第1节 天地力的综合：万有引力定律
(强基课—逐点理清物理观念)
课标要求 层级达标
1.通过史实,了解万有引力定律的发现过程。2.知道万有引力定律。3.认识发现万有引力定律的重要意义。 学考层级 1.了解开普勒定律和万有引力定律,能解释简单的自然现象,解决简单的实际问题。2.能对简单的行星运动现象进行分析和推理,获取行星运动规律结论。
选考层级 1.能将行星运动近似看成匀速圆周运动模型,对有关万有引力定律的综合性问题进行分析,并获得结论。2.有学习和研究天体运动规律的内在动机,研究中坚持实事求是,在实验探究合作中既能坚持观点又能修正错误。
逐点清(一) 行星运动的规律
[多维度理解]
1．开普勒第一定律
(1)内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳位于椭圆的一个______上。
(2)开普勒第一定律行星运动的轨道
行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，如图所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2．开普勒第二定律
(1)内容：任何一个行星与太阳的连线在相等的______内扫过的______相等。
(2)开普勒第二定律行星运动的快慢
如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。开普勒第二定律又叫面积定律。
3．开普勒第三定律
(1)内容：行星绕太阳运行轨道______________与其__________________成正比，公式：________＝k。
(2)开普勒第三定律行星运动的周期
①k是一个对所有行星都相同的物理量，由中心天体太阳决定，与行星无关。
②椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，则公转周期越短。
③由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成＝k。
[全方位练明]
1．判断下列说法是否正确。
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。( )
(2)造成太阳每天东升西落的原因是天空不转动，太阳每天自东向西旋转一周。( )
(3)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。( )
(4)八大行星中海王星离太阳“最远”，则公转周期最长。( )
2.如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，运行轨道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于地球运行轨道的中心
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
3.如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是( )
A.天 B.天
C．1天 D．9天
逐点清(二) 万有引力定律
[多维度理解]
1．内容
自然界中任何两个物体都是相互______的，引力的方向沿____________，引力的大小F与这两个物体质量的____________成正比，与这两个物体间的____________成反比。
2．表达式：F＝____________。
(1)r是________的距离(若为匀质球体，则是________的距离)。
(2)G为________，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．“月—地”检验
牛顿的月—地检验，将地球对地面物体的引力、行星对卫星的引力统一起来，证明了它们都遵守________________。
4．引力常量的测定
(1)测定：1798年，英国物理学家______利用______实验，较精确地得到了引力常量数值。
(2)意义：使________________能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
(3)知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“______________________”。
[微点拨]
1．万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2.公式F＝G的适用条件
(1)严格地说，公式适用于两质点间的相互作用。
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用公式来计算，其中，r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，公式也适用，其中r为球心到质点的距离。
(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体间的距离。
[典例] (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．一颗卫星对地球的引力大小为
B．地球对一颗卫星的引力大小为
C．三颗卫星对地球引力的合力大小为
D．两颗卫星之间的引力大小为
听课记录：
[全方位练明]
1．(多选)对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
2．(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
3．(2023·新课标卷)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
逐点清(三) “填补法”计算物体间的万有引力
[多维度理解]
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
[典例] 一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在与被挖球相距为d的地方，求下列两种情况中，两球之间的万有引力分别是多大，并指出在什么条件下，以下两种情况计算结果相同。
(1)如图甲所示，从球的正中心挖去；
(2)如图乙所示，从与球面相切处挖去。
[解题指导] 当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时，剩余部分M′仍关于球心对称，且质量均匀分布，所以剩余部分M′与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时，剩余部分M′不再关于球心对称，所以剩余部分M′与球m之间的距离不再是d。
尝试解答：
[全方位练明]
如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．G B．0
