第2、3节 万有引力定律的应用 人类对太空的不懈探索
(赋能课—精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
1.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。2.会计算人造地球卫星的环绕速度。3.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。 学考层级 1.了解用万有引力定律计算天体质量的基本思路。2.形成初步的第一、二、三宇宙速度的概念,能对简单的宇宙航行现象进行分析和推理。3.能在熟悉的问题情境中应用天体运动模型。
选考层级 1.能对万有引力定律的综合性问题进行分析和推理,获得结论并做出解释。2.会计算人造地球卫星的环绕速度,用牛顿运动定律和万有引力定律解决宇宙航行问题。
一、天体质量的计算
1．地球质量的计算：如果不考虑地球的自转，可以认为在地面附近重力等于万有引力，即mg＝G，可以求得地球的质量：M＝__________。
2．一般天体质量的计算：分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。由G＝mr，得M＝__________。
[情境思考]
如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？
二、人造卫星上天
1．卫星原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做______运动，向心力由地球对它的__________提供，即__________＝m，则卫星在轨道上运行的线速度v＝__________。
2．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度，其大小为v1＝____________，又称环绕速度。
(2)第二宇宙速度
使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝__________，又称脱离速度。
(3)第三宇宙速度
使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝__________，也称逃逸速度。
[微点拨]
1．宇宙速度指的是发射速度，环绕速度一定不大于其发射速度。
2．第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度。
[质疑辨析]
牛顿设想，如图所示，把物体从高山上水平抛出，当速度足够大时物体不再落回地面，成为人造地球卫星。
请对以下结论作出判断。
(1)若物体的初速度v＝7.9 km/s时，物体将绕地球做匀速圆周运动。( )
(2)若物体的初速度v＞11.2 km/s，物体将绕地球做椭圆轨道运动。( )
(3)若物体的初速度v＞16.7 km/s，物体将挣脱太阳的束缚。( )
(4)若物体的初速度满足7.9 km/s＜v＜11.2 km/s，物体将绕地球做椭圆轨道运动。( )
(5)发射同步卫星的最小发射速度为7.9 km/s。( )
三、预测未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生________和法国天文爱好者________，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外未知行星的轨道。1846年9月23日，德国的______在勒维耶预测的区域发现了这颗神秘的行星——海王星。
2．预言哈雷彗星回归
英国物理学家______，依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了彗星的回归时间。
3．意义：________的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
四、人类对太空的不懈探索
1．古希腊人的探索与文艺复兴时期的学说。
2．牛顿的大综合：牛顿在前人研究的基础上，逐步建立了______________，将地上的力学与天上的力学统一起来，是物理学的第一次大综合，形成了以________________为基础的力学体系。
3．对太空的探索成果：
1957年10月，________成功发射了第一颗人造地球卫星。
1969年7月，美国“阿波罗十一号”登上______。
2003年10月，____________载人飞船成功发射，中国成为世界上第三个独立掌握载人航天技术的国家。
2012年6月，我国“神舟九号”飞船首次完成与“天宫一号”的手控交会对接任务。
[情境思考]
发射人造卫星(或宇宙飞船)应选择靠近赤道处来建较高的发射塔，而且发射的方向都是向东发射。这是什么原因呢？
强化点(一) 重力与万有引力的关系
任务驱动
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
[要点释解明]
1．“天上的物体”
“天上的物体”就是指在空中绕地球转动的物体，物体在空中时受到地球的万有引力等于物体的重力，即mg＝G，随着离地面的高度增加，万有引力减小，物体的重力随之减小(重力加速度减小)。
2．“地上的物体”
(1)“地上的物体”就是指在地面上随地球一起自转的物体，地面上的物体受到地球的万有引力F可以分解为物体受到的重力G和使物体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力F向(方向指向地轴)，如图所示。
(2)特殊位置
①南、北极点：mg＝G(F向＝0)，物体的重力有最大值，方向指向地心。
②赤道处：－mg＝mRω2，物体的重力有最小值，且mg＝G－mRω2，方向指向地心。
[题点全练清]
1．将物体由赤道向两极移动，则( )
A．它的重力减小
B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小
D．向心力方向、重力的方向都指向地心
2．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
3．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A. B.
