综合·融通(二) 平抛运动规律的综合应用
(融会课—主题串知综合应用)
平抛运动是最简单的曲线运动，是运动的合成与分解思想的最好应用例证之一。通过本节课的学习，将进一步熟练掌握平抛运动与斜面的综合问题、类平抛运动问题及平抛运动中的临界极值问题。
主题(一) 平抛运动与斜面的综合问题
[知能融会通]
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
情境图例 如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上
关联关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
几个重要关系 (1)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝(2)速度方向与斜面夹角(α－θ)是恒定的(tan α＝2tan θ)(3)运动时间t＝ (1)速度方向与斜面垂直(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝(3)运动时间t＝
[例1·沿着斜面平抛] 女子跳台滑雪如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s。
尝试解答：
[例2·对着斜面平抛] 如图所示，以10 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ为30°的斜面上，g取10 m/s2，物体完成这段飞行需要的时间是( )
A. s B. s
C. s D．0.2 s
听课记录：
[题点全练清]
1.如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
小球从抛出到离斜面最远所用时间为t1，从抛出到落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶1 D．1∶3
2．如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D. m/s
主题(二) 类平抛运动问题
[知能融会通]
1．类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合力与初速度方向垂直且为恒力，a＝。
2．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
[典例] 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则( )
A．P→Q所用的时间t＝2
B．P→Q所用的时间t＝
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
听课记录：
[思维建模]
求解类平抛运动问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
[题点全练清]
1．A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列对P1、P2在x轴上远近关系的判断，正确的是( )
A．P1较远 B．P2较远
C．P1、P2等远 D．A、B两项都有可能
2.(多选)如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ad、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，将甲球以速度v0沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是( )
A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B．甲、乙两球一定在斜面上相遇
C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变量总是相同
主题(三) 平抛运动中的临界极值问题
[知能融会通]
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例] 如图所示，水平房顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝10 m。欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件。(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
尝试解答：
[思维建模]
对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。
[题点全练清]
1．如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m。某人在离墙壁距离L＝1.4 m，距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是( )
A．v>7 m/s B．v>2.3 m/s
C．3 m/s2．(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生
“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
综合·融通(二) 平抛运动规律的综合应用
主题(一)
[例1] 解析：(1)运动员由A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移x＝v0t，竖直方向的位移y＝gt2，
又＝tan 37°，联立解得t＝＝3 s。
(2)由题意知sin 37°＝＝，
得A、B间的距离s＝＝75 m。
答案：(1)3 s (2)75 m
[例2] 选C 分解物体末速度，如图所示。
由于物体水平方向是匀速运动，竖直方向是自由落体运动，
末速度v的水平分速度仍为v0，竖直分速度为vy，则vy＝gt
由图可知＝tan 30°，所以t＝＝ s。
[题点全练清]
1．选A 从抛出到离斜面最远时速度方向与斜面平行，速度与水平方向夹角为θ，即tan θ＝＝；从抛出到落到斜面上时，位移与水平方向夹角为θ，即tan θ＝＝＝，所以有＝，解得＝，故A正确。
2．选C 根据h＝gt2，得t＝ ＝ s＝ s，竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，则球刚要落到球拍上时速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确。
主题(二)
[典例] 选C 根据牛顿第二定律，得物块的加速度为a＝gsin θ。根据l＝at2，得t＝ ，故A、B错误；初速度v0＝＝b ，故C正确，D错误。
[题点全练清]
1．选B A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt12。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上＝gsin θ·t22。A的水平位移x1＝v0t1，B的水平位移x2＝v0t2，由于t2>t1，所以x2＞x1，P2较远。故B正确，A、C、D错误。
2．选CD 甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，乙与甲沿斜面向下方向的运动规律相同，可知甲、乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不足够长，两球不一定在斜面上相遇，A、B错误，C正确；因为甲、乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，D正确。
主题(三)
[典例] 解析：如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，则y＝H－h＝(5－3.2)m＝1.8 m，
由y＝gt12，得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为t1＝ ＝ s＝0.6 s，