C．4G D．G
第1节 天地力的综合：万有引力定律
逐点清(一)
[多维度理解]
1．(1)椭圆 焦点 2.(1)时间 面积 3.(1)半长轴a的立方 公转周期T的平方
[全方位练明]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．选D 根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的焦点处，A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，B错误；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，C错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，D正确。
3．选C 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故选项C正确。
逐点清(二)
[多维度理解]
1．吸引 两物体的连线 乘积m1m2 距离r的平方 2.G (1)两质点 两球心 (2)引力常量 3.万有引力定律 4.(1)卡文迪许 扭秤 (2)万有引力定律 (3)能称出地球质量的人
[典例] 选AD 万有引力定律公式F＝G中的r指的是两星体中心间的距离，因此A正确，B错误；根据几何知识，两卫星之间的距离为r，故两卫星间的引力大小为F′＝G＝，D正确；由于三颗卫星对地球的引力大小相等，且等间隔分布在半径为r的圆轨道上，因此三颗卫星对地球引力的合力为0，C错误。
[全方位练明]
1．选AD 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A正确；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错误；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错误，D正确。
2．选A 根据万有引力公式F＝G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
3．选D 物资在低速(速度远小于光速)宏观条件下质量保持不变，即在空间站中和在地面上质量相同，故A错误；设空间站离地面的高度为h，这批物资在地面上静止时合力为零，在空间站所受合力为万有引力，即F＝，在地面受地球引力为F1＝，因此有F1>F，故B、C错误；物资在空间站内绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力＝mω2r，解得ω＝，空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，即这批物资的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。
逐点清(三)
[典例] 解析：根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球＝πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m＝，M′＝。
(1)当从球的正中心挖去时，根据万有引力定律，这时两球之间的引力F1＝G＝G。
(2)当从与球面相切处挖去时，这种情况不能直接用万有引力公式计算，可利用填补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时M与m之间的引力F＝G＝G，
因为填补空心球而增加的引力
ΔF＝G＝G，
所以，这时M′与m之间的引力
F2＝F－ΔF＝GM2。
当d R时，F2≈GM2＝G＝F1，
即两种情况计算结果相同。
答案：见解析
[全方位练明]
选D 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故大球体的剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律得F＝G＝G，D正确。
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天地力的综合:万有引力定律
(强基课——逐点理清物理观念)
第 1 节
课标要求 层级达标
1.通过史实,了解万有引力定律的发现过程。 2.知道万有引力定律。 3.认识发现万有引力定律的重要意义。 学考层级 1.了解开普勒定律和万有引力定律,能解释简单的自然现象,解决简单的实际问题。
2.能对简单的行星运动现象进行分析和推理,获取行星运动规律结论。
选考层级 1.能将行星运动近似看成匀速圆周运动模型,对有关万有引力定律的综合性问题进行分析,并获得结论。
2.有学习和研究天体运动规律的内在动机,研究中坚持实事求是,在实验探究合作中既能坚持观点又能修正错误。
1
逐点清(一) 行星运动的规律
2
逐点清(二) 万有引力定律
3
逐点清(三) “填补法”计算物体间的万有引力
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
逐点清(一) 行星运动的规律
1.开普勒第一定律
(1)内容:所有行星绕太阳运动的轨道都是_____,太阳位于椭圆的一个______上。
(2)开普勒第一定律 行星运动的轨道
行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,如图所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的,但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
多维度理解
椭圆
焦点
2.开普勒第二定律
(1)内容:任何一个行星与太阳的连线在相等的______内扫过的_____相等。
(2)开普勒第二定律 行星运动的快慢
如图所示,在相等的时间内,面积SA=SB,这说明离太阳越近,行星在相等时间内经过的弧长越长,即行星的速率越大。开普勒第二定律又叫面积定律。
时间
面积
3.开普勒第三定律
(1)内容:行星绕太阳运行轨道_______________与其____________
______成正比,公式:_____=k。
半长轴a的立方
公转周期T的
平方
(2)开普勒第三定律 行星运动的周期
①k是一个对所有行星都相同的物理量,由中
心天体太阳决定,与行星无关。
②椭圆轨道半长轴越长的行星,其公转周期越长;
反之,则公转周期越短。
③由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近,因此,在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理,且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动,写成=k。
