第2课时 圆的一般方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题.
1.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0( )叫作圆的一般方程.圆心为点 ,半径为 .
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以点为圆心,为半径的圆
|微|点|助|解|
1.圆的一般方程形式上的特点
(1)x2,y2的系数均为1;
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
2.在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,点表示圆心,表示半径.3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. ( )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( )
(4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. ( )
2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 ( )
A.(-1,2),3 B.(1,-2),3
C.(-1,2),1 D.(1,-2),1
3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)
B.(-2,2)
C.[-2,2]
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
题型(一) 圆的一般方程的概念
[例1] 已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围;
(2)若圆的直径为6,求t的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
[提醒] 在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.
[针对训练]
1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-6,+∞) B.[-6,+∞)
C.(-∞,6] D.(-∞,6)
2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当半径最小时,方程为 ( )
A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2
C.x2+= D.x2+=
题型(二) 求圆的一般方程
[例2] 已知圆M经过点A(2,-2),B(-4,6),C(4,2).求圆M的方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
[针对训练]
3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-6x-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),H(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 ( )
A.±1 B.+1
C.-1 D.1±
题型(三) 与圆有关的轨迹问题
[例3] 点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
2.若本例条件变为从定点A(6,8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1,P2两点,求弦P1P2的中点P的轨迹.
|思|维|建|模|
求与轨迹问题有关的圆的方程
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
[针对训练]
5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
6.已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.
第2课时 圆的一般方程
?课前预知教材
1．D2＋E2－4F>0
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．选A 将圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为点(－1,2)，半径为3.
3．选D 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程为2＋(y－1)2＝－2.由该方程表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由题意，方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆，
则满足D2＋E2－4F＝(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＝2t＋9>0，解得t>－，
即t的取值范围为.
(2)由圆的直径为6，可得r＝＝＝3，解得t＝.
[针对训练]
1．选D 由方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0可得(x＋k)2＋(y－2)2＝6－k，所以当r＝>0时表示圆，解得k<6.
2．选D 由题意得a＝0，则x2＋y2＋(2b－1)y－1－b2＝0，x2＋2＝1＋b2＋，则r2＝1＋b2＋＝b2－b＋，对称轴为b＝，代入得最小值为，此时圆的方程为x2＋2＝.
[题型(二)]
[例2] 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(2，－2)，B(－4,6)，C(4,2)三个点代入得解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋2x－4y－20＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝25.
[针对训练]
3．选C 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为点，因为圆C经过两点A(0，2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，所以
解得所以圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0.
4．选D 设过四点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)代入可得解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，将H(m，－1)代入圆的方程得m2－2m－1＝0，解得m＝1±，故选D.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[变式拓展]
1．解：设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或x＝1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2．解：由题意知OP⊥AP，取OA的中点M，则M(3,4)，PM＝OA＝ ＝5.
由圆的定义知其轨迹方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.所以P的轨迹是以(3,4)为圆心，5为半径的圆．
[针对训练]
5．解：以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(－3,0)，B(3,0)，M(x，y)，则MA2＋MB2＝26，即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，化简得点M的轨迹方程为x2＋y2＝4.
6．解：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，∴A为线段MB的中点，由中点坐标公式得∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得2＋2＝2，化简得(x＋4)2＋y2＝8，∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.
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圆的一般方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第2课时
课时目标
1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(_________________)叫作圆的一般方程.圆心为点________________，半径为________________.
D2+E2-4F>0
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以点为圆心，为半径的圆
|微|点|助|解|
1.圆的一般方程形式上的特点
(1)x2，y2的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2+E2-4F>0.
2.在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，点表示圆心，表示半径.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.( )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆，则E≠0.( )
(4)方程x2+y2+x+1=0表示圆.( )
√
√
×
×
2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 ( )
A.(-1，2)，3 B.(1，-2)，3
C.(-1，2)，1 D.(1，-2)，1
解析：将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9，所以圆心为点(-1，2)，半径为3.