C. D.
强化点(二) 天体质量与密度的计算
任务驱动
若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？是否也能求出月球的质量呢？
[要点释解明]
方法 重力加速度法 环绕法
情境 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力G＝m2r(以T为例)
天体质量 天体质量M＝ 中心天体质量M＝
天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝
方法 重力加速度法 环绕法
说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 T为公转周期，r为轨道半径，R为中心天体半径。这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量
[典例] 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度。
尝试解答：
[变式拓展] 结合[典例]中的情境，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
计算天体质量和密度时应注意以下两点区别
(1)天体的半径R和卫星环绕轨道半径r
只有在中心天体表面附近的卫星才有r≈R，而计算中心天体体积时V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径R。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间。公转周期是指天体绕中心天体做圆周运动，运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
[题点全练清]
1．(2023·辽宁沈阳质检)金星是太阳系的八大行星中从太阳向外的第二颗行星，在中国古代称为太白、启明或长庚。如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则( )
A．金星质量为 B．金星质量为
C．太阳质量为 D．太阳质量为
2.已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度的二次方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，则M、N两星球的密度之比为( )
A．1∶1 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
强化点(三) 发射速度与宇宙速度
[要点释解明]
1．人造卫星的两个速度
(1)发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。
(2)绕行速度：卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，由v＝可知，轨道半径越大，卫星的绕行速度就越小。
2．第一宇宙速度的推导
方法一：
方法二：
3．三大宇宙速度
项目 数值 意义
第一宇宙速度 7.9 km/s 发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
第二宇宙速度 11.2 km/s 发射的卫星挣脱地球引力束缚,离开地球的最小发射速度
第三宇宙速度 16.7 km/s 发射的卫星挣脱太阳引力束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
[典例] 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
听课记录：
发射速度、绕行速度与第一宇宙速度的区别
(1)某一星球的第一宇宙速度是一定的。
(2)卫星的发射速度越大，轨道越高，其绕行速度越小。
(3)第一宇宙速度是卫星最小的发射速度，也是最大的绕行速度。
[题点全练清]
1．(2023·济南学考检测)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．“天问一号”火星探测器发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度 7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最小运行速度
2．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
强化点(四) 卫星的运动规律分析
[要点释解明]
一、卫星的运行参量的求解问题
1．分析思路
一般卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。
2．常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝ma，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。
3．重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mω2r ω＝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝m2r T＝2π r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小
二、卫星相距“最近”或“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
1．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
2．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
[典例] a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求：
(1)a、b两颗卫星周期分别是多少？
(2)a、b两颗卫星速度之比是多少？
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
尝试解答：
[题点全练清]
1．(2023·广东1月学考)中国空间站运行轨道近似为圆形。为补充物资，货运飞船需定期与空间站交会对接，对接后形成的组合体仍在原轨道运行。与对接前的空间站相比，组合体运行( )
A．周期变大 B．线速度变大
C．向心加速度变大 D．所需的向心力变大
2．(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为( )
A．T＝ B．H＝－R
C．T＝ D．H＝－R
3．“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
第2、3节 万有引力定律的应用人类对太空的不懈探索
一、1. 2.
[情境思考]
提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝G ，得m地＝。
二、1.匀速圆周 万有引力 G 2.(1)7.9 km/s (2)11.2 km/s (3)16.7 km/s
[质疑辨析]
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
三、1.亚当斯 勒维耶 伽勒 2.哈雷 3.海王星
四、2.万有引力定律 牛顿三大运动定律 3.苏联 月球 “神舟五号”
[情境思考]
提示：因为这样可节省火箭燃料，且物体都有惯性，在生活中我们要尽量利用惯性的有利面，发射卫星所需的推力，不但与卫星的重量和发射倾角有关，而且与发射的方向和发射地点的纬度有关，地球自西向东自转，随地球纬度变化，各处自转的线速度也不同。在赤道处，地球自转的线速度最大，自转的线速度大小随纬度的增大而减小，在南北两极速度为零。如果我们顺着地球自转方向，在赤道附近向东发射倾角为零的卫星，这时就可以充分利用发射的卫星随地球自转的惯性，宛如“顺水推舟”，节省能量。
强化点(一)
[任务驱动] 提示：(1)该人在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