1.判断下列说法是否正确。
(1)宇宙的中心是太阳,所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。( )
(2)造成太阳每天东升西落的原因是天空不转动,太阳每天自东向西旋转一周。 ( )
(3)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。 ( )
(4)八大行星中海王星离太阳“最远”,则公转周期最长。 ( )
全方位练明
×
×
×
√
2.如图所示,火星和地球都在围绕着太阳旋转,运行轨道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知 ( )
A.太阳位于地球运行轨道的中心
B.地球靠近太阳的过程中,运行速率减小
C.火星远离太阳的过程中,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
√
解析:根据开普勒第一定律可知,太阳位于地球运行轨道的焦点处,A错误;根据开普勒第二定律可知,地球靠近太阳的过程中,运行速率增加,B错误;根据开普勒第二定律可知,火星远离太阳的过程中,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变,C错误;根据开普勒第三定律可知,火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴,可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长,D正确。
3.如图所示,某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为月球绕地球运转半径的,设月球绕地球运动的周期为27天,则此卫星的运转周期大约是( )
A.天 B.天
C.1天 D.9天
√
解析:由于r卫=r月,T月=27天,由开普勒第三定律=,可得T卫=1天,故选项C正确。
逐点清(二) 万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都是相互_______的,引力的方向沿______
________,引力的大小F与这两个物体质量的__________成正比,与这两个物体间的_____________成反比。
2.表达式:F=_______。
(1)r是________的距离(若为匀质球体,则是_______的距离)。
(2)G为__________,G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
多维度理解
吸引
两物体
的连线
乘积m1m2
距离r的平方
G
两质点
两球心
引力常量
3.“月—地”检验
牛顿的月—地检验,将地球对地面物体的引力、行星对卫星的引力统一起来,证明了它们都遵守_______________。
万有引力定律
4.引力常量的测定
(1)测定:1798年,英国物理学家__________利用______实验,较精确地得到了引力常量数值。
(2)意义:使________________能进行定量运算,显示出其真正的实用价值。
(3)知道G的值后,利用万有引力定律可以计算出天体的质量,卡文迪许也因此被称为“___________________________”。
卡文迪许
扭秤
万有引力定律
能称出地球质量的人
[微点拨]
1.万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关
续表
2.公式F=G的适用条件
(1)严格地说,公式适用于两质点间的相互作用。
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用,也可用公式来计算,其中,r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用,公式也适用,其中r为球心到质点的距离。
(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也近似适用,其中r为两物体间的距离。
[典例] (多选)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R。已知引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.一颗卫星对地球的引力大小为
B.地球对一颗卫星的引力大小为
C.三颗卫星对地球引力的合力大小为
D.两颗卫星之间的引力大小为
√
√
[解析] 万有引力定律公式F=G中的r指的是两星体中心间的距离,因此A正确,B错误;根据几何知识,两卫星之间的距离为r,故两卫星间的引力大小为F'=G=,D正确;由于三颗卫星对地球的引力大小相等,且等间隔分布在半径为r的圆轨道上,因此三颗卫星对地球引力的合力为0,C错误。
1.(多选)对于万有引力定律的表达式,下列说法中正确的是 ( )
A.公式中G为引力常量,与两个物体的质量无关
B.当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大
C.m1与m2受到的引力大小总是相等的,方向相反,是一对平衡力
D.m1与m2受到的引力大小总是相等的,而与m1、m2是否相等无关
全方位练明
√
√
解析:公式中的G为比例系数,称作引力常量,与两个物体的质量无关,A正确;当两物体表面距离r越来越小,直至趋近于零时,物体不能再看作质点,表达式F=G已不再适用于计算它们之间的万有引力,B错误;m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力,此二力总是大小相等、方向相反,与m1、m2是否相等无关,C错误,D正确。
2.(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在 ( )
A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等,b处最小
√
解析:根据万有引力公式F=G可知,题图中a处距离月球最近,单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
3.(2023·新课标卷)2023年5月,世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号,携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道,顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后,这批物资 ( )
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
√
