，得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短，
最短位移s′＝d＝180 m
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
答案：(1)36 s 90 m
(2)偏向上游与河岸成60°角 24 s
[变式拓展] 解析：因为v1＝6.25 m/s＞v2＝5 m/s，合速度方向不可能垂直于河岸，如图所示，当船头与河岸
上游夹角θ满足cos θ＝＝＝，故θ＝37°，此时渡河最短位移为smin＝＝225 m。
答案：船头与河岸上游夹角θ＝37° 225 m
[题点全练清]
1．选C 为了使船过江时间最短，则垂直江岸方向的速度最大，即船头垂直江岸方向行驶，故A、B错误，C正确；由于v2>v1，所以要使过江航程最短，船头斜向上游方向行驶，使船在江岸方向的分速度与水流速度抵消，则过江最短路程为江宽，故D错误。
2．选BD 船在静水中的速度v静＝＝2 m/s，河水流速为v水＝v静＝1 m/s，船的速度为v船＝＝ m/s，A错误，B正确；船在渡河时轨迹是一条直线，与河岸下游方向所成夹角为θ，有tan θ＝＝2＞tan 60°＝，C错误，D正确。
主题(二)
[典例] 选AD 小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的速度，设长绳与水平面的夹角为θ，如图所示，由图可知vB′＝vAcos θ，则vB＝vB′＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B做向上的加速运动，故绳的拉力大于B的重力。故A、D正确。
[题点全练清]
1.选C 如图所示，把小环水平运动的速度v沿绳和垂直绳方向进行正交分解，设细绳与水平杆的夹角为θ，重物的速度大小等于环在沿绳方向的分速度，即v1＝vcos θ，小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，θ变大，v1变小，故C正确。
2．选B 当乙球距离起点3 m时，设轻杆与竖直方向夹角为θ，根据几何知识可得sin θ＝，cos θ＝，将两球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示，则甲的速度v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，乙的速度v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，结合v1杆＝v2杆，解得甲、乙两球的速度大小之比为v1∶v2＝3∶，A错误，B正确；当甲球即将落地时，θ接近90°，此时甲球的速度达到最大，根据v1cos θ＝v2sin θ，得此时乙球的速度v2接近0，C、D错误。
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小船渡河和关联速度问题
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通(一)
小船渡河问题和关联速度问题是运动的合成与分解原理在实际问题中的应用。通过本节课的学习，要学会分析过河时间最短和渡河位移最短问题，掌握通过细绳连接或细杆连接的两个物体间速度关系分析方法。
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主题(一) 小船渡河问题
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主题(二) 关联速度问题
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课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 小船渡河问题
1.明确两个分运动
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行，速度大小等于水流速度。
2.区别三个速度
(1)分速度v水：水流的速度；
(2)分速度v船：船在静水中的速度；
(3)合速度v：表示船的实际航行的速度。
知能融会通
3.掌握两类最值问题
类型 矢量图解 过河方法
渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin=
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船续表
[典例] 一小船渡河，河宽d=180 m，水流速度为v1=2.5 m/s。船在静水中的速度为v2=5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少 此过程位移多大
[答案] (1)36 s 90 m
[解析] 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直
河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，
合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度为v2=5 m/s，
最短时间为t=== s=36 s
合速度大小为
v合== m/s
位移s=v合t=90 m。
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向 用多长时间
[答案] 偏向上游与河岸成60°角 24 s
[解析] 欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。
如图乙所示，由v2sin α=v1，得α=30°。
所以当船头朝上游与河岸成一定角度β=60°
时航程最短，
最短位移s'=d=180 m
所用时间t'=== s=24 s。
[变式拓展] 对应[典例]中的情境，如果水流速度变为v1=6.25 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向 此时最短航程为多少 (sin 37°=0.6)
答案：船头与河岸上游夹角θ=37° 225 m
解析：因为v1=6.25 m/s>v2=5 m/s，合速度方向不可能垂直于河岸，如图所示，当船头与河岸上游夹角θ满足cos θ===，故θ=37°，此时渡河最短位移为smin==225 m。
1.(2023·广东1月学考)如图所示，一巡逻船需渡江到对岸执行任务。已知两岸平行，江水的流动速度v1恒定，船相对于静水的速度v2大小不变，且v2>v1。下列说法正确的是 ( )