[题点全练清]
1．选C 地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，D错误；物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，A、B错误，C正确。
2．选B 根据G＝mg′，可得g′＝，则有g＝，＝，联立解得r＝2R，则该处距地球表面的高度h＝r－R＝R，故B正确。
3．选A 设物体质量为m，在赤道上：G－FN＝mR，可得FN＝G－mR；在南极：G＝FN′；联立可得：＝，故选项A正确。
强化点(二)
[任务驱动] 提示：能求出地球的质量。利用G＝m2r，求出的质量M＝为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已约掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。
[典例] 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星距天体表面的高度为h时，由万有引力提供向心力有
G＝m(R＋h)
则该天体的质量M＝
则该天体的密度ρ＝＝＝。
答案：
[变式拓展] 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M。
卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，
则该天体的质量M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝。
答案：
[题点全练清]
1．选C 设金星质量为m，太阳质量为M，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，故C正确，D错误；行星绕恒星运行的公转周期、轨道半径可以计算中心天体的质量，而不能计算行星质量，根据题中条件无法求出金星的质量，故A、B错误。
2．选B 由竖直上抛运动规律和题图可知v02＝2gM·2h0，v02＝2gN·h0，所以gM∶gN＝1∶2，根据mg＝，ρ＝，V＝πR3，可得ρ＝，则ρM∶ρN＝∶＝·＝，故选B。
强化点(三)
[典例] 选A 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，解得v＝，因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，故＝＝＝2，即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s，A正确。
[题点全练清]
1．选C 根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D错误；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，A错误；“天问一号”火星探测器仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，C正确。
2．选A 根据第一宇宙速度的表达式v＝，可得该星球的第一宇宙速度为v1＝ ＝ ，则该星球的第二宇宙速度为v2＝v1＝，A正确。
强化点(四)
[典例] 解析：(1)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，对地面上质量为m0的物体有G＝m0g，
a卫星在地球表面做匀速圆周运动：
＝maR，解得Ta＝2π ，
对b卫星有：＝mb·4R，解得Tb＝16π 。
(2)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，
对a卫星有＝，解得va＝ ，
对b卫星有G＝mb，
解得vb＝＝ ，所以＝2。
(3)由题可知，t－t＝π，解得t＝ 。
答案：(1)2π 16π (2)2 (3)
[题点全练清]
1．选D 与对接前的空间站相比，组合体运行的轨道半径不变，根据F向＝G＝m＝mr＝mω2r＝ma，可得T＝2π ，v＝ ，a＝，可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变，因组合体的质量变大，则所需的向心力变大。故选D。
2．选AB 设卫星的周期为T，则有t＝2π，解得T＝，由万有引力提供向心力有G＝m(R＋H)，又在地表处有g＝，联立解得H＝－R，故选A、B。
3．选D 由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：G＝mr2＝m＝mrω2＝ma，解得：T＝2π ，v＝ ，ω＝ ，a＝，由于T火>T地，可知，r火>r地，v火
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万有引力定律的应用
人类对太空的不懈探索
(赋能课——精细培优科学思维)
第 2、3 节
课标要求 层级达标
1.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 2.会计算人造地球卫星的环绕速度。 3.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。 学考层级 1.了解用万有引力定律计算天体质量的基本思路。
2.形成初步的第一、二、三宇宙速度的概念,能对简单的宇宙航行现象进行分析和推理。
3.能在熟悉的问题情境中应用天体运动模型。
选考层级 1.能对万有引力定律的综合性问题进行分析和推理,获得结论并做出解释。
2.会计算人造地球卫星的环绕速度,用牛顿运动定律和万有引力定律解决宇宙航行问题。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、天体质量的计算
1.地球质量的计算:如果不考虑地球的自转,可以认为在地面附近重力等于万有引力,即mg=G,可以求得地球的质量:M=_____。
2.一般天体质量的计算:分析围绕该天体运动的行星(或卫星),测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径,由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。由G=mr,得M=______。
[情境思考]
如图是我们测量物体质量的常用工具,地球这么大,我们如何“称量”地球的质量呢 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么
提示:若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力,因为地球表面的重力加速度g已知,地球的半径R已知,由mg=G ,得m地=。
二、人造卫星上天
1.卫星原理:一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做__________运动,向心力由地球对它的_________提供,即______=m,则卫星在轨
道上运行的线速度v=______。
匀速圆周
万有引力
G
2.宇宙速度
(1)第一宇宙速度
使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度,其大小为v1=________,又称环绕速度。
(2)第二宇宙速度
使人造卫星脱离地球的引力束缚,不再绕地球运行,从地球表面发射所需的最小速度,其大小为v2=___________,又称脱离速度。
7.9 km/s
11.2 km/s
(3)第三宇宙速度
使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系,从地球表面发射所需的最小速度,其大小为v3=____________,也称逃逸速度。
[微点拨]
1.宇宙速度指的是发射速度,环绕速度一定不大于其发射速度。
2.第一宇宙速度的其他三种叫法:最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度。
16.7 km/s
[质疑辨析]
牛顿设想,如图所示,把物体从高山上水平抛出,当速度足够大时物体不再落回地面,成为人造地球卫星。
请对以下结论作出判断。