解析:物资在低速(速度远小于光速)宏观条件下质量保持不变,即在空间站中和在地面上质量相同,故A错误;设空间站离地面的高度为h,这批物资在地面上静止时合力为零,在空间站所受合力为万有引力,即F=,在地面受地球引力为F1=,因此有F1>F,故B、C错误;物资在空间站内绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力=mω2r,解得ω=,空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,即这批物资的角速度大于地球自转的角速度,故D正确。
逐点清(三) “填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力,无法直接应用万有引力公式求得,解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”,即对本来是非对称的物体,通过“填补”后构成对称物体,然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体,即先把挖去的部分“填补”上,使其成为半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力,最后两引力相减即可得到答案。
多维度理解
[典例] 一个质量为M的匀质实心球,半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球,放在与被挖球相距为d的地方,求下列两种情况中,两球之间的万有引力分别是多大,并指出在什么条件下,以下两种情况计算结果相同。
(1)如图甲所示,从球的正中心挖去;
(2)如图乙所示,从与球面相切处挖去。
[解题指导] 当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时,剩余部分M'仍关于球心对称,且质量均匀分布,所以剩余部分M'与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时,剩余部分M'不再关于球心对称,所以剩余部分M'与球m之间的距离不再是d。
[答案] 见解析
[解析] 根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球=πr3·ρ∝r3,可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m=,M'=。
(1)当从球的正中心挖去时,根据万有引力定律,这时两球之间的引力F1=G=G。
(2)当从与球面相切处挖去时,这种情况不能直接用万有引力公式计算,可利用填补法,先将M'转化为理想模型,即用同样的材料将其填补为实心球M,这时M与m之间的引力F=G=G,
因为填补空心球而增加的引力
ΔF=G=G,
所以,这时M'与m之间的引力
F2=F-ΔF=GM2。
当d R时,
F2≈GM2=G=F1,
即两种情况计算结果相同。
如图所示,有一个质量为M,半径为R,密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体,并在空腔中心放置一质量为m的质点,则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A.G B.0
C.4G D.G
全方位练明
√
解析:若将挖去的小球体用原材料补回,可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差,挖去的小球体球心与m重合,对m的万有引力为零,则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力;以大球体球心为中心分离出半径为的球,易知其质量为M,则剩余均匀球壳对m的万有引力为零,故大球体的剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力,根据万有引力定律得F=G=G,D正确。
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A级——学考达标
1.关于万有引力常量G,下列说法中正确的是( )
A.人们为了计算引力大小,规定了G值
B.在不同的星球上,G的数值不一样
C.G值由卡文迪许通过扭秤实验测定
D.G值由牛顿通过理论计算得到
√
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解析:G的数值是卡文迪许通过扭秤实验测定的,在不同星球上,G的数值一样。故选C。
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2.(2024·青岛高一检测)如图所示,两球间的
距离为r0,两球的质量分布均匀,质量分别为m1、
m2,半径分别为r1、r2,引力常量为G,则两球间的
万有引力大小为 ( )
A. B.
C. D.
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解析:质量分布均匀的两个球体间的万有引力F=G,r是两球心间的距离,即F=G,选项D正确。
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3.2024年4月25日,我国神舟十八号载人飞船成功发射,在飞船发射过程中,用h表示飞船与地球表面的距离,F表示它受到的地球引力,下图能够正确描述F随h变化关系的图像是 ( )
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解析:设地球半径为R,根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F=,可知F随h的增大而减小,但不是线性关系,故选D。
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4.(2024·东营高一检测)火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为( )
A.0.4 B.0.8
C.2.0 D.2.5
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解析:设火星的质量为M、半径为R,根据万有引力定律,依题意同一物体放在火星表面与地球表面所受引力大小分别为F1=G,F2=G,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为F1∶F2=0.4,故B、C、D错误,A正确。
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5.如图所示,一个质量分布均匀的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体,且r=,则球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B.
