(共54张PPT)
直线与圆的综合应用
[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
第2课时
课时目标
能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与圆的方程的实际
应用
题型(二) 与圆有关的最值问题
课时检测
题型(一) 直线与圆的方程的
实际应用
01
[例1] 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为 ( )
A.1 h B.2 h
C.3 h D.4 h
√
解析：如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，所以A(40，0)，B(0，30)，圆O：x2+y2=676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB：+=1，即lAB：3x+4y-120=0，因为O到lAB：3x+4y-120=0的距离为OO'==24，所以MN=2=20，
所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间
约为=2 h.
|思|维|建|模|
建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程)，建立平面直角坐标系；
(2)根据题意写出直线与圆的方程；
(3)根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.
1.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区的时间为多少h.
针对训练
解：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，
由题意知，台风路径用方程表示为y=x，则圆心B(40，0)到直线y=x的距离d==20，可求得MN=2=20，
所以城市B处于危险区的时间为=1 h.
题型(二) 与圆有关的最值问题
02
题点1 过圆内一点的最长弦、最短弦
[例2] 在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中，最短弦的长度为( )
A.1 B.2
C.2 D.4
√
解析：由x2+y2-2x-2y-1=0，则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=3，如图，图中AB⊥MO，MB=，MO=，M为圆x2+y2-2x-2y-1=0的圆心，
A，B为直线AB与圆的交点，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，AB=2=2=2.故选B.
|思|维|建|模|
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程，判断点是在圆内还是在圆外；
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直.
最长弦长为直径，可直接得出，最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求的最大值和最小值；
解：方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设=k，即kx-y=0，当直线kx-y=0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时=，解得k=±.故的最大值为，最小值为-.
(2)求y-x的最大值和最小值；
解：设y-x=b，即x-y+b=0，
当x-y+b=0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时=，即b=-2±.
故y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
解：x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，故(x2+y2)max=(2+)2=7+4，(x2+y2)min=
(2-)2=7-4.
|思|维|建|模|
(1)ax+by型的最大值转化为直线ax+by=c的截距的最大值；
(2)型的最大值和最小值转化为过点(x，y)和(a，b)的直线斜率的最大值和最小值；
(3)(x-a)2+(y-b)2型的最大值和最小值转化为(x，y)和(a，b)的距离的最大值和最小值的平方.
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k=____________.
解析：圆C：x2+y2-2y=0的圆心为C(0，1)，半径r=1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S=2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S=1=r(PB)min=(PB)min，则(PB)min=2，
2
因为PB==，所以当PC取最小值时，PB最小.又点P(x，y)是直线kx+y+4=0上的动点，当CP垂直于直线kx+y+4=0时，PC最小，即为圆心C(0，1)到直线的距离，所以==，
解得k=±2，因为k>0，所以k=2.
|思|维|建|模|
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，
(1)当直线与圆相离时，圆上一点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d-r，如图①；
(2)当直线与圆相切时(d=r)，圆上一点到直线的距离的最大值为2r，最小值为0，如图②；
(3)当直线与圆相交时，圆上一点到
直线的距离的最大值为d+r，最小
值为0，劣弧上的点到直线的距离
的最大值为r-d，如图③.
针对训练
2.从点P(1，-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线，当切线长最短时，m的值为 ( )
A.-1 B.1
C.2 D.0
√
解析：选B x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1，圆心C(m，1)，半径为1，切线长最短时，CP最小，CP=，即当m=1时，CP最小，切线长最短.
3.已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，则△OAM面积的最小值为 .
解析：根据题意，得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为点(3，-1)，半径r=2，O(0，0)，A(0，2)，AO所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1，
则△OAM的面积最小值S=×OA×d=1.
1
4.已知x和y满足(x+1)2+y2=.
(1)求x2+y2的最值；
解：由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.易知圆(x+1)2+y2=的圆心为点(-1，0)，半径为，所以原点(0，0)到圆心(-1，0)的距离d=1.故圆上的点到坐标原点的最远距离为1+=，最近距离为1-=，因此x2+y2的最大值和最小值分别为和.
(2)试求点P(3，3)到圆的最远距离.
解：由(1)知圆心为点(-1，0)，半径为，则点P到圆心的距离为=5，所以点P(3，3)到圆的最远距离为5+=.