题点全练清
A.船头斜向上游方向行驶，过江时间最短
B.船头斜向下游方向行驶，过江时间最短
C.船头垂直江岸方向行驶，过江时间最短
D.船头垂直江岸方向行驶，过江航程最短
解析：为了使船过江时间最短，则垂直江岸方向的速度最大，即船头垂直江岸方向行驶，故A、B错误，C正确；由于v2>v1，所以要使过江航程最短，船头斜向上游方向行驶，使船在江岸方向的分速度与水流速度抵消，则过江最短路程为江宽，故D错误。
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2.(多选)如图所示，一条两岸平直宽为L=120 m的小河，河水流速的大小处处相等，一人驾驶小船由渡口A驶向渡口B，船头始终朝向河对岸，已知船在静水中航速恒定，且船在静水中的速度与河水的流速之比为2∶1，若该船到达对岸需要60 s。若以地面为参考系，则下列说法正确的是 ( )
A.河水流速为2 m/s
B.船的速度为 m/s
C.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角为60°
D.船在渡河时轨迹是一条直线，且与河岸下游方向所成夹角大于60°
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解析：船在静水中的速度v静==2 m/s，河水流速为v水=v静=1 m/s，船的速度为v船== m/s，A错误，B正确；船在渡河时轨迹是一条直线，与河岸下游方向所成夹角为θ，有tan θ==2>tan 60°=，C错误，D正确。
主题(二) 关联速度问题
1.“关联”速度
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，与绳的两端点相连的物体或者杆两端的物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度。
2.关联速度的特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
知能融会通
3.常见的模型
(1)只分解一端的速度(如图甲、乙)
(2)分解两端的速度(如图丙、丁)
4.常用的解题思路和方法
(1)确定合运动的方向，即物体实际运动的方向。
(2)分析这个合运动所产生的效果(一方面使绳或杆伸缩，另一方面使绳或杆转动)，以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度)。
(3)作出速度分解的示意图，即根据平行四边形定则，作出合速度与分速度的平行四边形，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)两个方向的分量。
[典例] (多选)如图所示，做匀速直线运动的小
车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重
物和小车速度的大小分别为vB、vA，则 ( )
A.vA>vB
B.vAC.绳的拉力等于B的重力
D.绳的拉力大于B的重力
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[解析] 小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的速度，设长绳与水平面的夹角为θ，如图所示，由图可知vB'=vAcos θ，则vB=vB'1.如图所示，在粗糙水平滑杆上套着一个小环，小环
与细绳的一端相连，细绳的另一端吊着一重物。若使小环
匀速向左运动，则在将小环从右侧一定距离处运动至定滑
轮的正上方的过程中，重物的速度 ( )
A.不变 B.变大
C.变小 D.先变小后变大
题点全练清
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解析：如图所示，把小环水平运动的速度v沿绳和垂直绳方向进行正交分解，设细绳与水平杆的夹角为θ，重物的速度大小等于环在沿绳方向的分速度，即v1=vcos θ，小环从右侧一定距离处运动至定滑轮的正上方的过程中，θ变大，v1变小，故C正确。
2.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻杆连接，乙球处于水平地面上，甲球紧靠在竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，如图所示，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是 ( )
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
解析：当乙球距离起点3 m时，设轻杆与竖直方向
夹角为θ，根据几何知识可得sin θ=，cos θ=，将两
球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示，则甲的速度v1在沿杆方向的分量为v1杆=v1cos θ，乙的速度v2在沿杆方向的分量为v2杆=v2sin θ，结合v1杆=v2杆，解得甲、乙两球的速度大小之比为v1∶v2=3∶，A错误，B正确；当甲球即将落地时，θ接近90°，此时甲球的速度达到最大，根据v1cos θ=v2sin θ，得此时乙球的速度v2接近0，C、D错误。
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1.如图，甲、乙两只小船同时从A点沿着与
河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游
的夹角为60°，乙船船头与河岸下游的夹角为30°，水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.∶1
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解析：两船同时到达对岸，则两船静水速度沿垂直两岸方向的分速度相等，即v甲sin 60°=v乙sin 30°，得v甲∶v乙=1∶，故选C。
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2.如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小
车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且
重物下滑的速率为v时，小车的速率为 ( )
A.vsin θ B.