(1)若物体的初速度v=7.9 km/s时,物体将绕地球做匀速圆周运动。 ( )
(2)若物体的初速度v>11.2 km/s,物体将绕地球做椭圆轨道运动。 ( )
(3)若物体的初速度v>16.7 km/s,物体将挣脱太阳的束缚。 ( )
(4)若物体的初速度满足7.9 km/s(5)发射同步卫星的最小发射速度为7.9 km/s。 ( )
√
×
√
√
×
三、预测未知天体
1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生_______和法国天文爱好者_______,根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外未知行星的轨道。1846年9月23日,德国的_____在勒维耶预测的区域发现了这颗神秘的行星——海王星。
亚当斯
勒维耶
伽勒
2.预言哈雷彗星回归
英国物理学家______,依据万有引力定律计算彗星轨道,准确预言了彗星的回归时间。
3.意义:________的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
哈雷
海王星
四、人类对太空的不懈探索
1.古希腊人的探索与文艺复兴时期的学说。
2.牛顿的大综合:牛顿在前人研究的基础上,逐步建立了_________
______,将地上的力学与天上的力学统一起来,是物理学的第一次大综合,形成了以_________________为基础的力学体系。
万有引力
定律
牛顿三大运动定律
3.对太空的探索成果:
1957年10月,_____ 成功发射了第一颗人造地球卫星。
1969年7月,美国“阿波罗十一号”登上________。
2003年10月,_____________ 载人飞船成功发射,中国成为世界上第三个独立掌握载人航天技术的国家。
2012年6月,我国“神舟九号”飞船首次完成与“天宫一号”的手控交会对接任务。
苏联
月球
“神舟五号”
[情境思考]
发射人造卫星(或宇宙飞船)应选择靠近赤道处来建较高的发射塔,而且发射的方向都是向东发射。这是什么原因呢
提示:因为这样可节省火箭燃料,且物体都有惯性,在生活中我们要尽量利用惯性的有利面,发射卫星所需的推力,不但与卫星的重量和发射倾角有关,而且与发射的方向和发射地点的纬度有关,地球自西向东自转,随地球纬度变化,各处自转的线速度也不同。在赤道处,地球自转的线速度最大,自转的线速度大小随纬度的增大而减小,在南北两极速度为零。如果我们顺着地球自转方向,在赤道附近向东发射倾角为零的卫星,这时就可以充分利用发射的卫星随地球自转的惯性,宛如“顺水推舟”,节省能量。
课堂精析重难
假如某个人做环球旅行,可能到达地球的任何地点,如果将地球看成标准的球体,那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
强化点(一) 重力与万有引力的关系
任务驱动
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系
提示:该人在各地点所受的万有引力大小相等,方向沿对应的地球半径指向地心。
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系
提示:由于地球自转的影响,该人在各地点所受的重力大小不一定相等,方向也不一定指向地心。
1.“天上的物体”
“天上的物体”就是指在空中绕地球转动的物体,物体在空中时受到地球的万有引力等于物体的重力,即mg=G,随着离地面的高度增加,万有引力减小,物体的重力随之减小(重力加速度减小)。
要点释解明
2.“地上的物体”
(1)“地上的物体”就是指在地面上随地球一起自转的物体,地面上的物体受到地球的万有引力F可以分解为物体受到的重力G和使物体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力F向(方向指向地轴),如图所示。
(2)特殊位置
①南、北极点:mg=G(F向=0),物体的重力有最大值,方向指向 地心。
②赤道处:-mg=mRω2,物体的重力有最小值,且mg=G-mRω2,方向指向地心。
1.将物体由赤道向两极移动,则 ( )
A.它的重力减小
B.它随地球转动的向心力增大
C.它随地球转动的向心力减小
D.向心力方向、重力的方向都指向地心
题点全练清
√
解析:地球表面上所有物体所受地球的万有引力,按其作用效果分为重力和向心力,向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转,所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则,只有万有引力的方向指向地心,D错误;物体由赤道向两极移动时,万有引力大小不变,向心力减小,重力增大,当到达两极时,重力等于万有引力,A、B错误,C正确。
2.地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,若高空中某处的重力加速度为,则该处距地球表面的高度为( )
A.(-1)R B.R
C.R D.2R
解析:根据G=mg',可得g'=,则有g=,=,联立解得r=2R,则该处距地球表面的高度h=r-R=R,故B正确。
√
3.设地球自转周期为T,质量为M,引力常量为G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:设物体质量为m,在赤道上:G-FN=mR,可得FN=G-mR;在南极:G=FN';联立可得:=,故选项A正确。
若已知月球绕地球转动的周期T和半径r,由此可以求出地球的质量吗 是否也能求出月球的质量呢
提示:能求出地球的质量。利用G=mr,求出的质量M=为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已约掉,所以根据月球的周期T、公转半径r,无法计算月球的质量。
任务驱动
强化点(二) 天体质量与密度的计算
方法 重力加速度法 环绕法
情境 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力mg=G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力G=mr(以T为例)
要点释解明
天体质量 天体质量M= 中心天体质量M=
天体密度 ρ== ρ==
说明 g为天体表面重力加速度,未知星球表面重力加速度通常利用实验测出,例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 T为公转周期,r为轨道半径,R为中心天体半径。这种方法只能求中心天体质量,不能求环绕星体质量
续表
[典例] 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T,已知引力常量为G,求该天体的质量和密度。
[答案]
[解析] 设卫星的质量为m,天体的质量为M,卫星距天体表面的高度为h时,由万有引力提供向心力有G=m(R+h)
则该天体的质量M=
则该天体的密度ρ===。
[变式拓展] 结合[典例]中的情境,假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星,它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
答案:
解析:设卫星的质量为m,天体的质量为M。
卫星贴近天体表面运动时有G=mR,
则该天体的质量M=
根据数学知识可知天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ==。
[易错提醒]
计算天体质量和密度时应注意以下两点区别
(1)天体的半径R和卫星环绕轨道半径r
只有在中心天体表面附近的卫星才有r≈R,而计算中心天体体积时V=πR3中的“R”只能是中心天体的半径R。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间。公转周期是指天体绕中心天体做圆周运动,运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
1.(2023·辽宁沈阳质检)金星是太阳系的八大行星中从太阳向外的第二颗行星,在中国古代称为太白、启明或长庚。如果金星的公转周期为T,自转周期为T',半径为R,金星到太阳的距离为r,引力常量为G,则 ( )
