3.1.1 椭圆的标准方程
第1课时 椭圆的定义及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
4.能用定义法、直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹问题.
1.椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1,F2的 (大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆
焦点 两个 叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的 叫作椭圆的焦距
|微|点|助|解|
1.对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1,F2是指不重合的两点,当F1与F2重合时,相应点的集合是圆.
2.对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解
条件 结论
常数大于F1F2 动点的轨迹是椭圆
常数等于F1F2 动点的轨迹是线段F1F2
常数小于F1F2 动点不存在,因此轨迹不存在
2.椭圆的标准方程
焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距 2c
a,b,c的 关系
|微|点|助|解|
(1)椭圆标准方程中“标准”的含义:
椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状况下”的方程,即:①焦点F1,F2在坐标轴上;②线段F1F2的中点是坐标原点.
(2)标准方程的结构特征:
标准方程右边是1,左边是与的和,并且分母不相等.
(3)判断焦点位置的方法:
标准方程中含x2项的分母较大 焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大 焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足PF1+PF2=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足PF1+PF2=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足PF1+PF2=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4,焦距为2,则C的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为 ( )
A. B.
C.(-∞,-3) D.(2,+∞)
题型(一) 椭圆的定义
[例1] 平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:MA+MB为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么p是q的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
听课记录:
|思|维|建|模|
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义;
(2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
[针对训练]
1.[多选]设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足PF1+PF2=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 ( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
2.已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当PF1=4时,PF2=8.求Q在运动过程中,QF1·QF2的最大值.
题型(二) 椭圆的标准方程
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26;
(2)一个焦点坐标为(0,2),且椭圆经过点(-, ).
听课记录:
|思|维|建|模|
定义法就是根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
方法2 待定系数法求椭圆的标准方程
[例3] (1)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程;
(2)求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.待定系数法求椭圆的标准方程
(1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.
(2)设方程:设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时,可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
(3)寻关系:根据条件列出关于a,b,c(或A,B)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将所求得的相应值代入所设方程即可.
2.与一个椭圆共焦点的椭圆方程的设法
与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2).
[针对训练]
3.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),经过点(0,4);
(2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=;
(3)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且经过点;
(4)椭圆中c=b,且a+b=6;
(5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,).
题型(三) 与椭圆有关的轨迹问题
[例4] 已知平面内B,C是两个定点,BC=8,△ABC的周长为18,以BC中点为坐标原点,以BC所在直线为x轴,求出△ABC顶点A的轨迹方程.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB,AC的斜率分别为kAB,kAC,且kAB·kAC=-”.其他条件不变,△ABC顶点A的轨迹方程如何求解.
|思|维|建|模|
与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义法和代入法.
1.定义法
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.
2.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫作代入法(也称相关点法).
[针对训练]
4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
5.如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
第1课时 椭圆的定义及其标准方程
?课前预知教材
1．距离之和等于常数 定点F1，F2 距离
2.＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＝b2＋c2
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．选D 由题设，知可得则b2＝a2－c2＝3，∴C的方程为＋＝1.
3．选A 由题意可得0<3＋m<2－m，解得－3?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选B 当MA＋MB为定值时，若定值大于AB时，点M轨迹是椭圆，若定值等于AB，点M轨迹是线段，若定值小于AB，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，MA＋MB必为定值．所以p / q，但q p，故p为q的必要且不充分条件．
[针对训练]
1．选BC 易知a＋≥6，故选BC.
2．解：由题意QF1＋QF2＝PF1＋PF2＝4＋8＝12，由基本不等式QF1·QF2≤2＝2＝36，当且仅当QF1＝QF2＝6时，等号成立，故QF1·QF2的最大值为36.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意2a＝26，a＝13，又c＝5，所以b＝ ＝＝12，
椭圆标准方程为＋＝1.
(2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2)．
2a＝＋＝＋＝－＋＋＝4，a＝2，c＝2，所以b＝＝2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1.
[例3] 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9)．又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[针对训练]
3．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得c＝3，将(0,4)代入到方程＋＝1中得b＝4，故a＝＝＝5，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得2a＝8，即a＝4，所以b＝＝＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)易知c＝2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1，将代入标准方程解得b2＝6，则椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)因为c＝b，a2－b2＝c2，解得a＝2b，
又因为a＋b＝6，所以b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(5)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[题型(三)]
[例4] 解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，BC＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则有a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[变式拓展]
解：设点A(x，y)，B坐标为(－4,0)，C坐标为(4,0)，则有kAB＝，kAC＝，且kAB·kAC＝－，那么·＝－，化简可得＝－，－16y2＝9x2－9×16,9x2＋16y2＝9×16，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[针对训练]
4．选A 设点M(x，y)，则P′(x,0)，因为M为PP′的中点，所以P(x,2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0)．
5．解：如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，
从而有CQ＝MQ＋CM.