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1.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是 ( )
A.[3，7] B.[1，9]
C.[0，5] D.[0，3]
√
解析： x2+y2=4，圆心为点(0，0)，半径r=2，圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3，最大值为5+2=7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3，7].
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2.若点M(x，y)在圆x2+(y-2)2=1上运动，则的取值范围是( )
A.[，+∞)
B.(-∞，-]
C.(-∞，-]∪[，+∞)
D.[-]
√
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解析：如图，将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设=k，把y=kx代入圆的方程得(k2+1)x2-4kx+3=0，则Δ=16k2-4×3×(k2+1)≥0，解得k≥或k≤-.
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3.已知点P是直线l：3x+4y-7=0上的动点，过点P引圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为( )
A.2 B.
C. D.1
√
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解析：如图，由题意得PM2=PC2-r2，当PC⊥l时，PC最小，则PM最小.因为(PC)min=d==2，所以()2=22-r2，解得r=1.
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4.已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
√
解析：将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9.
设圆心为C，则C(3，0)，半径r=3.
设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，
因为(1-3)2+22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，
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则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，
设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d=AC==2，
所以BDmin=2=2=2，
即弦的长度的最小值为2，故选B.
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5.[多选]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，PB=3
D.当∠PBA最大时，PB=3
√
√
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解析：由题意知直线AB：+=1，即x+2y-4=0，圆心(5，5)到直线x+2y-4=0的距离d==.因为+4<10，所以A项正确.因为-4<2，所以B项错误.当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值.如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5，5)
到点B的距离为=，则PB==
3；当切点在点P'的位置时，∠PBA最大，同理
可得PB=3.所以C、D项正确.故选ACD.
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6.[多选]已知△ABC的三个角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，a=2，c=b，设BC的中点为O，则下列说法正确的是( )
A.△AOC不可能是等腰三角形
B.cos∠AOC的最小值为
C.△ABC面积的最大值为2
D.△ABC周长的最小值为4
√
√
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解析：如图，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设点A，B，C的坐标分别为(x，y)，(-1，0)，(1，0).由c=b得点A的轨迹为☉E：(x-3)2+y2=8(y≠0).对于A，当点A在☉E上运动时，b∈(2-2，2+2)，存在点A使得b=1，即△AOC为等腰三角形，故A错误；
对于B，当直线OA与☉E相切时，∠AOC取到
最大值，易得对应的cos∠AOC=，故B正确；
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对于C，当AE⊥x轴时，△ABC的面积取到最大值，最大值为2，故C正确；对于D，△ABC的周长为a+b+c=2+(+1)b∈(4，8+4)，所以△ABC周长的最小值不存在，故D错误.故选BC.
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7.(5分)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_________.
解析：从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2，-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2，即-2=-2.
-2
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8.(5分)圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为_________.
解析：由题设，圆心为点(0，0)，半径为4，∴圆心到直线x-y=3的距离为=，∴圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为4+.
4+
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9.(5分)点P(x，y)是直线l：kx+y+3=0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-4y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为_________.
解析：由题意可知，圆心C(0，2)，半径r=2.如图所示，
S四边形PACB=2S△PAC=2×PA×AC=2PA=2=
2，所以当PC最小时，四边形PACB的面积
取最小值.而PC的最小值即点C到直线l的距离d，
又d==，所以2=2，
解得d=.即=，解得k=±2.所以k的值为±2.
±2
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10.(5分)在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，圆C：x2+y2=1，设点P(x，y)，过点P的直线l与圆C切于点B，且PA=PB，则PA长度的最小值是 .
解析：圆C：x2+y2=1的圆心为C(0，0)，因为PA2=PB2=PC2-CB2=PC2-1，又P(x，y)，所以(x-3)2+
(y-4)2=x2+y2-1，化简可得3x+4y-13=0，即点P在直线3x+4y-13=0上，所以PA长度的最小值为A(3，4)到直
线3x+4y-13=0的距离d==.
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11.(5分)已知圆C：(x-5)2+(y-3)2=3，直线l：y=ax+1，点M，N为圆C上的两个动点，若直线l上存在点P，使得∠MPN=120°，则a的最大值为________.