由l＝v1t1，得小球离开房顶时的速度为
v1＝＝ m/s＝5 m/s。
设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l＋d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝gt22，则t2＝ ＝ s＝1 s，
由l＋d＝v2t2，得v2＝＝ m/s＝13 m/s，
即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为13 m/s。
综上分析知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s。
答案：5 m/s≤v0≤13 m/s
[题点全练清]
1．选C 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，代入数据解得vmin＝3 m/s；故v的取值范围是3 m/s2．解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝vy2，
可得石子落到水面上时的竖直速度vy＝，
由题意可知，≤tan θ，
即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
答案：
1 / 6(共68张PPT)
平抛运动规律的综合应用
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通(二)
平抛运动是最简单的曲线运动，是运动的合成与分解思想的最好应用例证之一。通过本节课的学习，将进一步熟练掌握平抛运动与斜面的综合问题、类平抛运动问题及平抛运动中的临界极值问题。
1
主题(一) 平抛运动与斜面
的综合问题
2
主题(二) 类平抛运动问题
3
主题(三) 平抛运动中的
临界极值问题
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一) 平抛运动与斜面
的综合问题
平抛运动与斜面结合的两类模型比较
知能融会通
类型 沿着斜面平抛 对着斜面平抛
情境 图例 如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上 如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上
关联关系 位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角 速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角
处理方法 抓住位移的分解 抓住速度的分解
续表
几个 重要 关系 (1)水平位移和竖直位移的关系： tan θ=== (2)速度方向与斜面夹角(α-θ)是恒定的 (tan α=2tan θ) (3)运动时间t= (1)速度方向与斜面垂直
(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ==
(3)运动时间
t=
续表
[例1·沿着斜面平抛] 女子跳台滑雪如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0=20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ=37°，斜坡可以看成一斜面。(取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
[答案] 3 s
[解析] 运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移x=v0t，竖直方向的位移y=gt2，又=tan 37°，联立解得t==3 s。
(2)A、B间的距离s。
[答案] 75 m
[解析] 由题意知sin 37°==，得A、B间的距离s==75 m。
[例2·对着斜面平抛] 如图所示，以10 m/s的
水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂
直撞在倾角θ为30°的斜面上，g取10 m/s2，物体完成这段飞行需要的时间是 ( )
A. s B. s
C. s D.0.2 s
√
[解析] 分解物体末速度，如图所示。
由于物体水平方向是匀速运动，竖直方向是自由落体运动，
末速度v的水平分速度仍为v0，竖直分速度为vy，则vy=gt
由图可知=tan 30°，所以t== s。
1.如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度
v0抛出一个小球，不计空气阻力，小球从抛出到离斜面最
远所用时间为t1，从抛出到落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为 ( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶1 D.1∶3
题点全练清
√
解析：从抛出到离斜面最远时速度方向与斜面平行，速度与水平方向夹角为θ，即tan θ==；从抛出到落到斜面上时，位移与水平方向夹角为θ，即tan θ===，所以有=，解得=，故A正确。
2.如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平
弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水
平方向的夹角θ=60°，A、B两点间的高度差h=1 m，
忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为( )
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D. m/s
√
解析：根据h=gt2，得t== s= s，竖直分速度vy=gt=10× m/s=2 m/s，则球刚要落到球拍上时速度的大小v==4 m/s，故C正确。
主题(二) 类平抛运动问题
1.类平抛运动与平抛运动的区别
平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a=g；类平抛运动的初速度不一定水平，但合力与初速度方向垂直且为恒力，a=。
知能融会通
2.求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。
[典例] 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，
一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从
底端Q点离开斜面，则 ( )
A.P→Q所用的时间t=2 B.P→Q所用的时间t=
C.初速度v0=b D.初速度v0=b
√
[解析] 根据牛顿第二定律，得物块的加速度为a=gsin θ。根据l=at2，得t=，故A、B错误；初速度v0==b，故C正确，D错误。
[思维建模]
求解类平抛运动问题的关键
(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。
1.A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在
竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，
落地点为P2，不计阻力，如图所示，下列对P1、P2
在x轴上远近关系的判断，正确的是 ( )
A.P1较远 B.P2较远
C.P1、P2等远 D.A、B两项都有可能
题点全练清
√
解析：A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h=g。B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动，在沿斜面向下方向上=gsin θ·。A的水平位移x1=v0t1，B的水平位移x2=v0t2，由于t2>t1，所以x2>x1，P2较远。故B正确，A、C、D错误。