又点M在线段AQ的垂直平分线上，则MA＝MQ，
故MA＋MC＝CQ＝5＞AC＝2.
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
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3.1.1
椭圆的标准方程
椭圆的定义及其标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
4.能用定义法、直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的______________________ (大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆
焦点 两个_____________叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的_________叫作椭圆的焦距
距离之和等于常数
定点F1，F2
距离
|微|点|助|解|
1.对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆.
2.对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解
条件 结论
常数大于F1F2 动点的轨迹是椭圆
常数等于F1F2 动点的轨迹是线段F1F2
常数小于F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在
2.椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________ _______________
图形
焦点坐标 __________________ ___________________
焦距 2c
a，b，c的关系 ___________
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
a2=b2+c2
|微|点|助|解|
(1)椭圆标准方程中“标准”的含义：
椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状况下”的方程，即：①焦点F1，F2在坐标轴上；②线段F1F2的中点是坐标原点.
(2)标准方程的结构特征：
标准方程右边是1，左边是与的和，并且分母不相等.
(3)判断焦点位置的方法：
标准方程中含x2项的分母较大 焦点在x轴上；标准方程中含y2项的分母较大 焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1+PF2=4，则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1+PF2=2，则点P的轨迹是椭圆.( )
(3)已知点F1(0，-1)，F2(0，1)，动点P满足PF1+PF2=1，则点P的轨迹是椭圆.( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.( )
√
√
×
×
2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析：由题设，知可得则b2=a2-c2=3，∴C的方程为+=1.
√
3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
A. B.
C.(-∞，-3) D.(2，+∞)
解析：由题意可得0<3+m<2-m，解得-3√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 椭圆的定义
[例1] 平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：MA+MB为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.那么p是q的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：当MA+MB为定值时，若定值大于AB时，点M轨迹是椭圆，若定值等于AB，点M轨迹是线段，若定值小于AB，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，MA+MB必为定值.所以
p q，但q p，故p为q的必要且不充分条件.
√
|思|维|建|模|
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义；
(2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
针对训练
1.[多选]设定点F1(0，-3)，F2(0，3)，动点P满足PF1+PF2=a+(a>0)，则点P的轨迹可能是( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
解析：易知a+≥6，故选BC.
√
√
2.已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当PF1=4时，PF2=8.求Q在运动过程中，QF1·QF2的最大值.
解：由题意QF1+QF2=PF1+PF2=4+8=12，由基本不等式QF1·QF2≤==36，当且仅当QF1=QF2=6时，等号成立，故QF1·QF2的最大值为36.
题型(二) 椭圆的标准方程
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个焦点坐标为(-5，0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
解：由题意2a=26，a=13，又c=5，所以b= ==12，
椭圆标准方程为+=1.
(2)一个焦点坐标为(0，2)，且椭圆经过点(-， ).
解：由题意椭圆另一焦点为(0，-2).
2a=+=+=-++=4，a=2，c=2，所以b==2，焦点在y轴上，椭圆标准方程为+=1.
|思|维|建|模|
定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
方法2 待定系数法求椭圆的标准方程
[例3] (1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，-)和的椭圆的标准方程；
解：设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，-)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)求与椭圆+=1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程.
解：由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9).又椭圆过点(3，)，将x=3，y=代入方程得+=1，解得λ=11或λ=
-21(舍去).故所求椭圆的标准方程为+=1.
|思|维|建|模|
1.待定系数法求椭圆的标准方程
(1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.
(2)设方程：设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时，可设为Ax2+By2=1(A>0，B>0，且A≠B).
(3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组.
(4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可.
2.与一个椭圆共焦点的椭圆方程的设法
与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0，λ>-b2)；与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0，λ>-b2).
针对训练
3.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点坐标分别为(-3，0)，(3，0)，经过点(0，4)；
解：设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得c=3，
将(0，4)代入到方程+=1中得b=4，故a===5，
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c=；
解：设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，依题可得2a=8，即a=4，所以b===，所以椭圆的标准方程为+=1.
(3)两个焦点坐标分别是(0，-2)和(0，2)，并且经过点；
解：易知c=2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为+=1，
将代入标准方程解得b2=6，则椭圆的标准方程为+=1.
(4)椭圆中c=b，且a+b=6；
解：因为c=b，a2-b2=c2，解得a=2b，又因为a+b=6，所以b=2，
a=4，椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点，且经过点M(2，).
解：由题意，椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1，知焦点F1(0，2)，F2(0，-2)，
设所求椭圆方程为+=1(λ>0)，
将x=2，y=代入，得+=1，解得λ=8或λ=-2(舍去).