解析：如图，取MN的中点为E，连接PE，CE，
已知C：(x-5)2+(y-3)2=3，圆心C(5，3)，
半径r=CN=，则当P，E，C三点共线时，
PC有最大值.
因为∠MPN=120°，所以此时∠NPC=60°.
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又由正弦定理得===2，
故PC=2sin∠PNC，所以当∠PNC=90°时，(PC)max=2.
由于点P在直线l上，所以圆心C到直线l的距离d=≤PC≤2，
整理解得0≤a≤，故a的最大值为.
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12.(5分)(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是_______.
解析：由题意知点A(-2，3)关于直线y=a的对称点为A'(-2，2a-3).所以kA'B=.所以直线A'B的方程为y=x+a，即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，易知圆心为点(-3，-2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2-11a+3≤0，解得≤a≤.所以实数a的取值范围是.
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13.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围为_________.
解析：设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C，半径为r，点P到直线x+y+2=0的距离为d，则圆心C(2，0)，r=，
所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为=2，可得dmax=2+r=3，dmin=2-r=.
[2，6]
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由已知条件可得AB=2，
所以△ABP面积的最大值为AB·dmax=6，
△ABP面积的最小值为AB·dmin=2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2，6].
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14.(10分)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点，且点Q(-2，3).
(1)求MQ的最大值和最小值；(5分)
解：由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8，
∴圆心C的坐标为点(2，7)，半径r=2，
又QC==4，
∴(MQ)max=4+2=6，
(MQ)min=4-2=2.
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(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.(5分)
解：由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)，
即kx-y+2k+3=0，则=k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，可得2-≤k≤2+，
∴的最大值为2+，最小值为2-.
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15.(15分)已知直线l：3x+4y+1=0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；(6分)
解：∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，得d==3，解得a=2，
∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
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(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.(9分)
解：∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF=2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，CE=2，PE2=PC2-CE2=PC2-4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.
(PC)min即为圆心C到直线l的距离，
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由(1)知(PC)min=3，
∴(PE2)min=32-4=5，即(PE)min=，
∴S四边形PECF=2S△PCE=2×CE·PE=2××2×=2，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
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16.(15分)已知圆C过原点O和点A(1，3)，圆心在x轴上.
(1)求圆C的方程；(4分)
解：设圆心为C(a，0)(a>0)，由题意可得OC=AC，
则a=，解得a=5，所以圆C的半径为5，
故圆C的方程为(x-5)2+y2=25.
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(2)直线l经过点(1，1)，且l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程；(5分)
解：由题意可知，圆心C到直线l的距离为d==4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
此时，圆心C到直线l的距离为4，合乎题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0，
由题意可得==4，解得k=，
此时，直线l的方程为y-1=(x-1)，即15x-8y-7=0.
综上所述，直线l的方程为x=1或15x-8y-7=0.
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(3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程.(6分)
解：设点M(x0，y0)，其中x0≠0，则N(x0，0)，设点Q(x，y)，
因为=+，则(x，y)=(x0，y0)+(x0，0)=(2x0，y0)，
可得即因为点M在圆C上，
所以(x0-5)2+=25，即+y2=25.
故点Q的轨迹方程为(x-10)2+4y2=100(x≠0).
16第2课时 直线与圆的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]
[课时目标]
能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法.
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
[例1] 一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,船速为10 km/h,这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为 ( )
A.1 h B.2 h
C.3 h D.4 h
听课记录:
|思|维|建|模|
建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程),建立平面直角坐标系;
(2)根据题意写出直线与圆的方程;
(3)根据直线与圆的位置关系,采用几何法计算相关长度,完成问题的求解.
[针对训练]
1.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区的时间为多少h.
题型(二) 与圆有关的最值问题
题点1 过圆内一点的最长弦、最短弦
[例2] 在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短弦的长度为 ( )
A.1 B.2
C.2 D.4
听课记录:
|思|维|建|模|
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程,判断点是在圆内还是在圆外;
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,此时直线过圆心;最短弦与圆心和该点的连线垂直.
最长弦长为直径,可直接得出,最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)ax+by型的最大值转化为直线ax+by=c的截距的最大值;
(2)型的最大值和最小值转化为过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值和最小值;
(3)(x-a)2+(y-b)2型的最大值和最小值转化为(x,y)和(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k= .
