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阶段质量评价
第2章 圆与方程
(时间:120分钟 满分:150分)
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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
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解析：直线l：mx-y+1-m=0过定点(1，1)，因为12+(1-1)2<5，
则点(1，1)在圆x2+(y-1)2=5的内部，所以直线l与圆相交，故选A.
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2.已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为 ( )
A.20米 B.25米
C.24米 D.23米
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解析：如图，拱高CD=5，水面宽为AB=30，
设圆的半径为r，依题意得r2=152+(r-5)2，
解得r=25.故选B.
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3.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(-4，a)，C(2a+2，2)，则△ABC的外接圆的方程是 ( )
A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5
C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5
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解析：因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以BC2=AB2+AC2，即(2a+6)2+(2-a)2=(2a+4)2+(2-a)2+4，解得a=-2，即A(-4，2)，B(-4，-2)，C(-2，2)，则△ABC的外接圆的圆心为点(-3，0)，半径为BC=，
所以△ABC的外接圆的方程是(x+3)2+y2=5，故选D.
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4.已知A，B为圆C：x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB=90°，则点P的轨迹方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-2)2=1
C.(x+1)2+(y+2)2= D.(x+1)2+(y+2)2=1
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解析：圆C即(x-1)2+(y-2)2=2，半径r=，因为CA⊥CB，
所以AB=r=2.又P是AB的中点，所以CP=AB=1，
所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1，故选B.
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5.已知圆C：x2+y2=3，从点A(-2，0)观察点B(2，a)，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是 ( )
A.∪
B.(-∞，-2)∪(2，+∞)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
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解析：设过点A(-2，0)与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2)，
则圆心(0，0)到直线的距离为=，解得k=±，所以切线方程为y=±(x+2).由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在y=±(x+2)中，
取x=2，得y=±4，从A点观察B点，要使视线不
被圆C挡住，需a>4或a<-4，所以a的取值范
围是(-∞，-4)∪(4，+∞)，故选D.
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6.若实数x，y满足x2+y2-2x-2y+1=0，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
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解析：令=k，可得出kx-y+3-2k=0，将圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-1)2=1，圆心为点(1，1)，半径为1，
则直线kx-y+3-2k=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1有公共点，可得≤1，
整理可得3-4k≤0，解得k≥.因此的取值范围为.故选C.
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7.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0，0)，若圆C上存在两点A，B使得∠APB=，则实数x0的取值范围是( )
A.[-3，1] B.[-1，3]
C.[-2，3] D.[-2，4]
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解析：圆C：(x-1)2+(y-2)2=2，圆心C(1，2)，半径r=，如图所示，
由图可知，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，要使圆C上存在两点A，B，使得∠APB=，则∠APC≥，∴PC≤=2，
即≤2，解得-1≤x0≤3，故选B.
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8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比=λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P且λ=2，若点B(1，1)，则2MP+MB的最小值为( )
A. B.
C. D.
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解析：设Q(a，0)，M(x，y)，所以MQ=.
又P，所以MP=.
因为=λ且λ=2，所以=2.
整理可得x2+y2+x=.
又动点M的轨迹是x2+y2=1，
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所以解得a=-2.
所以Q(-2，0).又MQ=2MP，
所以2MP+MB=MQ+MB.因为B(1，1)，
所以2MP+MB的最小值为
BQ==.
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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0，-2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )
A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上
B.圆M的面积的最大值为50π
C.圆M的半径的最小值为1
D.满足条件的所有圆M的半径之积为10
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解析：因为圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0，-2)，所以直线AM与直线x+y+2=0垂直，即点M落在直线x-y-2=0上，所以选项A正确；设点M的坐标为(a，a-2)，则圆M的半径r=|a|，圆M的方程为(x-a)2+(y-a+2)2=2a2.令y=0，则(x-a)2+(-a+2)2=2a2，即x2-2ax-4a+4=0.因为圆M被x轴所截得的弦长为2，所以=2，解得a=-5或a=1，故圆M的面积的最大值为50π，圆M半径的最小值为，满足条件的所有圆M的半径之积为5×=10，所以选项B、D正确，选项C错误.