C.vcos θ D.
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解析：将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳=vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车=v绳=vcos θ，故选C。
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3.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小
球A和B，将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运
动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，A球速度大小
为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ=30°角，B球的速度大小为v2，则 ( )
A.v2=v1 B.v2=2v1
C.v2= D.v2=v1
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解析：根据题意，将A球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分解，同时将B球的速度也沿着杆与垂直于杆两方向分解，A球：v0=v1sin θ，B球：v0'=v2sin θ，由于是同一轻杆，则有v1sin θ=v2sin θ，所以v2=v1，故A正确，B、C、D错误。
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4.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α=60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β=30°。下列说法正确的是 ( )
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A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2=1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
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解析：因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t=，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A正确，B错误；由题意可知tan 60°=，tan 30°=，解得v1∶v2=1∶3，C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角的余弦值为cos θ==，则θ≠60°，D错误。
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5.(多选)自由泳是竞技游泳比赛项目之一。某运动员在一次渡河训练中，向某方向以自由泳泳姿匀速运动，因水流原因，实际运动路径与河岸夹角为30°，如图所示。已知河水水流速度v水=0.6 m/s，以下说法正确的是 ( )
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A.该运动员相对静水的速度可能为0.3 m/s
B.该运动员相对静水的速度可能为0.6 m/s
C.若该运动员相对于静水的速度为0.5 m/s，该运动员的实际渡河路径可能垂直河岸
D.若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，会缩短渡河时间
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解析：根据运动的合成和分解可知，当运动员沿垂直于虚线向上游方向运动时，具有最小速度，则有v=v水sin 30°，解得v=0.3 m/s，只要运动员速度大于等于0.3 m/s，调整适当的角度，均可以沿虚线方向到达对岸，故A、B正确；运动员要垂直到达正对岸，根据运动的合成和分解可知，运动员在沿河岸方向的合速度为零，设此时运动员游泳的方向与岸边夹角为θ，
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则有vcos θ=v水，解得v= m/s≥0.6 m/s，由此可知要垂直到达正对岸，运动员的最小速度应大于0.6 m/s，故C错误；若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，在垂直河岸方向的速度增大，河宽一定，所以会缩短渡河时间，故D正确。
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6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨
道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮
O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA=20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α=30°角时，物体B的速度大小vB为 ( )
A.10 m/s B. m/s
C.40 m/s D.10 m/s
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解析：将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA=v2=vBcos 30°，解得vB== m/s，故B正确。
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7.曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，活塞可沿水平方向往复运动，曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则 ( )
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A.活塞做水平方向的匀速直线运动
B.当OA与AB垂直时，A点与B点的速度大小相等
C.当OA与AB共线时，A点与B点的速度大小相等
D.当OA与OB垂直时，A点与B点的速度大小相等
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解析：设A点的线速度大小为vA，当OA与AB垂直时，设AB与水平方向的夹角为θ，则vBcos θ=vA2
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8.如图所示，黑色小球套在一个光滑圆环上，
在绳子拉力作用下，沿着环运动，已知绳子另一
端通过定滑轮，且以恒定的速度v水平向右拉动，
则当θ为多少度时，小球的速度最小 ( )
A.接近180°时 B.90°
C.60° D.小球速度始终不会改变
