福建省莆田第二十五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（图片版，含答案）

福建省莆田第二十五中学 2024-2025 学年高二下学
期期中考试数学试题
一、单选题
1. 函数 的导数 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知空间向量 ，若向量
共面，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图，在三棱柱 中，E、F分别是 BC、 的中点， 为
的重心，则 （ ）
A． B．
C． D．
5. A、B是一个随机试验中的两个事件，且 ，
则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
6. 设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
7. 设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列
结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数 ， D．对任意正数 ，
8. 已知函数 ，若不等式 的解集中恰有两个不同的正
整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9. 下列命题中正确的是（ ）
A．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C．点 关于平面 对称的点的坐标是
D．若 、 是两个单位向量，则
10. 设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有两个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．当 时，点 为曲线 的对称中心
D．当 时， 在区间 上单调递增
11. 如图，正方体 ，下列说法正确的是（ ）
A．点 P在直线 上运动时，直线 与直线 所成角的大小不变
B．点 P在直线 上运动时，直线 与平面 所成角的大小不变
C．点 P在直线 上运动时，二面角 的大小不变
D．点 P在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变
三、填空题
12. 已知 ， ， ，则点 C到直线 的距离为_____.
13. 如图，将一张 8cm×5cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余
部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为
_______ .
14. 下列结论中，正确的有______.
①若随机变量 ，则
②若随机变量 Y服从两点分布，且 ，则
③若随机变量 Z的分布列为 ， ，则
④若随机变量 ，则 T的分布列中最大的只有
四、解答题
15. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
， 为 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求二面角 的余弦值．
16. 某市共有 10 所重点大学可供考生选择，其中 3所为 985 高校，5所为 211
高校，另外 2所为特色专业高校．一位考生准备从这 10 所高校中随机选择 4所
进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
(1)求该考生恰好选到 2所 985 高校的概率；
(2)若该考生选到 985 高校的数量为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
17. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2的等边三角形且垂直于底面
， 是 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角
的余弦值．
18. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的
直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0]
零件个数 10 25 30 25 10
(1)经统计，零件的直径 服从正态分布 ，据此估计这批零件直径在
区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取 4个，记直径在区间 内
的零件个数为 ，求 的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生
产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零
件的次品率为 0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，
求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量 ，则 ，
， .
19. 已知函数 ．
(1)若 ，求 a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
福建省莆田第二十五中学 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：函数与导数、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 11
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 基本初等函数的导数公式；导数的运算法则
2 0.94 空间向量共面求参数
根据函数图象选择解析式；函数奇偶性的定义与判断；判断对数型函数的图象形
3 0.85
状；利用导数研究函数图象及性质
4 0.65 空间向量加减运算的几何表示；空间向量的数乘运算；空间向量的加减运算
利用对立事件的概率公式求概率；条件概率性质的应用；事件的运算及其含义；
5 0.65
计算条件概率
6 0.85 离散型随机变量的方差
7 0.65 概率分布曲线的认识；正态曲线的性质
8 0.65 利用导数研究能成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性
二、多选题
空间向量的有关概念；关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标；空间位置
9 0.85
关系的向量证明
函数单调性、极值与最值的综合应用；求函数零点或方程根的个数；函数极值点
10 0.85
的辨析
锥体体积的有关计算；面面角的向量求法；异面直线夹角的向量求法；线面角的
11 0.65
向量求法
三、填空题
12 0.85 点到直线距离的向量求法
13 0.65 由导数求函数的最值（不含参）；面积、体积最大问题；柱体体积的有关计算
服从二项分布的随机变量概率最大问题；两点分布的方差；利用随机变量分布列
14 0.65
的性质解题；指定区间的概率
四、解答题
15 0.65 线面角的向量求法；面面角的向量求法
计算古典概型问题的概率；求超几何分布的概率；超几何分布的均值；超几何分
16 0.65
布的分布列
17 0.65 线面平行的判定；已知线面角求其他量；面面角的向量求法
建立二项分布模型解决实际问题；利用全概率公式求概率；计算条件概率；3δ
18 0.65
原则
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究函数的零
19 0.4
点
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 函数与导数 1,3,8,10,13,19
2 空间向量与立体几何 2,4,9,11,12,13,15,17
3 计数原理与概率统计 5,6,7,14,16,18
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：