2.(多选)如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ad、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，将甲球以速度v0沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是 ( )
A.甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B.甲、乙两球一定在斜面上相遇
C.甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D.甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变量总是相同
√
√
解析：甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，乙与甲沿斜面向下方向的运动规律相同，可知甲、乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不足够长，两球不一定在斜面上相遇，A、B错误，C正确；因为甲、乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，D正确。
主题(三) 平抛运动中的
临界极值问题
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
知能融会通
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例] 如图所示，水平房顶高H=5 m，墙高h=3.2 m，墙到房子的距离l=3 m，墙外马路宽d=10 m。欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件。(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
[答案] 5 m/s≤v0≤13 m/s
[解析] 如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H-h)，则y=H-h=(5-3.2)m=1.8 m，
由y=g，得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为t1== s=0.6 s，
由l=v1t1，得小球离开房顶时的速度为
v1== m/s=5 m/s。
设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l+d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H=g，则t2== s=1 s，
由l+d=v2t2，得v2== m/s=13 m/s，
即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为13 m/s。
综上分析知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s。
[思维建模]
对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。
1.如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6 m，
墙的厚度d=0.4 m。某人在离墙壁距离L=1.4 m，距窗
子上沿高h=0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以
速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是 ( )
A.v>7 m/s B.v>2.3 m/s
C.3 m/s题点全练清
√
解析：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L=vmaxt，h=gt2，代入数据解得vmax=7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L+d=vmint'，H+h=gt'2，代入数据解得vmin=3 m/s；故v的取值范围是3 m/s2.(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
答案：
解析：石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh=，
可得落到水面上时的竖直速度vy=，
由题意可知，≤tan θ，
即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
课时跟踪检测
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1.一名网球运动员在发球时将球水平击出，
如图所示。若该运动员发球速度为108 km/h，已知球网高度h=0.9 m，发球点距球网的水平距离x=12 m，不计球在空中飞行时的空气阻力，取g=10 m/s2，为使网球顺利发过网，该运动员击球点距地面的高度H至少为 ( )
A.1.8 m B.1.7 m
C.0.9 m D.0.8 m
√
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解析：运动员发球速度v0=108 km/h=30 m/s，水平方向有x=v0t，解得t=0.4 s，竖直方向刚好过网时，有H-h=gt2，解得H=1.7 m，故B正确。
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2.如图所示，用一只飞镖在O点对准前方的一块竖直
挡板水平抛出，O与A在同一水平线上，当飞镖的水平初
速度分别为v1、v2、v3时，打在挡板上的位置分别为B、C、
D，且AB∶BC∶CD=1∶3∶5，不计空气阻力，则v1∶v2∶v3的值为 ( )
A.3∶2∶1 B.5∶3∶1
C.6∶3∶2 D.9∶4∶1
2
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√
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解析：忽略空气阻力，则飞镖被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由h=gt2，解得：t=，所以三次小球运动的时间比t1∶t2∶t3=∶∶=1∶2∶3；水平位移相等，根据v=得v1∶v2∶v3=∶∶=6∶3∶2，故C正确。
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3.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某
同学先用一个小球从A平台边缘以v0=5 m/s的速度水平
抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( )
A.6 m/s B.7.5 m/s
C.9 m/s D.11.25 m/s
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√
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解析：A、B两个平台水平距离为x=7.5 m，设A、B平台竖直高度差为h，由平抛运动的规律可知：x=v0t1，h+6.25 m=g；当小球恰能落到平台B上时，x=v02t2，h=g，联立解得v02=7.5 m/s，故选项B正确。
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4.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆
心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道
左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为 ( )