C. D.
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解析:原来物体间的万有引力为F,挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的,其他条件不变,所以挖去的球体对质点P的万有引力为,故剩余部分对质点P的万有引力为F-=。C正确。
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6.如图所示,1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道,1为圆轨道,2为椭圆轨道,椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点;M点为椭圆轨道的远
地点,TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是 ( )
A.B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地
球引力将先增大后减小
B.地心与卫星B的连线在TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C.卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
D.1轨道圆心与2轨道的椭圆焦点重合
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解析:根据万有引力定律F=G可知,B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小,A错误;根据开普勒第三定律得=,解得TB=2TA,所以地心与卫星B的连线在TA时间内扫过的面积小于椭圆面积,B、C错误;1轨道圆心在地心,2轨道的椭圆的一个焦点也是地心,所以二者重合,D正确。
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7.根据开普勒第一定律,行星围绕恒星运动的轨迹是椭圆。如果某一行星的椭圆轨迹距离中央天体中心最近为4×106 km,最远为3×107 km,那么与之周期相同的另一行星绕该中央天体做圆周运动时的运动半径为 ( )
A.3.4×107 km B.1.7×107 km
C.3.4×106 km D.1.7×106 km
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解析:根据开普勒第三定律=k可知,题目所述的沿椭圆轨道运行的行星的轨道半长轴与沿圆轨道运行的行星的轨道半径相等,即r=a= km=1.7×107 km,故选B。
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8.2022年3月5日,我国在西昌卫星发射中心成功将银河航天的通信卫星发射升空。卫星进入高度为400 km的预定轨道,发射任务获得圆满成功。则卫星在地面上与轨道上受地球引力之比约为( )
A. B.
C. D.
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解析:由万有引力定律有F=G可知,卫星在地面上受地球万有引力F1=G,在轨道上受地球万有引力F2=G,又h=,所以==,故选A。
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9.(多选)如图所示,某行星沿椭圆轨道运行,A为远日点,离太阳的距离为a,B为近日点,离太阳的距离为b,行星过远日点时的速率为va,过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等,则 ( )
A.vb= va
B.vb=va
C.行星从A到A'的时间小于从B到B'的时间
D.太阳一定在该椭圆的一个焦点上
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解析:取极短时间Δt,根据开普勒第二定律得a·va·Δt=b·vb·Δt,得到vb=va,故A错误,B正确;题图中的两个阴影部分的面积相等,则它们的运动时间相等,故C错误;由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上,故D正确。
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B级——选考进阶
10.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。如图所示,一颗母星处在正三角形的中心,三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。如果任意两颗小星间的万有引力为F,母星与任意一颗小星间的万有引力为9F。则( )
A.每颗小星受到的万有引力为F
B.每颗小星受到的万有引力为(+9)F
C.母星的质量是小星质量的3倍
D.母星的质量是小星质量的3倍
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解析:假设每颗小星的质量为m,母星的质量为M,正三角形的边长为a,则小星绕母星运动的轨道半径为r=a。根据万有引力定律可知F=G,9F=G,联立解得M=3m,故C正确,D错误;任意一颗小星受到的万有引力F总=9F+2F·cos 30°=(+9)F,故A错误,B正确。
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11.某行星绕太阳沿椭圆轨道运行,如图所示,在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点,其中a点为近日点,c点为远日点,
若行星运动周期为T,则该行星 ( )
A.从a点到b点的运动时间等于从c点到d点的运动时间
B.从d点经a点到b点的运动时间等于从b点经c点到d点的运动时间
C.从a点到b点的时间tab<