A.金星质量为 B.金星质量为
C.太阳质量为 D.太阳质量为
题点全练清
√
解析:设金星质量为m,太阳质量为M,根据万有引力提供向心力有G=mr,解得M=,故C正确,D错误;行星绕恒星运行的公转周期、轨道半径可以计算中心天体的质量,而不能计算行星质量,根据题中条件无法求出金星的质量,故A、B错误。
2.已知M、N两星球的半径之比为2∶1,在星球表面竖直上抛物体时,其上升的最大高度h与初速度的二次方v2的关系如图所示(不计空气阻力),则M、N两星球的密度之比为 ( )
A.1∶1 B.1∶4
C.1∶8 D.1∶16
√
解析:由竖直上抛运动规律和题图可知=2gM·2h0,=2gN·h0,所以gM∶gN=1∶2,根据mg=,ρ=,V=πR3,可得ρ=,则ρM∶ρN=∶=·=,故选B。
1.人造卫星的两个速度
(1)发射速度:指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地面越高,卫星的发射速度越大。
(2)绕行速度:卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度,由v=可知,轨道半径越大,卫星的绕行速度就越小。
要点释解明
强化点(三) 发射速度与宇宙速度
2.第一宇宙速度的推导
方法一:
r=R G=m v=≈7.9 km/s
方法二:
mg=m v=≈7.9 km/s
万有引力近
似等于卫星重力
3.三大宇宙速度
项目 数值 意义
第一宇 宙速度 7.9 km/s 发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
第二宇 宙速度 11.2 km/s 发射的卫星挣脱地球引力束缚,离开地球的最小发射速度
第三宇 宙速度 16.7 km/s 发射的卫星挣脱太阳引力束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
[典例] 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s,某行星质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,此行星的第一宇宙速度约为 ( )
A.16 km/s B.32 km/s
C.4 km/s D.2 km/s
√
[解析] 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,对于近地卫星,其轨道半径近似等于星球半径,所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,根据万有引力定律和牛顿第二定律得G=m,解得v=,因为行星的质量M'是地球质量M的6倍,半径R'是地球半径R的1.5倍,故===2,即v'=2v=2×8 km/s=16 km/s,A正确。
[易错提醒]
发射速度、绕行速度与第一宇宙速度的区别
(1)某一星球的第一宇宙速度是一定的。
(2)卫星的发射速度越大,轨道越高,其绕行速度越小。
(3)第一宇宙速度是卫星最小的发射速度,也是最大的绕行速度。
1.(2023·济南学考检测)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是 ( )
A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1,小于v2
B.“天问一号”火星探测器发射速度大于第三宇宙速度
C.第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D.第一宇宙速度 7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最小运行速度
题点全练清
√
解析:根据v=可知,卫星的轨道半径r越大,即距离地面越远,卫星的环绕速度越小,v1=7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度,D错误;实际上,由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径,故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度,A错误;“天问一号”火星探测器仍在太阳系内,所以其发射速度小于第三宇宙速度,B错误;第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度,C正确。
2.物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度,第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
√
解析:根据第一宇宙速度的表达式v=,可得该星球的第一宇宙速度为v1==,则该星球的第二宇宙速度为v2=v1=,A正确。
一、卫星的运行参量的求解问题
1.分析思路
一般卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,即F向=F万。
要点释解明
强化点(四) 卫星的运动规律分析
2.常用关系
(1)G=m=mrω2=mr=mωv=ma,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg=G,在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力,可得gR2=GM,该公式称为黄金代换。
3.重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G=m v= r越大,v越小
ω与r的关系 G=mω2r ω= r越大,ω越小
T与r的关系 G=mr T=2π r越大,T越大
a与r的关系 G=ma a= r越大,a越小
二、卫星相距“最近”或“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近,如图甲所示。
1.当它们转过的角度之差Δθ=π,即满足ωaΔt-ωbΔt=π时,两卫星第一次相距最远,如图乙所示。
2.当它们转过的角度之差Δθ=2π,即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时,两卫星再次相距最近。
[典例] a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动,a为近地卫星,b卫星离地面高度为3R,已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,试求:
(1)a、b两颗卫星周期分别是多少
[答案] 2π 16π
[解析] 卫星做匀速圆周运动,F引=F向,对地面上质量为m0的物体有G=m0g,
a卫星在地球表面做匀速圆周运动:=maR,解得Ta=2π,
对b卫星有:=mb·4R,解得Tb=16π。
(2)a、b两颗卫星速度之比是多少
[答案] 2
[解析] 卫星做匀速圆周运动,F引=F向,对地面上质量为m0的物体有G=m0g,
a卫星在地球表面做匀速圆周运动:=maR,解得Ta=2π,
对b卫星有:=mb·4R,解得Tb=16π。
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方,则至少经过多长时间两卫星相距最远
[答案]
[解析] 由题可知,t-t=π,解得t=。
1.(2023·广东1月学考)中国空间站运行轨道近似为圆形。为补充物资,货运飞船需定期与空间站交会对接,对接后形成的组合体仍在原轨道运行。与对接前的空间站相比,组合体运行 ( )
A.周期变大 B.线速度变大
C.向心加速度变大 D.所需的向心力变大
题点全练清
√
解析:与对接前的空间站相比,组合体运行的轨道半径不变,根据F向=G=m=mr=mω2r=ma,可得T=2π ,v=,a=,可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变,因组合体的质量变大,则所需的向心力变大。故选D。