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10.圆O1：x2+y2-4y=0和圆O2：x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A，B，点M在圆O1上，点N在圆O2上，则 ( )
A.直线AB的方程为x=
B.线段AB的中垂线方程为y=2
C.AB=
D.点M与点N之间的距离的最大值为8
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解析：将两圆的方程作差，可得x=，即直线AB的方程为x=，故A正确.圆O1：x2+(y-2)2=4，圆O2：(x-3)2+(y-2)2=9，圆O1的圆心为O1(0，2)，半径r1=2，圆O2的圆心为O2(3，2)，半径r2=3，线段AB的中垂线经过O1和O2的圆心，故线段AB的中垂线方程为y=2，故B正确.圆O1的圆心O1到直线x=的距离为，故AB=2=，故C错误.点M与点N之间的距离的最大值为r1+r2+O1O2=8，故D正确.故选ABD.
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11.已知圆C：(x-2)2+y2=4和直线l：x-y+2=0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则下列说法正确的是 ( )
A.切线长PA的最小值为2
B.四边形PACB面积的最小值为4
C.当PA最小时，弦AB所在的直线方程为x-y+1=0
D.弦AB所在的直线必过定点
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解析：对于A，圆C：(x-2)2+y2=4的圆心为C(2，0)，半径为2，
由题意可得PA⊥AC，PB⊥BC，所以PA==，(PC)min==2，所以(PA)min= =2，故A错误；
对于B，S四边形PACB=2S△PAC=PA·AC=
2PA≥4，所以四边形PACB面积的最小
值为4，故B正确；
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对于C，当PA最小时，PC⊥l，则直线PC的斜率为-1，
又PC⊥AB，所以直线AB的斜率为1，PC的直线方程为y-0=-(x-2)，
即x+y-2=0，
由解得即P(0，2).因为当PA最小时，PA=AC=2，所以△APC为等腰直角三角形，所以PC中点即为AB中点，因为PC的中点为(1，1)，所以弦AB的中点为(1，1)，所以弦AB所在的直线方程为y-1=x-1，即x-y=0，故C错误；
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对于D，设P(t，t+2)，则以PC为直径的圆的方程为(x-2)(x-t)+y[y-(t+2)]=0，展开得x2-(2+t)x+2t+y2-(t+2)y=0①，圆C的方程为x2-4x+4+y2=4，即x2-4x+y2=0②，①-②得弦AB所在直线方程为(2-t)x-(t+2)y+2t=0，即t(2-x-y)+2x-2y=0，令解得
所以弦AB所在的直线必过定点(1，1)，故D正确.
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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)
12.(5分)设A为圆C：(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且PA=1，则PC=__________.
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解析：如图所示，由图知PA⊥AC，
又PA=1，R=1，所以PC==.
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13.(5分)直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若AB=2，则圆C的面积为________.
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解析：圆C：x2+y2-2ay-2=0化为标准方程为x2+(y-a)2=a2+2，
所以圆心C(0，a)，半径r=，
因为AB=2，点C到直线y=x+2a，即x-y+2a=0的距离d==，由勾股定理得+=a2+2，解得a2=2，
所以r=2，所以圆C的面积为π×22=4π.
4π
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14.(5分)已知直线l与圆x2+y2-4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(-1，1)，则直线l的方程为______________.
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解析：因为圆x2+y2-4y=0的圆心为C(0，2)，又点P坐标为(-1，1)，所以直线CP的斜率为kCP==1.
又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，
所以AB⊥CP，故kAB=-1，即直线l的斜率为-1，
因此，直线l的方程为y-1=-(x+1)，即x+y=0.
x+y=0
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四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0与圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)判断圆C1与圆C2的位置关系；(7分)
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解：圆C1：(x-1)2+(y-3)2=11，圆心为点(1，3)，半径r1=，
圆C2：(x-5)2+(y-6)2=16，圆心为点(5，6)，半径r2=4，
圆心距d==5，
因为4-<5<+4，所以两圆相交.
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(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程.(6分)
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解：两圆相减，x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0，
化简为4x+3y-23=0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
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16.(15分)已知圆E经过点A(0，0)，B(1，1)，且恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分.
(1)求圆E的方程；(6分)
解：由直线方程mx-y-m=0可知，y=m(x-1)，
故直线mx-y-m=0恒过点(1，0)，
因为圆E恒被直线mx-y-m=0平分，
所以圆E的圆心为点(1，0)，因为A(0，0)在圆上，
故圆E的半径r=1，所以圆E的方程为(x-1)2+y2=1.
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(2)过点P(3，0)的直线l与圆E相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.(9分)
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解：因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得EM⊥AB，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧.