D.从c点到d点的时间tcd<
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解析:根据开普勒第二定律知:在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。据此行星运行在近日点时,与太阳连线距离短,故运行速度大,在远日点时,太阳与行星连线长,故运行速度小。即在行星运动中,远日点的速度最小,近日点的速度最大。图中a点为近日点,所以速度最大,c点为远日点,所以速度最小,则从d点经a点到b点的运动时间小于从b点经c点到d点的运动时间,从a点到b点的运动时间小于从c点到d点的运动时间,且从a点到b点的时间tab<,c点到d点的时间tcd>。故A、B、D错误,C正确。
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12.如图所示,空间有一半径为R质量分布均匀
的球体,球的右侧有一质量为m的可视为质点的物
体,物体距离球体球心O之间的距离为2R,O与物体
的连线在同一水平线上,球对物体的引力大小为F1。
现从球中挖走两个半径为的小球,小球的球心O1、O2与O点的连线在同一竖直线上,剩余部分对物体的引力大小为F2。则F1∶F2为( )
A.34∶16 B.34∶(34-16)
C.17∶16 D.17∶(17-16)
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解析:假设大球的质量为M,则该球对物体的引力大小为F1==,挖走的一个小球质量为M'=M=,挖走的两小球与物体之间的距离均为r==R,挖走的一个小球与物体之间的引力大小为F=,整理得F=,设O1与物体的连线与水平方向的夹角为θ,则挖走的两个小球与物体之间的引力为F0=2Fcos θ=2××=,解得F1∶F0=17∶16,剩余部分对物体的引力大小F2=F1-F0,得F1∶F2=17∶(17-16),故选D。
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13.(16分)近几年,全球兴起探索火星的热潮。发射火星探测器可按以下步骤进行,第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之沿地球公转轨道运动。第二步是在适当时刻启用探测器上的火箭发动机,在短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度值增加到适当值,从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行,运行半个周期后正好飞行到火星表面附近,此时,启动探测器上的发动机,使之成为绕火星运转的卫星,然后采取措施使之降落在火星上。
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如图所示,设地球的轨道半径为R,火星的轨道半径为1.5R,探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间
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答案:0.7年
解析:由题可知,探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时,其轨道半长轴为=1.25R
由开普勒第三定律可得=
解得T'≈1.4T地
所以探测器从地球运行轨道到火星运行轨道所需时间t=≈0.7年。
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4?课时跟踪检测(十八) 天地力的综合：万有引力定律
(选择题1～9小题，每小题4分；10～12小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．关于万有引力常量G，下列说法中正确的是( )
A．人们为了计算引力大小，规定了G值
B．在不同的星球上，G的数值不一样
C．G值由卡文迪许通过扭秤实验测定
D．G值由牛顿通过理论计算得到
2．(2024·青岛高一检测)如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为( )
A. B.
C. D.
3．2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，F表示它受到的地球引力，下图能够正确描述F随h变化关系的图像是( )
4．(2024·东营高一检测)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为( )
A．0.4 B．0.8
C．2.0 D．2.5
5.如图所示，一个质量分布均匀的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. B.
C. D.
6.如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点；M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是( )
A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B．地心与卫星B的连线在TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
D．1轨道圆心与2轨道的椭圆焦点重合
7．根据开普勒第一定律，行星围绕恒星运动的轨迹是椭圆。如果某一行星的椭圆轨迹距离中央天体中心最近为4×106 km，最远为3×107 km，那么与之周期相同的另一行星绕该中央天体做圆周运动时的运动半径为( )
A．3.4×107 km B．1.7×107 km
C．3.4×106 km D．1.7×106 km
8．2022年3月5日，我国在西昌卫星发射中心成功将银河航天的通信卫星发射升空。卫星进入高度为400 km的预定轨道，发射任务获得圆满成功。则卫星在地面上与轨道上受地球引力之比约为( )