A. B.
C. D.
2
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解析：如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t==，则A、B间的水平距离x=v0t=，故A正确，B、C、D错误。
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5.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和
53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小
的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) ( )
A.1∶1 B.1∶3
C.16∶9 D.9∶16
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解析：根据平抛运动的规律可知，x=v0t，y=gt2，tan θ=，则运动时间t=，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB=tan 37°∶tan 53°=9∶16，选项D正确，A、B、C错误。
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6.如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、
45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大
于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时静止释放a、b、c小球，它们到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于时间的关系不正确的是 ( )
A.t1>t3>t2 B.t1=t1'、t2=t2'、t3=t3'
C.t1'>t3'>t2' D.t12
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解析：静止释放三个小球时，对a：=g·sin 30°·，则=；对b：h=g，则=；对c：=gsin 45°·，则=；所以t1>t3>t2，A正确，不符合题意。当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1=t1'，t2=t2'，t3=t3'，B、C正确，不符合题意，故选D。
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7.如图所示为湖边一倾角为30°的大坝的横截
面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点
处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO=40 m，g取10 m/s2。下列说法正确的是 ( )
A.若v0=18 m/s，则石块可以落入水中
B.若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大
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C.若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D.若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
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解析：根据h=gt2，得t== s=2 s，则石块落入水中的最小初速度v0== m/s=10 m/s<18 m/s，可知若v0=18 m/s，石块可以落入水中，故A正确；
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若石块能落入水中，则下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据tan α=可知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小，故B错误；若石块不能落入水中，速度方向与水平方向夹角的正切值tan α=，位移方向与水平方向夹角的正切值tan θ==，可知tan α=2tan θ，因为θ一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关，故C、D错误。
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8.(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平
细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，
水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直
径为D，当地重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为 ( )
A. B.
C. D.(+1)D
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解析：设出水孔到水桶中心的水平距离为x，则x=v0，落到桶底A点时x+=v0，解得v0= 。故选C。
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9.(12分)如图所示，质量为m的飞机以水平速度
v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度
保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该
升力由其他力的合力提供，不含重力)。现测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
答案：mg
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解析：飞机水平速度不变，在水平方向有l=v0t，
竖直方向有h=，消去t解得a=，
由牛顿第二定律得F=mg+ma=mg。
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(2)在高度h处飞机的速度大小。
答案：v0
解析：在高度h处，飞机竖直方向的速度vy=at=
则速度大小：v==v0。
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10.(12分)(2024·济南高一检测)如图所示，从同一位置
以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖
直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙
壁之间的夹角分别为α、β。已知α=53°，β=37°，两小
球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
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答案：d
解析：方法一：设小球A、B抛出时的初速度分别为vA0、vB0，抛出后它们分别运动了tA、tB时间之后与墙壁碰撞，这一过程中小球A下落的竖直位移为hA，根据平抛运动的规律有
x=vA0tA=vB0tB，hA=g，hA+d=g，
tan α=，tan β=，联立解得x=d。
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方法二：推论1：如图所示，在平抛运动中，物体的速度与水平方向的夹角θ2的正切值 tan θ2= 为位移与水平方向的夹角θ1的正切值 tan θ1= 的2倍，即tan θ2=2tan θ1或=。
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推论2：如图所示，在平抛运动中，某时刻物体的速度v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点，有tan θ2==。
设小球A从抛出到与墙壁碰撞的过程中下落的竖直位移为hA，利用推论1或推论2结合题意有
tan(90°-α)=，tan(90°-β)=
联立解得x=d。
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11.(14分)如图为“闯关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h=3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB=60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
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(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
答案： m/s
解析：若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则hsin 60°≤v0t，hcos 60°=gt2，
解得：v0≥ m/s。
则速度最小值为 m/s。
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(2)若选手以速度v1=4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
答案：0.6 s
解析：若选手以速度v1=4 m/s水平跳出，因v1下降高度y=gt'2，
水平前进距离x=v1t'，且x2+y2=h2，
解得t'=0.6 s。
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4??课时跟踪检测(十二) 平抛运动规律的综合应用
(选择题1～8小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
1．一名网球运动员在发球时将球水平击出，如图所示。若该运动员发球速度为108 km/h，已知球网高度h＝0.9 m，发球点距球网的水平距离x＝12 m，不计球在空中飞行时的空气阻力，取g＝10 m/s2，为使网球顺利发过网，该运动员击球点距地面的高度H至少为( )
A．1.8 m B．1.7 m
C．0.9 m D．0.8 m
2.如图所示，用一只飞镖在O点对准前方的一块竖直挡板水平抛出，O与A在同一水平线上，当飞镖的水平初速度分别为v1、v2、v3时，打在挡板上的位置分别为B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，不计空气阻力，则v1∶v2∶v3的值为( )
A．3∶2∶1 B．5∶3∶1
C．6∶3∶2 D．9∶4∶1
3.如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧下方6.25 m处。重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为( )
A．6 m/s B．7.5 m/s
C．9 m/s D．11.25 m/s
4.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
A. B.
C. D.
5.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)( )
A．1∶1 B．1∶3
C．16∶9 D．9∶16
6.如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时静止释放a、b、c小球，它们到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系不正确的是( )
A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
7．如图所示为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝40 m，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．若v0＝18 m/s，则石块可以落入水中
B．若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大
C．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
8．(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，当地重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A. B.