2.(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动,该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度,赤道上一观测者发现,该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t,已知地球自转周期为T0,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为 ( )
A.T= B.H=-R
C.T= D.H=-R
√
√
解析:设卫星的周期为T,则有t=2π,解得T=,由万有引力提供向心力有G=m(R+H),又在地表处有g=,联立解得H=-R,故选A、B。
3.“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 ( )
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
√
解析:由题意可知,火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍,说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍,根据万有引力提供向心力,得:G=mr=m=mrω2=ma,解得:T=2π ,v= ,ω= ,a=,由于T火>T地,可知,r火>r地,v火课时跟踪检测
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A级——学考达标
1.下列与重力相关的叙述正确的是( )
A.同一物体所处纬度越高,重力越小
B.同一物体所处海拔越高,重力越大
C.重力G=mg中的g就是自由落体运动中的加速度g
D.重力不一定作用于重心上
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解析:根据万有引力和圆周运动知识可得,重力是万有引力的一个分量,纬度越高时物体因地球自转所需的向心力越小,重力越大,同时物体所处海拔越高受到的万有引力越小,重力也越小,A、B错误;重力G=mg中的g就是自由落体运动中的加速度g,C正确;重心是物体各部分所受重力的合力点,所以重力一定不是作用于重心上,D错误。
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2.如图,P是纬度为θ的地球表面上一点,人造地球卫星Q、A均做匀速圆周运动,卫星A为地球赤道同步卫星。若某时刻P、Q、A与地心O在同一平面内,其中O、P、Q在一条直线上,且∠OQA=90°,下列说法正确的是 ( )
A.12小时后O、P、Q、A再一次共面
B.P点向心加速度大于卫星Q的向心加速度
C.P、Q、A均绕地心做匀速圆周运动
D.A的线速度小于Q的线速度
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解析:由公式G=mr,得T=2π,Q、A的周期之比为TQ∶TA=∶
=∶1,故12小时后,Q转过的角度大于O、P、A转过的角度,则不会再一次共面,故A错误;P是纬度为θ的地球表面上一点,绕地轴做圆周运动,向心加速度基本可以忽略,重力约等于万有引力,而人造地球卫星Q绕地心做圆周运动,万有引力提供向心力,则Q的向心加速度大,故B错误;P绕地轴做匀速圆周运动,Q、A绕地心做匀速圆周运动,故C错误;设地球半径为R,由公式G=m,可知v=,A距离地心远,则A的线速度小于Q的线速度,故D正确。
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3.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为 ( )
A. B.
C. D.
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解析:根据万有引力公式=mr,整理得M=,因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等,故=,故选D。
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4.已知火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,假设航天员的质量为70 kg,重力加速度g取10 m/s2,则航天员在火星表面的质量和重力分别为( )
A.70 kg,280 N B.70 kg,1 750 N
C.28 kg,280 N D.28 kg,1 750 N
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解析:根据地球表面的物体万有引力近似等于重力,有G=mg,解得g==10 m/s2,同理,火星表面的重力加速度为g'===4 m/s2,质量不随重力加速度的变化而变化,所以质量还是70 kg,航天员在火星表面的重力为G'=mg'=280 N,故A正确,B、C、D错误。
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5.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是 ( )
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
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解析:根据G=ma,可得a=,因该卫星与月球的轨道半径相同,可知向心加速度大小相同;因该卫星的质量与月球质量不一定相等,则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
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6.(2023·广东1月学考)北斗导航系统中的地球同步卫星绕地球近似做匀速圆周运动,其运行的线速度 ( )
A.大于第一宇宙速度 B.等于第一宇宙速度
C.小于第一宇宙速度 D.等于第二宇宙速度
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解析:根据万有引力提供向心力可知G=m,解得v= ,当卫星的轨道半径等于地球半径时,运行速度等于第一宇宙速度,而同步卫星的轨道半径大于地球半径,故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度,第二宇宙速度大于第一宇宙速度。故选C。
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7.(多选)“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲,由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、水油分离实验、太空抛物实验等实验。空间站轨道高度约为400 km,倾角约为42°,总重量约为100 t,地球半径约为6 400 km,已知地球表面重力加速度g取10 m/s2,忽略地球自转影响。下列说法正确的是 ( )
A.空间站实质上就是一颗同步卫星
B.航天员进驻空间站内为完全失重状态
C.空间站的环绕地球的速度大于7.9 km/s
D.空间站向心加速度大小约为8.9 m/s2
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解析:地球同步卫星的轨道平面在赤道平面,倾角为0,且轨道位于赤道上方高度约36 000 km,所以空间站显然不是同步卫星,故A错误;航天员进驻空间站内随空间站绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,航天员处于完全失重状态,故B正确;第一宇宙速度7.9 km/s是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,同时也是物体绕地球运行的最大环绕速度,所以空间站的环绕速度不可能大于第一宇宙速度7.9 km/s,故C错误;近地轨道卫星的向心加速度等于重力加速度g,根据牛顿第二定律有G=mg,设空间站的向心加速度大小为a,同理有G=m'a,联立以上两式可得a≈8.9 m/s2,故D正确。