√
3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的取值范围是 ( )
A.(-∞，-2) B.(-2，2)
C.[-2，2] D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
解析：法一：配方法 将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程为+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0，解得m<-2或m>2.
法二：判别式法 由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0，即m2-8>0，解得m<-2或m>2.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 圆的一般方程的概念
[例1] 已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
解：由题意，方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆，
则满足D2+E2-4F=(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0，解得t>-，
即t的取值范围为.
(2)若圆的直径为6，求t的值.
解：由圆的直径为6，可得r===3，
解得t=.
|思|维|建|模|
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆.
[提醒] 在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.
针对训练
1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 ( )
A.(-6，+∞) B.[-6，+∞)
C.(-∞，6] D.(-∞，6)
解析：由方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0可得(x+k)2+(y-2)2=6-k，所以当r=>0时表示圆，解得k<6.
√
2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为( )
A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2
C.x2+= D.x2+=
√
解析：由题意得a=0，则x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0，x2+=1+b2+，则r2=1+b2+=b2-b+，
对称轴为b=，代入得最小值为，此时圆的方程为x2+=.
题型(二) 求圆的一般方程
[例2] 已知圆M经过点A(2，-2)，B(-4，6)，C(4，2).求圆M的方程.
解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(2，-2)，B(-4，6)，C(4，2)三个点代入得解得所以圆M的方程为x2+y2+2x-4y-20=0，即(x+1)2+(y-2)2=25.
|思|维|建|模|
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.
(3)解此方程组，求出D，E，F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
针对训练
3.已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x-y-3=0上，则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-6x-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
√
解析：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为点，因为圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x-y-3=0上，所以解得所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.
4.已知A(0，0)，B(2，0)，C(2，-2)，H(m，-1)四点共圆，则实数m的值为 ( )
A.±1 B.+1
C.-1 D.1±
√
解析：设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
将A(0，0)，B(2，0)，C(2，-2)代入可得
解得所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0，将H(m，-1)代入圆的方程得m2-2m-1=0，解得m=1±，故选D.
[例3] 点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
题型(三) 与圆有关的轨迹问题
解：设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2，2y).
∵点P在圆x2+y2=4上，∴(2x-2)2+(2y)2=4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解：设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN=BN.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴OP2=ON2+PN2=ON2+BN2，
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
1.若本例条件不变，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
变式拓展
解：设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT=-1.即·=-1，整理得x2+y2-x-y=0.
当x=0或x=1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.
2.若本例条件变为从定点A(6，8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1，P2两点，求弦P1P2的中点P的轨迹.
解：由题意知OP⊥AP，取OA的中点M，则M(3，4)，PM=OA==5.
由圆的定义知其轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
所以P的轨迹是以(3，4)为圆心，5为半径的圆.
|思|维|建|模|
求与轨迹问题有关的圆的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
5.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程.
针对训练
解：以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(-3，0)，B(3，0)，M(x，y)，则MA2+MB2=26，即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26，化简得点M的轨迹方程为x2+y2=4.
6.已知圆(x+1)2+y2=2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM=BA，求动点M的轨迹方程.
解：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM=BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点，由中点坐标公式得∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得+=2，化简得(x+4)2+y2=8，∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
课时检测
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1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
√
解析：根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0，所以m>-.
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2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为点(-2，3)，则D，E分别为 ( )
A.4，-6 B.-4，-6
C.-4，6 D.4，6
√
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解析：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为点，又已知该圆的圆心为点(-2，3)，∴-=-2，-=3，∴D=4，E=-6.
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3.[多选]已知圆x2+y2-4x-1=0，则下列说法正确的是 ( )
A.关于点(2，0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
√
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√
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解析： x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5，即圆心为点(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，直线x+3y-2=0过圆心，直线x-y+2=0不过圆心，故B、C正确，D错误.