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解析：小球的速度设为v1，把v1沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，在沿绳方向上有v1cos(90°-θ)=v，所以v1=，所以当满足θ=90°，小球的速度v1有最小值，故B正确。
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9.珠三角是我国最繁忙的城市圈之一，每天众多船
只往来珠江两岸，如图，设水流速度v1及货船在静水中
的速度v2(v2>v1)均保持不变。关于货船的渡江过程，下列说法正确的是 ( )
A.船头指向始终与江岸垂直时，船运动轨迹也垂直江岸
B.若水流速度变大，则小船渡江路程和时间一定都变长
C.船头指向始终与江岸垂直时，渡江时间最短
D.若要求货船垂直江岸到达正对岸，则船头应适当偏向下游一侧
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解析：若开始渡江时，船头指向始终与江岸垂直，
由于有沿江岸水流的运动，则船同时参与两个互相垂直
的分运动，两个分运动都是匀速直线运动，由运动的合
成定则可知，船合运动轨迹是直线且斜向江对岸的下游，不垂直江岸，如图所示，A错误；由运动的等时性可知，若水流速度变大，货船速度不变，则货船渡江时间不变，由于水流速度变大，水流方向的位移变大，则合位移变大，B错误；
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若船头指向始终与江岸垂直时，船在垂直于江岸方向的速度不变，由运动的独立性和等时性可知，渡江的时间为t=，d是垂直江岸宽度，所以渡江的时间最小，C正确；若要求货船垂直江岸到达正对岸，由于有沿江岸水流的运动，由运动合成定则可知，则船头应适当偏向上游一侧，合运动有可能垂直江岸到达正对岸，D错误。
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10.洪涝灾害常常给人们带来巨大的经济损失，如图所示某救援队利用摩托艇将人员进行转移。已知水的流速恒为v1，水流的方向平行于河岸，摩托艇的速度恒为v2，河宽为d。该救援队由河岸的P点出发，将被困人员转移到河对岸Q点，PQ连线与河岸垂直。则下列说法正确的是 ( )
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A.如果v1>v2，摩托艇可能到达Q点
B.摩托艇运动到河对岸Q点时的速度一定大于v2
C.摩托艇渡河的最短时间为
D.若摩托艇能到达Q点，则渡河时间为
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解析：如果v1>v2，摩托艇的合速度方向不可能垂直于河岸，所以摩托艇不可能到达Q点，故A错误；若满足v2>v1，则摩托艇的合速度方向可以垂直于河岸，当摩托艇以垂直河岸的合速度方向到达对岸时，摩托艇的合速度大小为v合=，故D错误。
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11.如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，
左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在
水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与
水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA+vB= m/s，sin 37°=，cos 37°=，则vA的大小为( )
A. m/s B. m/s
C.2 m/s D.4 m/s
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解析：设此时绳子的速率为v绳，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得v绳=vAsin 37°，v绳=vBcos 53°，结合vA+vB= m/s，解得vA= m/s，故选A。
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12.(12分)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示，求：
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(1)小船渡河的最短时间；
答案： 100 s
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解析： 由图像可知，v船=3 m/s，河宽d=300 m，船头正对河对岸，则渡河时间最短，故tmin==100 s。
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(2)小船以最短时间渡河的位移大小。
答案：100 m
解析：当小船船头正对河对岸行驶时，d=v船tmin，
结合图像可知v水先随时间线性增大，后线性减小，
垂直河岸分位移s1=d=300 m，
沿河岸方向分位移s2=2··=200 m，
总位移大小s==100 m。
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13.(14分)如图所示，河宽d=120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：
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(1)小船在静水中的速度v1的大小；
答案：0.25 m/s
解析：小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时沿v1方向的位移为d，故有v1== m/s=0.25 m/s。
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(2)河水的流速v2的大小；
答案：0.15 m/s
解析：设AB与河岸上游成α角，由题意可知，若船头指向B点开始渡河，恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2=v1cos α，此时渡河时间为t=，
所以sin α==0.8，故v2=v1cos α=0.15 m/s。
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(3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离sCD。
答案：72 m
解析：在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离为sCD=v2tmin=72 m。
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4??课时跟踪检测(十) 小船渡河和关联速度问题
(选择题1～11小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
1．如图，甲、乙两只小船同时从A点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游的夹角为60°，乙船船头与河岸下游的夹角为30°，水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D.∶1
2.如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速率为( )
A．vsin θ B.