A.2 B.2
C. D.
9.(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则( )
A．vb＝ va
B．vb＝va
C．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间
D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上
B级——选考进阶
10.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。如果任意两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F。则( )
A．每颗小星受到的万有引力为F
B．每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
C．母星的质量是小星质量的3倍
D．母星的质量是小星质量的3倍
11.某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，其中a点为近日点，c点为远日点，若行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a点到b点的运动时间等于从c点到d点的运动时间
B．从d点经a点到b点的运动时间等于从b点经c点到d点的运动时间
C．从a点到b点的时间tab＜
D．从c点到d点的时间tcd＜
12．如图所示，空间有一半径为R质量分布均匀的球体，球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体，物体距离球体球心O之间的距离为2R，O与物体的连线在同一水平线上，球对物体的引力大小为F1。现从球中挖走两个半径为的小球，小球的球心O1、O2与O点的连线在同一竖直线上，剩余部分对物体的引力大小为F2。则F1∶F2为( )
A．34∶16 B．34∶(34－16)
C．17∶16 D．17∶(17－16)
13．(16分)近几年，全球兴起探索火星的热潮。发射火星探测器可按以下步骤进行，第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之沿地球公转轨道运动。第二步是在适当时刻启用探测器上的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度值增加到适当值，从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行，运行半个周期后正好飞行到火星表面附近，此时，启动探测器上的发动机，使之成为绕火星运转的卫星，然后采取措施使之降落在火星上。如图所示，设地球的轨道半径为R，火星的轨道半径为1.5R，探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间？
课时跟踪检测(十八)
1．选C G的数值是卡文迪许通过扭秤实验测定的，在不同星球上，G的数值一样。故选C。
2．选D 质量分布均匀的两个球体间的万有引力F＝G，r是两球心间的距离，即F＝G，选项D正确。
3．选D 设地球半径为R，根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F＝，可知F随h的增大而减小，但不是线性关系，故选D。
4．选A 设火星的质量为M、半径为R，根据万有引力定律，依题意同一物体放在火星表面与地球表面所受引力大小分别为F1＝G，F2＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为F1∶F2＝0.4，故B、C、D错误，A正确。
5．选C 原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变，所以挖去的球体对质点P的万有引力为，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝。C正确。
6．选D 根据万有引力定律F＝G可知，B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得＝，解得TB＝2TA，所以地心与卫星B的连线在TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的椭圆的一个焦点也是地心，所以二者重合，D正确。
7．选B 根据开普勒第三定律＝k可知，题目所述的沿椭圆轨道运行的行星的轨道半长轴与沿圆轨道运行的行星的轨道半径相等，即r＝a＝ km＝1.7×107 km，故选B。
8．选A 由万有引力定律有F＝G可知，卫星在地面上受地球万有引力F1＝G，在轨道上受地球万有引力F2＝G，又h＝，所以＝＝2，故选A。
9．选BD 取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得a·va·Δt＝b·vb·Δt，得到vb＝va，故A错误，B正确；题图中的两个阴影部分的面积相等，则它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。
10．选BC 假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝a。根据万有引力定律可知F＝G，9F＝G，联立解得M＝3m，故C正确，D错误；任意一颗小星受到的万有引力F总＝9F＋2F·cos 30°＝(＋9)F，故A错误，B正确。
11．选C 根据开普勒第二定律知：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。据此行星运行在近日点时，与太阳连线距离短，故运行速度大，在远日点时，太阳与行星连线长，故运行速度小。即在行星运动中，远日点的速度最小，近日点的速度最大。图中a点为近日点，所以速度最大，c点为远日点，所以速度最小，则从d点经a点到b点的运动时间小于从b点经c点到d点的运动时间，从a点到b点的运动时间小于从c点到d点的运动时间，且从a点到b点的时间tab＜，c点到d点的时间tcd＞。故A、B、D错误，C正确。
12．选D 假设大球的质量为M，则该球对物体的引力大小为F1＝＝，挖走的一个小球质量为M′＝M＝，挖走的两小球与物体之间的距离均为r＝＝ R，挖走的一个小球与物体之间的引力大小为F＝，整理得F＝，设O1与物体的连线与水平方向的夹角为θ，则挖走的两个小球与物体之间的引力为F0＝2Fcos θ＝2××＝，解得F1∶F0＝17∶16，剩余部分对物体的引力大小F2＝F1－F0，得F1∶F2＝17∶(17－16)，故选D。
13．解析：由题可知，探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时，其轨道半长轴为＝1.25R
由开普勒第三定律可得＝
解得T′≈1.4T地
所以探测器从地球运行轨道到火星运行轨道所需时间t＝≈0.7年。
答案：0.7年
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