听课记录:
|思|维|建|模|
设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,
(1)当直线与圆相离时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r,如图①;
(2)当直线与圆相切时(d=r),圆上一点到直线的距离的最大值为2r,最小值为0,如图②;
(3)当直线与圆相交时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为0,劣弧上的点到直线的距离的最大值为r-d,如图③.
[针对训练]
2.从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,m的值为 ( )
A.-1 B.1
C.2 D.0
3.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为 .
4.已知x和y满足(x+1)2+y2=.
(1)求x2+y2的最值;
(2)试求点P(3,3)到圆的最远距离.
第2课时 直线与圆的综合应用
[题型(一)]
[例1] 选B 如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，所以A(40,0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB：＋＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0，因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为OO′＝＝24，所以MN＝2＝20，所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为＝2 h.
[针对训练]
1．解：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得MN＝2＝20，
所以城市B处于危险区的时间为＝1 h.
[题型(二)]
[例2] 选B 由x2＋y2－2x－2y－1＝0，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，如图，图中AB⊥MO，MB＝，MO＝，M为圆x2＋y2－2x－2y－1＝0的圆心，A，B为直线AB与圆的交点，易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，AB＝2＝2＝2.故选B.
[例3] 解：(1)方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即kx－y＝0，当直线kx－y＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，
当x－y＋b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
[例4] 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r(PB)min＝(PB)min，则(PB)min＝2，
因为PB＝＝，所以当PC取最小值时，PB最小．又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.
答案：2
[针对训练]
2．选B x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，切线长最短时，CP最小，CP＝，即当m＝1时，CP最小，切线长最短．
3．解析：根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为点(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0,2)，AO所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值S＝×OA×d＝1.
答案：1
4．解：(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值．易知圆(x＋1)2＋y2＝的
圆心为点(－1,0)，半径为，所以原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离d＝1.故圆上的点到坐标原点的最远距离为1＋＝，最近距离为1－＝，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
(2)由(1)知圆心为点(－1,0)，半径为，则点P到圆心的距离为＝5，所以点P(3,3)到圆的最远距离为5＋＝.
1 / 3课时检测(十四) 直线与圆的综合应用
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是 ( )
A.[3,7] B.[1,9]
C.[0,5] D.[0,3]
2.若点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是 ( )
A.[,+∞)
B.(-∞,-]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.[-,]
3.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为时,r的值为 ( )
A.2 B.
C. D.1
4.已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.[多选]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,PB=3
D.当∠PBA最大时,PB=3
6.[多选]已知△ABC的三个角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,a=2,c=b,设BC的中点为O,则下列说法正确的是 ( )
A.△AOC不可能是等腰三角形
B.cos∠AOC的最小值为
C.△ABC面积的最大值为2
D.△ABC周长的最小值为4
7.(5分)设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是 .
8.(5分)圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为 .
9.(5分)点P(x,y)是直线l:kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-4y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为 .
10.(5分)在平面直角坐标系中,已知A(3,4),圆C:x2+y2=1,设点P(x,y),过点P的直线l与圆C切于点B,且PA=PB,则PA长度的最小值是 .
11.(5分)已知圆C:(x-5)2+(y-3)2=3,直线l:y=ax+1,点M,N为圆C上的两个动点,若直线l上存在点P,使得∠MPN=120°,则a的最大值为 .
12.(5分)(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
13.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围为 .
14.(10分)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求MQ的最大值和最小值;(5分)
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.(5分)
15.(15分)已知直线l:3x+4y+1=0,一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切,且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程;(6分)
(2)P是直线l上的动点,PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点,求四边形PECF的面积的最小值.(9分)
16.(15分)已知圆C过原点O和点A(1,3),圆心在x轴上.
(1)求圆C的方程;(4分)
(2)直线l经过点(1,1),且l被圆C截得的弦长为6,求直线l的方程;(5分)
(3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程.(6分)
课时检测(十四)
1．选A x2＋y2＝4，圆心为点(0,0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7]．
2.选C 如图，将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(k2＋1)x2－4kx＋3＝0，则Δ＝16k2－4×3×(k2＋1)≥0，解得k≥或k≤－.