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
[例4] 已知平面内B，C是两个定点，BC=8，△ABC的周长为18，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程.
题型(三) 与椭圆有关的轨迹问题
解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，BC=8，2c=8，c=4以及2a=18-8=10，a=5，则有a2=25，c2=16，那么b2=a2-c2=9，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC=-”.其他条件不变，△ABC顶点A的轨迹方程如何求解.
变式拓展
解：设点A(x，y)，B坐标为(-4，0)，C坐标为(4，0)，则有kAB=，kAC=，且kAB·kAC=-，那么·=- ，化简可得=- ，
-16y2=9x2-9×16，9x2+16y2=9×16，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
|思|维|建|模|
与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法.
1.定义法
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.
2.代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)=0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(也称相关点法).
4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
针对训练
√
解析：法一 设点M(x，y)，则P'(x，0)，因为M为PP'的中点，所以P(x，2y)，又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即+=1(y>0)，即点M的轨迹方程为+=1(y>0).
法二 因为P在曲线C上，不妨取P(0，4)，则P'(0，0)，所以中点M(0，
2).因为点M满足轨迹方程，代入选项，只有A符合.
5.如图，在圆C：(x+1)2+y2=25内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.
解：如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，
从而有CQ=MQ+CM.又点M在线段AQ的垂直平分线上，则MA=MQ，
故MA+MC=CQ=5>AC=2.
又A(1，0)，C(-1，0)，故点M的轨迹是以(1，0)，(-1，0)为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，
故a=，b2=a2-c2=-1=.
故点M的轨迹方程为+=1.
课时检测
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1.已知点A(-3，0)，B(0，2)在椭圆+=1上，则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
√
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解析：由题意得解得m2=9，n2=4.所以椭圆的标准方程为+=1.
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2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为( )
A.5 B.3
C. D.
√
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解析：根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c=1，则有4-m2=1，
解得m=±.又m>0，则m=.
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3.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1，+∞) D.(0，1)
√
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解析：将椭圆方程变形为+=1，因为焦点在y轴上，所以>>0，解得1
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4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为( )
A. B.
C.1 D.
√
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解析：在椭圆+=1中，a2=4，b2=3，则c==1，所以椭圆的右焦点为F(1，0).所以椭圆的右焦点F(1，0)到直线x-y=0的距离为d==.
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5.关于椭圆C：+=1，有下列四个命题：甲：m=4；乙：n=9；丙：C的焦距为6；丁：C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
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解析：当甲、乙为真命题时，椭圆方程为+=1，椭圆的焦距为2c=2=2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，
不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题.当乙、丙和丁是真命题时，b==3，2c=6，∴a2=b2+c2=9+9=18，此时椭圆方程为+=1，
符合题意，故甲是假命题.
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6.椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A.± B.±
C.± D.±
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解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴+=1，即y2=，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±.
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7.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为 ( )
A.8 B.2
C.4 D.4
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解析：由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为+=1(a>b>0)，易知2a=8，2b=4，所以a=4，b=2，所以c==2，因此焦距2c=4.故选C.
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8.已知点F是椭圆C：+=1的左焦点，点P为C上一点，A，则PA+PF的最小值为( )
A. B.
C.4 D.
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解析：设椭圆C：+=1的右焦点为F'(2，0).由A，得AF'=.根据椭圆的定义可得PF+PF'=2a=6，所以PA+PF=PA+6-PF'≥6-AF'=6-=.
√
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9.(5分)椭圆+=1的焦距是_______，焦点坐标是_______________.
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解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2=100，b2=36，所以c2=a2-b2=64，解得c=8，所以焦距2c=16，两焦点的坐标分别是(-8，0)，(8，0).
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(-8，0)，(8，0)
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10.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2=14，则AB=___________.
15
16
解析：因为a=6，AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，两式相加得AF2+BF2+AB=4a=24.又AF2+BF2=14，所以AB=10.
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11.(5分)已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是-，则顶点A的轨迹方程是_____________.
15
16
解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·=-，化简整理，得+=1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0).
+=1(x≠0)
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12.(5分)已知椭圆+y2=1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为(2，0)，则PA的最小值为 .
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解析：令P(x，y)且-3≤x≤3，则PA=，而y2=1-，故PA==，所以当x=时，PAmin=.
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13.(5分)椭圆+y2=1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程为________________.
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16
解析：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a=3，b=1，
∴c==2，则已知椭圆的两焦点为F1(-2，0)，F2(2，0).
∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有即
x2+=1(y≠0)
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∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴+=1，
∴+(3y)2=1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2+=1(y≠0).