因为E(1，0)，P(3，0)，所以以EP为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=1，
由 x=，
所以M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
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17.(15分)已知圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2-2x-2y-2=0，C1，C2分别为两圆的圆心.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长；(6分)
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解：两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为2x+y+1=0，圆C1：(x+1)2+y2=1，圆心C1(-1，0)，半径为1，则圆心C1(-1，0)到公共弦所在直线的距离为=，则圆C1和圆C2的公共弦长为2=.
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(2)过点C1的直线l交圆C2于A，B两点，且AB=，求直线l的方程.(9分)
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解：易知圆C2：(x-1)2+(y-1)2=4，圆心为C2(1，1)，半径为2，当直线l的斜率不存在时，方程为x=-1，此时直线l与圆C2相切，不符合题意.设直线l的方程为y=k(x+1)，则圆心C2(1，1)到直线l的距离为==，所以k=1或k=，
所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0.
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18.(17分)已知O为原点，直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交于P，Q两点.
(1)若PQ=，求m的值；(7分)
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解：圆x2+y2+x-6y+m=0的圆心为，
半径r=，其中m<，圆心到直线x+2y-3=0的距离d==，PQ=2=2=，解得m=.
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(2)若OP⊥OQ，求圆的面积.(10分)
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解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
消去x得5y2-20y+12+m=0，Δ=400-20(12+m)>0，
则y1+y2=4，y1y2=，
又x1=-2y1+3，x2=-2y2+3，
因为OP⊥OQ，所以·=x1x2+y1y2=0，
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即(-2y1+3)(-2y2+3)+y1y2=0，
即9-6(y1+y2)+5y1y2=0.
所以9-6×4+5×=0，解得m=3.满足Δ>0.
此时圆的半径r==，
所以圆的面积为π×=π.
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19.(17分)已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程，并说明其形状；(5分)
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解：设M(x，y)，由=，得=.
化简得x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4.
故曲线C是以点(-1，0)为圆心，2为半径的圆.
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(2)过直线x=3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ，PR(Q，R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E，F，求△NEF的面积S的取值范围.(12分)
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解：由(1)知C(-1，0)，又P(3，p)(p≠0)，
则线段CP中点的坐标为，CP=，
故以线段CP为直径的圆的方程为(x-1)2+=，
整理得x2+y2-2x-py-3=0①.
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由题意知，Q，R在以CP为直径的圆上，
又Q，R在圆x2+y2+2x-3=0②上，
由②-①，得4x+py=0，
所以弦QR所在直线的方程为4x+py=0，可得QR恒过坐标原点O(0，0).
由得(16+p2)y2-8py-48=0.
设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1+y2=，
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所以点N的纵坐标yN==.
因为p≠0，所以yN≠0，所以点N与点C(-1，0)，O(0，0)均不重合.
因为N为弦QR的中点，且C(-1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，
即CN⊥ON.
所以点N在以OC为直径的圆上.
该圆的圆心为G，半径为.
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因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E，F，
所以E(2，0)，F，因此EF=，
圆心G到直线3x+4y=6的距离d==.
设△NEF的边EF上的高为h，
则点N到直线3x+4y=6的距离h的最小值为d-r=-=1；
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点N到直线3x+4y=6的距离h的最大值为d+r=+=2.
所以S的最小值Smin=××1=，
最大值Smax=××2=.
因此△NEF的面积S的取值范围是.
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19阶段质量评价(二) 圆与方程(时间:120分钟 满分:150分)
(选择、填空题请在后面的答题区内作答,解答题请在题后作答)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.已知某圆拱桥拱高5米,水面跨度为30米,则这座圆拱桥所在圆的半径为 ( )
A.20米 B.25米
C.24米 D.23米
3.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是 ( )
A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5
C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5
4.已知A,B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点,P为弦AB的中点,若∠ACB=90°,则点P的轨迹方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-2)2=1
C.(x+1)2+(y+2)2= D.(x+1)2+(y+2)2=1
5.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是 ( )
A.∪ B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
6.若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得∠APB=,则实数x0的取值范围是 ( )
A.[-3,1] B.[-1,3]
C.[-2,3] D.[-2,4]
8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P且λ=2,若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是 ( )
A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上
B.圆M的面积的最大值为50π
C.圆M的半径的最小值为1
D.满足条件的所有圆M的半径之积为10
10.圆O1:x2+y2-4y=0和圆O2:x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A,B,点M在圆O1上,点N在圆O2上,则 ( )
A.直线AB的方程为x= B.线段AB的中垂线方程为y=2
C.AB= D.点M与点N之间的距离的最大值为8
11.已知圆C:(x-2)2+y2=4和直线l:x-y+2=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是 ( )
A.切线长PA的最小值为2
B.四边形PACB面积的最小值为4
C.当PA最小时,弦AB所在的直线方程为x-y+1=0
D.弦AB所在的直线必过定点
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.(5分)设A为圆C:(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且PA=1,则PC= .
