辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（图片版，含详解）

辽宁省锦州市某校 2024-2025 学年高二下学期期中
考试数学试卷
一、单选题
1. 若随机变量 ，且 ，则 （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3
2. 设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则等比数列的公比 等
于（ ）
A． B． C．2 D．5
3. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排
序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 若数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
5. 在某电路上有 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 元件的概
率为 0.3，需要更换 元件的概率为 0.2，则在某次通电后 有且只有一个需
要更换的条件下， 需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的
个数为（ ）
①数列 是递减数列 ② ③当 取得最大值时，
④
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 R， 且 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 已知具有相关关系的两个变量 x，y 的一组观测数据 ， ，….，
，由此得到的线性回归方程为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．回归直线 至少经过点 ， ，….， 中的一个点
B．若 ， ，则回归直线 一定经过点
C．若点 ， ，….， 都落在直线 上，则变量 x，
y 的样本相关系数
D．若 ， ，则相应于样本点 的残差为
10. 已知随机事件 A，B 发生的概率分别为 ，下列说法正确
的有（ ）
A．若 ，则 A，B 相互独立 B．若 A，B 相互独立，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11. 已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 有最大值
C．当 时， 的图象过 的切线有且仅有 条
D．关于 的方程 有两个不等实根，则 的取值范围是
三、填空题
12. 在 3 与 15 之间插入 3个数，使这 5个数成等差数列，则插入的 3个数之和
为__________．
13. 已知函数 与函数 存在一条过原点的公共切线，则
__________.
14. 已知函数 ，若 ，则 的最大值为
__________.
四、解答题
15. 已知 ， 在 处取得极值 ，
(1)求 的值.
(2) 在区间 上的最值.
16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使
人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的 倍，就可以抑制人体癌细胞
的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还
使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女
学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为 200，统计得到以下
列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 120 80 200
女生 100 100 200
合计 220 180 400
(1)是否有 的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分
层抽样的方法随机抽取 9人，再从这 9人中抽取 3人进行面对面交流，记随机变
量 表示抽到的 3人中女生的人数，求 的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取 12 人，记其
中喜欢长跑的人数为 ，求 的数学期望.
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17. 已知数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，
且 ， 分别为数列 第二项和第三项.
(1)证明数列 是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(3)若数列 ，证明：数列 的前 项和 .
18. 已知函数 ， ，数列 满足 ， ，且函
数 在点 处的切线斜率为数列 的通项 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，记 为数列 的前 项和，求 ．
19. 已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的最小值为 ，求 a 的值；
(3)证明：当 时， ．
辽宁省锦州市某校 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、数列、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 6
适中 10
较难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 指定区间的概率
2 0.85 等比数列前 n 项和的基本量计算
3 0.94 平均变化率；瞬时变化率的概念及辨析
根据数列递推公式写出数列的项；数列周期性的应用；由递推数列研究数列的有
4 0.85
关性质
5 0.85 计算条件概率；独立事件的乘法公式
6 0.65 利用等差数列的性质计算；求等差数列前 n 项和的最值；判断数列的增减性
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；解不含参数
7 0.85
的一元二次不等式
8 0.65 确定数列中的最大（小）项；累加法求数列通项；求等差数列前 n 项和
二、多选题
9 0.85 解释回归直线方程的意义；相关系数的意义及辨析；残差的计算
10 0.65 计算条件概率；条件概率性质的应用；独立事件的乘法公式
求过一点的切线方程；用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最
11 0.65
值（不含参）；利用导数研究方程的根
三、填空题
12 0.94 等差中项的应用；利用等差数列的性质计算
13 0.65 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
14 0.65 用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
四、解答题
15 0.65 根据极值求参数；由导数求函数的最值（不含参）；根据极值点求参数
16 0.65 卡方的计算；二项分布的均值；独立性检验解决实际问题；超几何分布的分布列
裂项相消法求和；利用 an 与 sn 关系求通项或项；等比数列通项公式的基本量
17 0.65
计算；求等比数列前 n 项和
利用定义求等差数列通项公式；错位相减法求和；求在曲线上一点处的切线方程
18 0.65
（斜率）
已知函数最值求参数；利用导数证明不等式；函数单调性、极值与最值的综合应
19 0.4
用；含参分类讨论求函数的单调区间
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 计数原理与概率统计 1,5,9,10,16
2 数列 2,4,6,8,12,17,18
3 函数与导数 3,7,11,13,14,15,18,19
4 等式与不等式 7
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：