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14.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)b=1，c=，焦点在y轴上；(2分)
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解：因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为+x2=1.
(2)a=10，c=6；(2分)
解：因为a=10，c=6，所以b2=a2-c2=100-36=64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为+=1或+=1.
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(3)经过点P(-2，0)，Q(0，2)两点；(2分)
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解：由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a=2，b=2，所以椭圆的标准方程为+=1.
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解：设椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上，
因为c==1，所以F1(-1，0)，F2(1，0)，
故设椭圆方程为+=1(a>b>0)，
由题意得解得或 (舍去).
所以椭圆的标准方程为+=1.
(4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2，-).(4分)
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15.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0=2.
(1)求x0的值；(3分)
解：由题意知点M(x0，2)在椭圆+=1上，则+=1，解得=9，又x0<0，∴x0=-3.
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(2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(7分)
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解：易知椭圆+=1的焦点在x轴上，且c2=9-4=5，故可设所求椭圆的方程为+=1(a2>5).由(1)可知点M的坐标为(-3，2)，将其代入所设方程，得+=1(a2>5)，解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1.
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16.(15分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；(5分)
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解：由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4+11b2-16=0，故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，故椭圆M的标准方程为+y2=1.
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(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(10分)
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解：由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，解得y0=±.又+=1，所以=，x0=±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为.课时检测(十六) 椭圆的定义及其标准方程
(标的题目为推荐讲评题,配有精品课件.选择、填空题请在后面的答题区内作答)
1.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆+=1上,则椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为 ( )
A.5 B.3
C. D.
3.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(0,1)
4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为 ( )
A. B.
C.1 D.
5.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;丁:C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
6.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为 ( )
A.± B.±
C.± D.±
7.中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为 ( )
A.8 B.2
C.4 D.4
8.已知点F是椭圆C:+=1的左焦点,点P为C上一点,A,则PA+PF的最小值为 ( )
A. B.
C.4 D.
9.(5分)椭圆+=1的焦距是 ,焦点坐标是 .
10.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若AF2+BF2=14,则AB= .
11.(5分)已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,则顶点A的轨迹方程是 .
12.(5分)已知椭圆+y2=1,点P是椭圆上的动点,定点A的坐标为(2,0),则PA的最小值为 .
13.(5分)椭圆+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的重心M的轨迹方程为 .
14.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)b=1,c=,焦点在y轴上;(2分)
(2)a=10,c=6;(2分)
(3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点;(2分)
(4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2,-).(4分)
15.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0,y0),且x0<0,y0=2.
(1)求x0的值;(3分)
(2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(7分)
16.(15分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;(5分)
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.(10分)
课时检测(十六)
1．选B 由题意得解得m2＝9，n2＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2．选D 根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±.又m＞0，则m＝.
3．选B 将椭圆方程变形为＋＝1，因为焦点在y轴上，所以>>0，解得4．选B 在椭圆＋＝1中，a2＝4，b2＝3，则c＝＝1，所以椭圆的右焦点为F(1,0)．所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝.
5．选A 当甲、乙为真命题时，椭圆方程为＋＝1，椭圆的焦距为2c＝2＝2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙、丙和丁是真命题时，b＝＝3,2c＝6，∴a2＝b2＋c2＝9＋9＝18，此时椭圆方程为＋＝1，符合题意，故甲是假命题．
6．选D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±.
7．选C 由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，易知2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，所以c＝＝2，因此焦距2c＝4.故选C.
8．选D 设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′(2,0)．由A，得AF′＝.根据椭圆的定义可得PF＋PF′＝2a＝6，所以PA＋PF＝PA＋6－PF′≥6－AF′＝6－＝.
9．解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．
答案：16 (－8,0)，(8,0)
10．解析：因为a＝6，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，两式相加得AF2＋BF2＋AB＝4a＝24.又AF2＋BF2＝14，所以AB＝10.
答案：10
11．解析：设顶点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此x≠0，由题意得·＝－，化简整理，得＋＝1(x≠0)，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．
答案：＋＝1(x≠0)
12．解析：令P(x，y)且－3≤x≤3，则PA＝，而y2＝1－，故PA＝＝，所以当x＝时，PAmin＝.
答案：
13．解析：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝＝2，则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有
即∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴＋y＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)．
答案：x2＋＝1(y≠0)
14．解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16，因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1.
(2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上，因为c＝＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，
故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
或 (舍去)．所以椭圆的标准方程为＋＝1.
15．解：(1)由题意知点M(x0,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝9，
又x0＜0，∴x0＝－3.
(2)易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2＞5)．由(1)可知点M的坐标为(－3,2)，将其代入所设方程，得＋＝1(a2＞5)，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.
16．解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±.又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
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