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8.(2024·河北高考)(多选)2024年3月20日,鹊桥二号中继星成功发射升空,为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是 ( )
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A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B.鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C.鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s
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解析:鹊桥二号围绕月球做椭圆运动,根据开普勒第二定律可知,从A→C→B做减速运动,从B→D→A做加速运动,则从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,故A错误;鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有G=maA,同理在B点有G=maB,代入题中数据联立解得aA∶aB=81∶1,故B正确;由于鹊桥二号做曲线运动,则可知鹊桥二号速度方向应为轨道的切线方向,则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线,故C错误;由于鹊桥二号环绕月球运动,而月球为地球的“卫星”,则鹊桥二号未脱离地球的束缚,故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s,故D正确。
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9.(12分)两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动,已知它们的轨道半径之比r1∶r2=4∶1,求这两颗卫星的:
(1)线速度大小之比;
答案: 1∶2
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解析:地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力,设地球的质量为M,两卫星的质量分别为m1、m2,线速度大小分别为v1、v2,由牛顿第二定律得
可得===1∶2。
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(2)角速度之比;
答案:1∶8
解析:由角速度与线速度的关系ω=,得两卫星的角速度分别为
可得==×=1∶8。
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(3)向心加速度大小之比。
答案:1∶16
解析:由向心加速度的公式a=rω2,得两卫星的向心加速度大小分别为
可得==×4=1∶16。
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B级——选考进阶
10.(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表:
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行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
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则相邻两次“冲日”时间间隔约为 ( )
A.火星365天 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
解析:由题意对“火星冲日”有:-=1,且=,解得t火≈800天,同理对“天王星冲日”可知t天≈369天,故选B。
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11.(2024·湖南高考)(多选)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的,月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是( )
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A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
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√
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解析:返回舱在该绕月轨道上运动时,万有引力提供向心力,且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径,则有G=m,在月球表面万有引力和重力的关系为G=mg月,联立解得v月=,同理可得v地=,代入题中数据可得v月=v地,故A错误,B正确;根据线速度和周期的关系有T=r,根据以上分析可得T月=T地,故C错误,D正确。
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12.(14分)石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想:用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站,利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R,自转周期为T,地球北极表面重力加速度为g0,引力常量为G。
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(1)求地球的质量M;
答案:
解析:设质量为m0的物体在北极地面静止,则m0g0=G,解得M=。
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(2)太空电梯停在距地3R的站点,求该站点处的重力加速度g的大小。
答案:-
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解析:设货物质量为m,在距地面高3R站点受到的万有引力为F,则F=G,货物绕地球做匀速圆周运动,设太空电梯对货物的支持力为N,则
F-N=mω2·4R
N=mg
ω=
联立解得g=-。
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4??课时跟踪检测(十九) 万有引力定律的应用
人类对太空的不懈探索
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．下列与重力相关的叙述正确的是( )
A．同一物体所处纬度越高，重力越小
B．同一物体所处海拔越高，重力越大
C．重力G＝mg中的g就是自由落体运动中的加速度g
D．重力不一定作用于重心上
2.如图，P是纬度为θ的地球表面上一点，人造地球卫星Q、A均做匀速圆周运动，卫星A为地球赤道同步卫星。若某时刻P、Q、A与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且∠OQA＝90°，下列说法正确的是( )
A．12小时后O、P、Q、A再一次共面
B．P点向心加速度大于卫星Q的向心加速度
C．P、Q、A均绕地心做匀速圆周运动
D．A的线速度小于Q的线速度
3．(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B.