C．vcos θ D.
3.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球A和B，将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，A球速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝ D．v2＝v1
4.如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A．小船沿AB、AC过河的时间相等
B．小船沿AC过河的时间更长
C．v1∶v2＝1∶2
D．当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
5.(多选)自由泳是竞技游泳比赛项目之一。某运动员在一次渡河训练中，向某方向以自由泳泳姿匀速运动，因水流原因，实际运动路径与河岸夹角为30°，如图所示。已知河水水流速度v水＝0.6 m/s，以下说法正确的是( )
A．该运动员相对静水的速度可能为0.3 m/s
B．该运动员相对静水的速度可能为0.6 m/s
C．若该运动员相对于静水的速度为0.5 m/s，该运动员的实际渡河路径可能垂直河岸
D．若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，会缩短渡河时间
6.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速度vA＝20 m/s匀速向右运动，在绳子与轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为( )
A．10 m/s B. m/s
C．40 m/s D．10 m/s
7．曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，活塞可沿水平方向往复运动，曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则( )
A．活塞做水平方向的匀速直线运动
B．当OA与AB垂直时，A点与B点的速度大小相等
C．当OA与AB共线时，A点与B点的速度大小相等
D．当OA与OB垂直时，A点与B点的速度大小相等
8．如图所示，黑色小球套在一个光滑圆环上，在绳子拉力作用下，沿着环运动，已知绳子另一端通过定滑轮，且以恒定的速度v水平向右拉动，则当θ为多少度时，小球的速度最小( )
A．接近180°时 B．90°
C．60° D．小球速度始终不会改变
9.珠三角是我国最繁忙的城市圈之一，每天众多船只往来珠江两岸，如图，设水流速度v1及货船在静水中的速度v2(v2>v1)均保持不变。关于货船的渡江过程，下列说法正确的是( )
A．船头指向始终与江岸垂直时，船运动轨迹也垂直江岸
B．若水流速度变大，则小船渡江路程和时间一定都变长
C．船头指向始终与江岸垂直时，渡江时间最短
D．若要求货船垂直江岸到达正对岸，则船头应适当偏向下游一侧
10.洪涝灾害常常给人们带来巨大的经济损失，如图所示某救援队利用摩托艇将人员进行转移。已知水的流速恒为v1，水流的方向平行于河岸，摩托艇的速度恒为v2，河宽为d。该救援队由河岸的P点出发，将被困人员转移到河对岸Q点，PQ连线与河岸垂直。则下列说法正确的是( )
A．如果v1＞v2，摩托艇可能到达Q点
B．摩托艇运动到河对岸Q点时的速度一定大于v2
C．摩托艇渡河的最短时间为
D．若摩托艇能到达Q点，则渡河时间为
11.如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA＋vB＝ m/s，sin 37°＝，cos 37°＝，则vA的大小为( )
A. m/s B. m/s
C．2 m/s D．4 m/s
12．(12分)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示，求：
(1)小船渡河的最短时间；
(2)小船以最短时间渡河的位移大小。
13．(14分)如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离sCD。
课时跟踪检测(十)
1．选C 两船同时到达对岸，则两船静水速度沿垂直两岸方向的分速度相等，即v甲sin 60°＝v乙sin 30°，得v甲∶v乙＝1∶，故选C。
2．选C
将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝vcos θ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝vcos θ，故选C。
3.选A 根据题意，将A球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分解，同时将B球的速度也沿着杆与垂直于杆两方向分解，A球：v0＝v1sin θ，B球：v0′＝v2sin θ，由于是同一轻杆，则有v1sin θ＝v2sin θ，所以v2＝v1，故A正确，B、C、D错误。