13.(5分)直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若AB=2,则圆C的面积为 .
14.(5分)已知直线l与圆x2+y2-4y=0相交于A,B两点,且线段AB的中点P坐标为(-1,1),则直线l的方程为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0与圆C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)判断圆C1与圆C2的位置关系;(7分)
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程.(6分)
16.(15分)已知圆E经过点A(0,0),B(1,1),且恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分.
(1)求圆E的方程;(6分)
(2)过点P(3,0)的直线l与圆E相交于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.(9分)
17.(15分)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,C1,C2分别为两圆的圆心.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;(6分)
(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.(9分)
18.(17分)已知O为原点,直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q两点.
(1)若PQ=,求m的值;(7分)
(2)若OP⊥OQ,求圆的面积.(10分)
19.(17分)已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为,动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程,并说明其形状;(5分)
(2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),N为弦QR的中点,直线l:3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,求△NEF的面积S的取值范围.(12分)
阶段质量评价(二)
1．选A 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为12＋(1－1)2<5，
则点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交，故选A.
2.选B 如图，拱高CD＝5，水面宽为AB＝30，设圆的半径为r，依题意得r2＝152＋(r－5)2，解得r＝25.故选B.
3．选D 因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以BC2＝AB2＋AC2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(2a＋4)2＋(2－a)2＋4，解得a＝－2，即A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC的外接圆的圆心为点(－3,0)，半径为BC＝，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D.
4．选B 圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝，因为CA⊥CB，所以AB＝r＝2.又P是AB的中点，所以CP＝AB＝1，所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，故选B.
5.选D 设过点A(－2,0)与圆C：x2＋y2＝3相切的直线为y＝k(x＋2)，
则圆心(0,0)到直线的距离为＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x＋2)．
由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，
B在x＝2的直线上，在y＝±(x＋2)中，取x＝2，得y＝±4，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a>4或a<－4，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)，故选D.
6．选C 令＝k，可得出kx－y＋3－2k＝0，将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为点(1,1)，半径为1，
则直线kx－y＋3－2k＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1有公共点，可得≤1，
整理可得3－4k≤0，解得k≥.因此的取值范围为.故选C.
7．选B 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，圆心C(1，2)，半径r＝，如图所示，
由图可知，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，要使圆C上存在两点A，B，使得∠APB＝，则∠APC≥，
∴PC≤＝2，即≤2，解得－1≤x0≤3，故选B.
8．选C 设Q(a,0)，M(x，y)，
所以MQ＝.
又P，
所以MP＝.因为＝λ且λ＝2，所以＝2.
整理可得x2＋y2＋x＝.
又动点M的轨迹是x2＋y2＝1，
所以解得a＝－2.所以Q(－2,0)．又MQ＝2MP，所以2MP＋MB＝MQ＋MB.因为B(1,1)，所以2MP＋MB的最小值为BQ＝＝.
9．选ABD 因为圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，所以直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，即点M落在直线x－y－2＝0上，所以选项A正确；设点M的坐标为(a，a－2)，则圆M的半径r＝|a|，圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋2)2＝2a2.令y＝0，则(x－a)2＋(－a＋2)2＝2a2，即x2－2ax－4a＋4＝0.因为圆M被x轴所截得的弦长为2，所以＝2，解得a＝－5或a＝1，故圆M的面积的最大值为50π，圆M半径的最小值为，满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，所以选项B、D正确，选项C错误．
10．选ABD 将两圆的方程作差，可得x＝，即直线AB的方程为x＝，故A正确．圆O1：x2＋(y－2)2＝4，圆O2：(x－3)2＋(y－2)2＝9，圆O1的圆心为O1(0,2)，半径r1＝2，圆O2的圆心为O2(3,2)，半径r2＝3，线段AB的中垂线经过O1和O2的圆心，故线段AB的中垂线方程为y＝2，故B正确．圆O1的圆心O1到直线x＝的距离为，故AB＝2＝，故C错误．点M与点N之间的距离的最大值为r1＋r2＋O1O2＝8，故D正确．故选ABD.