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4.圆心在射线y=x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0
√
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解析：因为圆心在射线y=x(x≤0)上，故设圆心为点(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以=5，解得a=-4或a=4(舍去)，即圆的圆心为点(-4，-3)，则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25，即x2+y2+8x+6y=0.
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5.已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为( )
A.π B.π
C.π D.π
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解析：由题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∴解得D=-2，E=-，F=1，故圆的一般方程为x2+y2-2x-y+1=0 (x-1)2+=，故圆的半径r=，圆的面积S=πr2=π.
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6.在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，则△ABC的最小覆盖圆的半径为 ( )
A. B.2
C. D.3
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解析：∵A(-2，0)，B(2，0)，C(0，4)，∴△ABC为锐角三角形，∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆，设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得
∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2+y2-3y-4=0，即x2+=，∴△ABC的最小覆盖圆的半径为.
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7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 ( )
A.π+2 B.π+4
C. D.π
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解析：当x>0，y>0时，曲线为+=，当x>0>y时，曲线为+=，当x<0，y<0时，曲线为+=，当x<0√
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同时点(0，0)，(±1，0)，(0，±1)均在曲线上，如图所示，所以围成的图形是由4个半径均为的半圆与1个边长为的正方形组成，故图形面积为4××π×+()2=π+2.故选A.
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8.在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(-2，0)，B(0，-3)，点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为( )
A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6
C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3
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√
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解析：设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=.又因为OA·OC=2c=OB·OD=3d，解得c=3，d=2(舍负)，因此圆心E，r2=，圆E的方程为+=，即x2+y2-x+y=6，故B正确.
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9.(5分)若点P(1，1)在圆C：x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是____________.
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解析：易知解得-21
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10.(5分)已知圆C：x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称，则圆心C的坐标为___________.
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解析：由已知得4+m2-16>0，解得m>2或m<-2，圆C：(x+1)2+=-3，圆心为，若圆C关于直线x+2y-3=0对称，则-1-×2-3=0，解得m=-4，所以圆心C的坐标为(-1，2).
(-1，2)
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11.(5分)已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为_____________.
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解析：设M(x，y)，则MA=，MB=.
故==，两边平方并化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4.
x2+y2=4
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12.(5分)已知直线l：ax+by-3=0经过点(a，b-2)，则原点到点P(a，b)的距离可以是_______________.
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解析：由于直线l：ax+by-3=0经过点(a，b-2)，即a2+b(b-2)-3=0，即a2+(b-1)2=4，故P(a，b)在以点(0，1)为圆心，2为半径的圆上，由于02+(0-1)2<4，即原点在该圆内，故OP∈[1，3]，则原点到点P(a，b)的距离可以是2.
2(答案不唯一)
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13.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(5分)
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解：原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4，若方程表示一个圆，则-m2+3m+4>0，解得-1(2)求圆的周长的最大值.(5分)
解：圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π.
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14.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-4，0)，C(4，-4).
(1)求△ABC外接圆O1的方程；(5分)
15
解：设△ABC外接圆O1的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
由已知可得方程组
解得则圆O1的方程为x2+y2+2x+8y-8=0.
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(2)判断点M1(3，-1)，M2(2，-3)是否在这个圆上.(5分)
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解：圆O1的标准方程可化为(x+1)2+(y+4)2=25.
把点M1(3，-1)的坐标代入圆O1的方程，得(3+1)2+(-1+4)2=25，
即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上，
把点M2(2，-3)的坐标代入圆O1的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25，
即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上.
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15.(15分)设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作 MONP，求点P的轨迹方程.
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解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
故==，则
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即N(x+3，y-4).又点N在圆x2+y2=4上，故(x+3)2+(y-4)2=4.
由于O，M，N共线时不能作 MONP，又lOM：y=-x，
与圆P方程联立解得或因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，
但应除去两点和.