C. D．(＋1)D
9．(12分)如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。现测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
10．(12分)(2024·济南高一检测)如图所示，从同一位置以不同的初速度水平抛出两个小球A、B，它们先后与竖直墙壁碰撞，碰撞的瞬间小球A、B的速度方向与竖直墙壁之间的夹角分别为α、β。已知α＝53°，β＝37°，两小球与墙壁的接触点之间的距离为d，求抛出点与竖直墙壁的距离x。(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
11．(14分)如图为“闯关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
课时跟踪检测(十二)
1．选B 运动员发球速度v0＝108 km/h＝30 m/s，水平方向有x＝v0t，解得t＝0.4 s，竖直方向刚好过网时，有H－h＝gt2，解得H＝1.7 m，故B正确。
2．选C 忽略空气阻力，则飞镖被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由h＝gt2，解得：t＝，所以三次小球运动的时间比t1∶t2∶t3＝∶∶＝1∶2∶3；水平位移相等，根据v＝得v1∶v2∶v3＝∶∶＝6∶3∶2，故C正确。
3．选B A、B两个平台水平距离为x＝7.5 m，设A、B平台竖直高度差为h，由平抛运动的规律可知：x＝v0t1，h＋6.25 m＝gt12；当小球恰能落到平台B上时，x＝v02t2，h＝gt22，联立解得v02＝7.5 m/s，故选项B正确。
4．选A 如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误。
5．选D 根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误。
6．选D 静止释放三个小球时，对a：＝g·sin 30°·t12，则t12＝；对b：h＝gt22，则t22＝；对c：＝gsin 45°·t32，则t32＝；所以t1＞t3＞t2，A正确，不符合题意。当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面上做类平抛运动，沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′，B、C正确，不符合题意，故选D。
7．选A 根据h＝gt2，得t＝ ＝ s＝2 s，则石块落入水中的最小初速度v0＝＝ m/s＝10 m/s＜18 m/s，可知若v0＝18 m/s，石块可以落入水中，故A正确；若石块能落入水中，则下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据tan α＝可知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小，故B错误；若石块不能落入水中，速度方向与水平方向夹角的正切值tan α＝，位移方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝，可知tan α＝2tan θ，因为θ一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关，故C、D错误。
8．选C 设出水孔到水桶中心的水平距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝ 。故选C。
9．解析：(1)飞机水平速度不变，在水平方向有l＝v0t，
竖直方向有h＝，消去t解得a＝，
由牛顿第二定律得F＝mg＋ma＝mg。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小：v＝＝v0 。
答案：(1)mg (2)v0
10．解析：方法一：设小球A、B抛出时的初速度分别为vA0、vB0，抛出后它们分别运动了tA、tB时间之后与墙壁碰撞，这一过程中小球A下落的竖直位移为hA，根据平抛运动的规律有
x＝vA0tA＝vB0tB，hA＝gtA2，hA＋d＝gtB2，
tan α＝，tan β＝，联立解得x＝d。
方法二：推论1：如图所示，在平抛运动中，物体的速度与水平方向的夹角θ2的正切值tan θ2＝为位移与水平方向的夹角θ1的正切值tan θ1＝的2倍，即tan θ2＝2tan θ1或＝。
推论2：如图所示，在平抛运动中，某时刻物体的速度v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点，有tan θ2＝＝。
设小球A从抛出到与墙壁碰撞的过程中下落的竖直位移为hA，利用推论1或推论2结合题意有
tan(90°－α)＝，tan(90°－β)＝
联立解得x＝d。
答案：d
11．解析：(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则hsin 60°≤v0t，hcos 60°＝gt2，
解得：v0≥ m/s。
则速度最小值为 m/s。
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，
因v1＜v0，人将落在弧形坡上。
下降高度y＝gt′2，
水平前进距离x＝v1t′，且x2＋y2＝h2，解得t′＝0.6 s。
答案：(1) m/s (2)0.6 s
4 / 4