3.选D 如图，由题意得PM2＝PC2－r2，当PC⊥l时，PC最小，则PM最小．因为(PC)min＝d＝＝2，所以()2＝22－r2，解得r＝1.
4．选B 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.
设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，
因为(1－3)2＋22＜9，所以点A(1,2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，
设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝AC＝＝2，
所以BDmin＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
5．选ACD 由题意知直线AB：＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)
到点B的距离为＝，则PB＝＝3；当切点在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得PB＝3.所以C、D项正确．故选ACD.
6.选BC 如图，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设点A，B，C的坐标分别为(x，y)，(－1,0)，(1,0)．由c＝b得点A的轨迹为⊙E：(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．对于A，当点A在⊙E上运动时，b∈(2－2，2＋2)，存在点A使得b＝1，即△AOC为等腰三角形，故A错误；对于B，当直线OA与⊙E相切时，∠AOC取到最大值，易得对应的cos∠AOC＝，故B正确；对于C，当AE⊥x轴时，△ABC的面积取到最大值，最大值为2，故C正确；对于D，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋(＋1)b∈(4,8＋4)，所以△ABC周长的最小值不存在，故D错误．故选BC.
7．解析：从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
答案：－2
8．解析：由题设，圆心为点(0,0)，半径为4，
∴圆心到直线x－y＝3的距离为＝，
∴圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
答案：4＋
9．解析：由题意可知，圆心C(0,2)，半径r＝2.如图所示，S四边形PACB＝2S△PAC＝2×PA×AC＝2PA＝2＝2，所以当PC最小时，四边形PACB的面积取最小值．而PC的最小值即点C到直线l的距离d，又d＝＝，
所以2＝2，解得d＝.即＝，解得k＝±2.所以k的值为±2.
答案：±2
10．解析：圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，因为PA2＝PB2＝PC2－CB2＝PC2－1，又P(x，y)，所以(x－3)2＋(y－4)2＝x2＋y2－1，化简可得3x＋4y－13＝0，即点P在直线3x＋4y－13＝0上，所以PA长度的最小值为A(3,4)到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝.
答案：
11．解析：如图，取MN的中点为E，连接PE，CE，已知C：(x－5)2＋(y－3)2＝3，圆心C(5,3)，半径r＝CN＝，则当P，E，C三点共线时，PC有最大值．因为∠MPN＝120°，所以此时∠NPC＝60°.又由正弦定理得＝＝＝2，故PC＝2sin∠PNC，所以当∠PNC＝90°时，(PC)max＝2.由于点P在直线l上，所以圆心C到直线l的距离d＝≤PC≤2，整理解得0≤a≤，故a的最大值为.
答案：
12．解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)．所以kA′B＝.所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为点(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.所以实数a的取值范围是.
答案：
13．解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得AB＝2，
所以△ABP面积的最大值为AB·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为AB·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
答案：[2,6]
14．解：(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为点(2,7)，半径r＝2，
又QC＝＝4，
∴(MQ)max＝4＋2＝6，
(MQ)min＝4－2＝2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，得≤2，可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
15．解：(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，得d＝＝3，解得a＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．(PC)min即为圆心C到直线l的距离，由(1)知(PC)min＝3，
∴(PE2)min＝32－4＝5，即(PE)min＝，
∴S四边形PECF＝2S△PCE＝2×CE·PE＝2××2×＝2，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
16．解：(1)设圆心为C(a,0)(a>0)，由题意可得OC＝AC，
则a＝，解得a＝5，所以圆C的半径为5，故圆C的方程为(x－5)2＋y2＝25.
(2)由题意可知，圆心C到直线l的距离为d＝＝4，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
此时，圆心C到直线l的距离为4，合乎题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0，
由题意可得＝＝4，解得k＝，此时，直线l的方程为y－1＝(x－1)，即15x－8y－7＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或15x－8y－7＝0.
(3)设点M(x0，y0)，其中x0≠0，则N(x0,0)，设点Q(x，y)，
因为＝＋，则(x，y)＝(x0，y0)＋(x0,0)＝(2x0，y0)，
可得即
因为点M在圆C上，所以(x0－5)2＋y＝25，即2＋y2＝25.故点Q的轨迹方程为(x－10)2＋4y2＝100(x≠0)．
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