C. D.
4．已知火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，假设航天员的质量为70 kg，重力加速度g取10 m/s2，则航天员在火星表面的质量和重力分别为( )
A．70 kg,280 N B．70 kg,1 750 N
C．28 kg,280 N D．28 kg,1 750 N
5．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
6．(2023·广东1月学考)北斗导航系统中的地球同步卫星绕地球近似做匀速圆周运动，其运行的线速度( )
A．大于第一宇宙速度 B．等于第一宇宙速度
C．小于第一宇宙速度 D．等于第二宇宙速度
7．(多选)“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、水油分离实验、太空抛物实验等实验。空间站轨道高度约为400 km，倾角约为42°，总重量约为100 t，地球半径约为6 400 km，已知地球表面重力加速度g取10 m/s2，忽略地球自转影响。下列说法正确的是( )
A．空间站实质上就是一颗同步卫星
B．航天员进驻空间站内为完全失重状态
C．空间站的环绕地球的速度大于7.9 km/s
D．空间站向心加速度大小约为8.9 m/s2
8．(2024·河北高考)(多选)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是( )
A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s
9．(12分)两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的：
(1)线速度大小之比；
(2)角速度之比；
(3)向心加速度大小之比。
B级——选考进阶
10．(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
11．(2024·湖南高考)(多选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 倍
12．(14分)石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R，自转周期为T，地球北极表面重力加速度为g0，引力常量为G。
(1)求地球的质量M；
(2)太空电梯停在距地3R的站点，求该站点处的重力加速度g的大小。
课时跟踪检测(十九)
1．选C 根据万有引力和圆周运动知识可得，重力是万有引力的一个分量，纬度越高时物体因地球自转所需的向心力越小，重力越大，同时物体所处海拔越高受到的万有引力越小，重力也越小，A、B错误；重力G＝mg中的g就是自由落体运动中的加速度g，C正确；重心是物体各部分所受重力的合力点，所以重力一定不是作用于重心上，D错误。
2．选D 由公式G＝mr，得T＝2π ，Q、A的周期之比为TQ∶TA＝∶＝∶1，故12小时后，Q转过的角度大于O、P、A转过的角度，则不会再一次共面，故A错误；P是纬度为θ的地球表面上一点，绕地轴做圆周运动，向心加速度基本可以忽略，重力约等于万有引力，而人造地球卫星Q绕地心做圆周运动，万有引力提供向心力，则Q的向心加速度大，故B错误；P绕地轴做匀速圆周运动，Q、A绕地心做匀速圆周运动，故C错误；设地球半径为R，由公式G＝m，可知v＝ ，A距离地心远，则A的线速度小于Q的线速度，故D正确。
3．选D 根据万有引力公式＝mr，整理得M＝，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故＝，故选D。
4．选A 根据地球表面的物体万有引力近似等于重力，有G＝mg，解得g＝＝10 m/s2，同理，火星表面的重力加速度为g′＝＝＝4 m/s2，质量不随重力加速度的变化而变化，所以质量还是70 kg，航天员在火星表面的重力为G′＝mg′＝280 N，故A正确，B、C、D错误。
5．选C 根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
6．选C 根据万有引力提供向心力可知G＝m，解得v＝ ，当卫星的轨道半径等于地球半径时，运行速度等于第一宇宙速度，而同步卫星的轨道半径大于地球半径，故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，第二宇宙速度大于第一宇宙速度。故选C。
7．选BD 地球同步卫星的轨道平面在赤道平面，倾角为0，且轨道位于赤道上方高度约36 000 km，所以空间站显然不是同步卫星，故A错误；航天员进驻空间站内随空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，航天员处于完全失重状态，故B正确；第一宇宙速度7.9 km/s是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，同时也是物体绕地球运行的最大环绕速度，所以空间站的环绕速度不可能大于第一宇宙速度7.9 km/s，故C错误；近地轨道卫星的向心加速度等于重力加速度g，根据牛顿第二定律有G＝mg，设空间站的向心加速度大小为a，同理有G＝m′a，联立以上两式可得a≈8.9 m/s2，故D正确。
8．选BD 鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12 h，故A错误；鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有G＝maA，同理在B点有G＝maB，代入题中数据联立解得aA∶aB＝81∶1，故B正确；由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨道的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故D正确。
9．解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M，两卫星的质量分别为m1、m2，线速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得
可得＝＝＝1∶2。
(2)由角速度与线速度的关系ω＝，得两卫星的角速度分别为可得＝＝×＝1∶8。
(3)由向心加速度的公式a＝rω2，得两卫星的向心加速度大小分别为
可得＝＝2×4＝1∶16。
答案：(1)1∶2 (2)1∶8 (3)1∶16
10．选B 由题意对“火星冲日”有：－＝1，且＝，解得t火≈800天，同理对“天王星冲日”可知t天≈369天，故选B。
11．选BD 返回舱在该绕月轨道上运动时，万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G＝m，在月球表面万有引力和重力的关系为G＝mg月，联立解得v月＝，同理可得v地＝，代入题中数据可得v月＝v地，故A错误，B正确；根据线速度和周期的关系有T＝r，根据以上分析可得T月＝T地，故C错误，D正确。
12．解析：(1)设质量为m0的物体在北极地面静止，则m0g0＝G，解得M＝。
(2)设货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为F，则F＝G，货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为N，则
F－N＝mω2·4R，N＝mg，ω＝
联立解得g＝－。
答案：(1) (2)－
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