15课时检测(十二) 圆的一般方程
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为点(-2,3),则D,E分别为 ( )
A.4,-6 B.-4,-6
C.-4,6 D.4,6
3.[多选]已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 ( )
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
4.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-8x-6y=0
B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0
D.x2+y2+6x+8y=0
5.已知圆C上有三个点A(0,),B(2,),C(1,0),则圆C的面积为 ( )
A.π B.π
C.π D.π
6.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为 ( )
A. B.2
C. D.3
7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 ( )
A.π+2 B.π+4
C. D.π
8.在平面直角坐标系中,圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点,其中A(-2,0),B(0,-3),点C在x轴正半轴上,点D在y轴的正半轴上,圆E的内接四边形ABCD的面积为,则圆E的方程为 ( )
A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6
C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3
9.(5分)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是 .
10.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称,则圆心C的坐标为 .
11.(5分)已知点M到两个定点A(1,0),B(4,0)的距离比为,则点M的轨迹方程为 .
12.(5分)已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是 .
13.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;(5分)
(2)求圆的周长的最大值.(5分)
14.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-4,0),C(4,-4).
(1)求△ABC外接圆O1的方程;(5分)
(2)判断点M1(3,-1),M2(2,-3)是否在这个圆上.(5分)
15.(15分)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作 MONP,求点P的轨迹方程.
课时检测(十二)
1．选C 根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－.
2．选A 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为点，又已知该圆的圆心为点(－2,3)，∴－＝－2，－＝3，
∴D＝4，E＝－6.
3．选ABC x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，即圆心为点(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，直线x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，故B、C正确，D错误．
4．选C 因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为点(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以 ＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，即圆的圆心为点(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.
5．选A 由题意，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴解得D＝－2，E＝－，F＝1，故圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0 (x－1)2＋2＝，故圆的半径r＝，圆的面积S＝πr2＝π.
6．选C ∵A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，∴△ABC为锐角三角形，∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆，设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得
∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝，
∴△ABC的最小覆盖圆的半径为.
7．选A 当x>0，y>0时，曲线为2＋2＝，当x>0>y时，曲线为2＋2＝，当x<0，y<0时，曲线为2＋2＝，当x<08．选B 设C(c,0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝(c＋2)(d＋3)＝.又因为OA·OC＝2c＝OB·OD＝3d，解得c＝3，d＝2(舍负)，因此圆心E，r2＝，圆E的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋y＝6，故B正确．
9．解析：易知解得－2答案：
10．解析：由已知得4＋m2－16>0，解得m>2或m<－2，圆C：(x＋1)2＋2＝－3，圆心为，若圆C关于直线x＋2y－3＝0对称，则－1－×2－3＝0，解得m＝－4，所以圆心C的坐标为(－1,2)．
答案：(－1,2)
11．解析：设M(x，y)，则MA＝，MB＝.故＝＝，两边平方并化简得x2＋y2＝4.所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
12．解析：由于直线l：ax＋by－3＝0经过点(a，b－2)，即a2＋b(b－2)－3＝0，即a2＋(b－1)2＝4，故P(a，b)在以点(0,1)为圆心，2为半径的圆上，由于02＋(0－1)2<4，即原点在该圆内，故OP∈[1,3]，则原点到点P(a，b)的距离可以是2.
答案：2(答案不唯一)
13．解：(1)原方程可化为(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4，若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1(2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π.
14．解：(1)设△ABC外接圆O1的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
由已知可得方程组
解得
则圆O1的方程为x2＋y2＋2x＋8y－8＝0.
(2)圆O1的标准方程可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.把点M1(3，－1)的坐标代入圆O1的方程，得(3＋1)2＋(－1＋4)2＝25，
即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上，把点M2(2，－3)的坐标代入圆O1的方程得(2＋1)2＋(－3＋4)2＝10≠25，
即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上．
15．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，则
即N(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
由于O，M，N共线时不能作 MONP，
又lOM：y＝－x，
与圆P方程联立
解得或
因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.
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