11.选BD 对于A，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为2，
由题意可得PA⊥AC，PB⊥BC，所以PA＝＝，(PC)min＝＝2，所以(PA)min＝ ＝2，故A错误；
对于B，S四边形PACB＝2S△PAC＝PA·AC＝2PA≥4，所以四边形PACB面积的最小值为4，故B正确；对于C，当PA最小时，PC⊥l，则直线PC的斜率为－1，
又PC⊥AB，所以直线AB的斜率为1，PC的直线方程为y－0＝－(x－2)，即x＋y－2＝0，
由解得即P(0,2)．因为当PA最小时，PA＝AC＝2，所以△APC为等腰直角三角形，所以PC中点即为AB中点，因为PC的中点为(1,1)，所以弦AB的中点为(1,1)，所以弦AB所在的直线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0，故C错误；
对于D，设P(t，t＋2)，则以PC为直径的圆的方程为(x－2)(x－t)＋y[y－(t＋2)]＝0，
展开得x2－(2＋t)x＋2t＋y2－(t＋2)y＝0①，圆C的方程为x2－4x＋4＋y2＝4，即x2－4x＋y2＝0②，①－②得弦AB所在直线方程为(2－t)x－(t＋2)y＋2t＝0，即t(2－x－y)＋2x－2y＝0，令解得所以弦AB所在的直线必过定点(1,1)，故D正确．
12．解析：如图所示，
由图知PA⊥AC，
又PA＝1，R＝1，
所以PC＝＝.
答案：
13．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，
因为AB＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
14．解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝＝1.又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
15．解：(1)圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆心为点(1,3)，半径r1＝，
圆C2：(x－5)2＋(y－6)2＝16，圆心为点(5,6)，半径r2＝4，圆心距d＝＝5，
因为4－<5<＋4，所以两圆相交．
(2)两圆相减，x2＋y2－2x－6y－1－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，化简为4x＋3y－23＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
16．解：(1)由直线方程mx－y－m＝0可知，y＝m(x－1)，故直线mx－y－m＝0恒过点(1,0)，因为圆E恒被直线mx－y－m＝0平分，
所以圆E的圆心为点(1,0)，因为A(0,0)在圆上，故圆E的半径r＝1，
所以圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得EM⊥AB，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为E(1,0)，P(3,0)，所以以EP为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，
由 x＝，所以M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
17．解：(1)两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为2x＋y＋1＝0，圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆心C1(－1,0)，半径为1，则圆心C1(－1,0)到公共弦所在直线的距离为＝，则圆C1和圆C2的公共弦长为2＝.
(2)易知圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心为C2(1,1)，半径为2，当直线l的斜率不存在时，方程为x＝－1，此时直线l与圆C2相切，不符合题意．设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则圆心C2(1,1)到直线l的距离为＝＝，所以k＝1或k＝，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x－7y＋1＝0.
18．解：(1)圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为，半径r＝，其中m<，圆心到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，PQ＝2＝2＝，解得m＝.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去x得5y2－20y＋12＋m＝0，Δ＝400－20(12＋m)>0，则y1＋y2＝4，y1y2＝，
又x1＝－2y1＋3，x2＝－2y2＋3，
因为OP⊥OQ，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，即(－2y1＋3)(－2y2＋3)＋y1y2＝0，
即9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
所以9－6×4＋5×＝0，解得m＝3.满足Δ>0.此时圆的半径r＝＝，
所以圆的面积为π×2＝π.
19．解：(1)设M(x，y)，由＝，
得＝.
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.故曲线C是以点(－1,0)为圆心，2为半径的圆．
(2)由(1)知C(－1,0)，又P(3，p)(p≠0)，
则线段CP中点的坐标为，
CP＝，
故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝2，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①.
由题意知，Q，R在以CP为直径的圆上，
又Q，R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上，
由②－①，得4x＋py＝0，
所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0,0)．
由得(16＋p2)y2－8py－48＝0.
设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝，
所以点N的纵坐标yN＝＝.
因为p≠0，所以yN≠0，所以点N与点C(－1,0)，O(0，0)均不重合．
因为N为弦QR的中点，且C(－1,0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON.
所以点N在以OC为直径的圆上．
该圆的圆心为G，半径为.
因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E，F，所以E(2,0)，F，因此EF＝，
圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝.
设△NEF的边EF上的高为h，
则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝－＝1；
点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2.
所以S的最小值Smin＝××1＝，
最大值Smax＝××2＝.因此△NEF的面积S的取值范围是.
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