黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（图片版，含详解）

黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2024-2025 学年高
二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1. 从 4 名男生和 2名女生中选出 2名男生和 1名女生担任元旦联欢晚会的主持
人，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．12 种 C．24 种 D．18 种
2. 已知函数 ，则 的极小值点是（ ）
A． B．2 C． D．1
3. 某公司为庆祝新中国成立 73 周年，计划举行庆祝活动，共有 5个节目，要求
A 节目不排在第一个且 C、D 节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
4. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中
指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中 指标的值 服从正态
分布 ．且 ，则 （ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
5. 甲 乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼 教学
北楼 活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件
甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件 ：甲和乙选择的地点不同，则
（ ）
A． B． C． D．
6. 若从 0，2，4中任取 2个数字，从 1，3中任取 1个数字，则可以组成没有重
复数字的三位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
7. 设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
8. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每格只
放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为 7”的不同的排法有（ ）
A．16 种 B．32 种 C．64 种 D．96 种
二、多选题
9. 已知 的展开式的二项式系数和为 128，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中只有第 4项的二项式系数最大
D．展开式中含 项的系数为 84
10. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方
积 1分，负者积 0分，无平局，积分首先达到 3分的一方获得最终胜利，比赛结
束．若甲每局比赛获胜的概率为 ，且每局比赛相互独立， 表示比赛结束时两
人的积分之和，则（ ）
A． 服从二项分布
B．
C．比赛结束时，甲、乙的积分之比为 的概率为
D．随机变量 的数学期望为
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则 的最小值为
D．若方程 有两个实根，则
三、填空题
12. 已知 的分布列如表，设 ，则 的数学期望 的值是______.
－1 0 1
13. 已知函数 有两个极值点，则 的取值范围是
__________.
14. 2025 年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个
动作，机器人从原点 O 出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一
个单位，共移动 3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点
位置的条件下，水平方向移动 2次的概率为________．
四、解答题
15. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店
中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价 （元）和日
销售量 （支）之间的数据如表所示；
单支售价 （元）1.4 1.6 1.8 2 2.2
日销售量 （支）13 11 7 6 3
(1)根据表格中的数据，求出 关于 的回归直线方程；
(2)请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为 18 支时.单支售价应定为多少
元？
参考公式： .参考数据： .
16. 已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，证明： .
17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进
入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计 6道题进行测试，若这 6道题
中，甲能正确解答其中的 4道，乙能正确解答每个题目的概率均为 ，假设甲、
乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这 6道测试题中
分别随机抽取 3题进行解答
(1)求甲、乙共答对 2道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量 X，求 X 的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分
别装入两袋，第一袋有 5名男生和 4名女生的报名表，第二袋有 6名男生和 5
名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取 2名学生，让他们参加比
赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积 2分，一赢一输积 0分，
两人同时输积 分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为 ，乙赢概率
为 ，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
19. 已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)设 ，若 ，求实数 的取值范围．
黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试
题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、函数与导数
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 3
较易 4
适中 12
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 分步乘法计数原理及简单应用；组合数的计算
2 0.85 求已知函数的极值点
分步乘法计数原理及简单应用；相邻问题的排列问题；元素（位置）有限制的排
3 0.65
列问题
4 0.85 指定区间的概率
5 0.94 计算古典概型问题的概率；计算条件概率
6 0.65 分类加法计数原理；元素（位置）有限制的排列问题
7 0.65 用导数判断或证明已知函数的单调性
8 0.65 分步乘法计数原理及简单应用；元素（位置）有限制的排列问题
二、多选题
9 0.85 二项式系数的增减性和最值；二项式的系数和；求指定项的系数
独立重复试验的概率问题；求离散型随机变量的均值；利用互斥事件的概率公式
10 0.65
求概率
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值；利用导数研究函数的
11 0.65
零点；利用导数研究方程的根
三、填空题
12 0.94 利用随机变量分布列的性质解题；求离散型随机变量的均值；均值的性质
13 0.65 根据极值点求参数
14 0.65 计算条件概率；独立事件的乘法公式
四、解答题
15 0.85 求回归直线方程；根据回归方程进行数据估计
16 0.65 由导数求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式
17 0.65 二项分布的方差；超几何分布的分布列；超几何分布的均值；超几何分布的方差
18 0.65 求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率
19 0.65 利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间；求在曲线上
一点处的切线方程（斜率）；由导数求函数的最值（不含参）
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 计数原理与概率统计 1,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,17,18
2 函数与导数 2,7,11,13,16,19
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：