4．选A 因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A正确，B错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得v1∶v2＝1∶3，C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角的余弦值为cos θ＝＝，则θ≠60°，D错误。
5．选ABD 根据运动的合成和分解可知，当运动员沿垂直于虚线向上游方向运动时，具有最小速度，则有v＝v水sin 30°，解得v＝0.3 m/s，只要运动员速度大于等于0.3 m/s，调整适当的角度，均可以沿虚线方向到达对岸，故A、B正确；运动员要垂直到达正对岸，根据运动的合成和分解可知，运动员在沿河岸方向的合速度为零，设此时运动员游泳的方向与岸边夹角为θ，则有vcos θ＝v水，解得v＝ m/s≥0.6 m/s，由此可知要垂直到达正对岸，运动员的最小速度应大于0.6 m/s，故C错误；若该运动员加大双腿打水频率以提高游泳速度，在垂直河岸方向的速度增大，河宽一定，所以会缩短渡河时间，故D正确。
6．选B 将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos 30°，解得vB＝＝ m/s，故B正确。
7．选D 设A点的线速度大小为vA，当OA与AB垂直时，设AB与水平方向的夹角为θ，则vBcos θ＝vA＜vB，故B错误；当OA与AB共线时，vA在沿杆方向的分量为零，此时B点速度为零，故C错误；当OA与OB垂直时，设AB与水平方向的夹角为α，则vAcos α＝vBcos α，即vA＝vB，故D正确；根据前面分析可知活塞在水平方向做变速直线运动，故A错误。
8．选B 小球的速度设为v1，把v1沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，在沿绳方向上有v1cos(90°－θ)＝v，所以v1＝，所以当满足θ＝90°，小球的速度v1有最小值，故B正确。
9.选C 若开始渡江时，船头指向始终与江岸垂直，由于有沿江岸水流的运动，则船同时参与两个互相垂直的分运动，两个分运动都是匀速直线运动，由运动的合成定则可知，船合运动轨迹是直线且斜向江对岸的下游，不垂直江岸，如图所示，A错误；由运动的等时性可知，若水流速度变大，货船速度不变，则货船渡江时间不变，由于水流速度变大，水流方向的位移变大，则合位移变大，B错误；若船头指向始终与江岸垂直时，船在垂直于江岸方向的速度不变，由运动的独立性和等时性可知，渡江的时间为t＝，d是垂直江岸宽度，所以渡江的时间最小，C正确；若要求货船垂直江岸到达正对岸，由于有沿江岸水流的运动，由运动合成定则可知，则船头应适当偏向上游一侧，合运动有可能垂直江岸到达正对岸，D错误。
10．选C 如果v1＞v2，摩托艇的合速度方向不可能垂直于河岸，所以摩托艇不可能到达Q点，故A错误；若满足v2＞v1，则摩托艇的合速度方向可以垂直于河岸，当摩托艇以垂直河岸的合速度方向到达对岸时，摩托艇的合速度大小为v合＝＜v2，故B错误；当摩托艇分速度v2垂直于河岸时，渡河时间最短，则有tmin＝，故C正确；若摩托艇能到达Q点，则摩托艇的合速度方向垂直于河岸，此时合速度大小为v合＝，渡河时间为t＝＝＞，故D错误。
11．选A 设此时绳子的速率为v绳，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，可得v绳＝vAsin 37°，v绳＝vBcos 53°，结合vA＋vB＝ m/s，解得vA＝ m/s，故选A。
12．解析：(1)由图像可知，v船＝3 m/s，河宽d＝300 m，船头正对河对岸，则渡河时间最短，故tmin＝＝100 s。
(2)当小船船头正对河对岸行驶时，d＝v船tmin，
结合图像可知v水先随时间线性增大，后线性减小，
垂直河岸分位移s1＝d＝300 m，
沿河岸方向分位移s2＝2··＝200 m，
总位移大小s＝＝100 m。
答案：(1)100 s (2)100 m
13．解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时沿v1方向的位移为d，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，若船头指向B点开始渡河，恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，
所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离为
sCD＝v2tmin＝72 m。
答案：(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
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